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专题 7.4 数列求和
题型一 倒序相加法
题型二 分组求和法
题型三 并项求和法
题型四 奇偶数列求和
题型五 裂项相消法
题型六 含绝对值数列求和
题型七 数列求和与不等式
题型一 倒序相加法
例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ，则 __________；
数列 满足 ，则这个数列的前2015项的和等于__________.
练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数
，数列 满足 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数 ，则________.
练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 ，
则 ___________.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______.
练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．求数列 的通项公式．
题型二 分组求和法
例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列 的
各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列 满足
， ．
(1)①求公差 ；
②求数列 的通项公式；
③设数列 的前 项和为 ，求使得 最小的 的值；
(2)若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
①求数列 的通项公式；
②求数列 的前 项和 ．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列 的前 项和为 ，
公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线
段 ， ， 的中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ，
的中点，记 的面积为 ；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为
．
(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
练习8．（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列 的前n项和为
，且 ， ，则使得 成立的n的最小值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
练习9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)令 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
练习10．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足： ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .题型三 并项求和法
例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知公差不为零的等差数列 的首项为1，
且 是一个等比数列的前三项，记数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前20项的和．
例6．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）设 是数列 的前n项和，已知 ，
.
(1)求 ， ；
(2)令 ，求 .
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，…， 是以
1为首项，1为公差的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 前2n项的和 ．
练习13．（2023·全国·模拟预测）记 为正项数列 的前 项和，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
练习14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足 ，其中 是数列 的前 项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前100项和 .
练习15．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列 满足 （n≥2，
）， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
题型四 奇偶数列求和
例7．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列 的前 项和为
，且 ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例8．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 求数列 的前20项和．练习17．（2023春·全国·高三期中）已知数列 满足 ，
，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且
，则 ______．
练习19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列 的前 项和为
，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列 满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型五 裂项相消法
例9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列 前 项和为 ，
数列 前 项积为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
例10．（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式.
练习21．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列
的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
练习22．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ .
练习23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习24．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 的前
n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．练习25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列 ，其前 项
和为 ，且满足 ，数列 满足 ，其前 项和 ，设
，若 对任意 恒成立，则 的最小值是___________.
题型六 含绝对值数列求和
例11．（2023·河北·统考模拟预测）在正项数列 中， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例12．（2023·全国·高三对口高考）等差数列 中， 是它的前n项的和，且满足
.则 的最大值为__________；数列 的前n项和 __________.
练习26．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列 的通项
公式为 ，那么满足 的整数k的个数为______．
练习27．（2023春·高三课时练习）已知数列 的通项公式 ，则
（ ）
A．150 B．162 C．180 D．210
练习28．（2022·高三课时练习）已知数列 是公比为3的等比数列，若 ，
则数列 的前100项和 （ ）
A． B． C． D．
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足 ，设 ，求 .
练习30．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和 ，
若 ，则 （ ）
A．578 B．579
C．580 D．581
题型七 数列求和与不等式
例13．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知数列 满足
，设数列 满足： ，数列 的前
项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例14．（河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数
学试题）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前 项和，则使不等
式 成立的最小正整数 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
练习31．（2023春·北京·高三北京四中校考期中）已知数列 的前 项和
，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)求使不等式 成立的最小正整数 的值.
练习32．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
， .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
练习33．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知数列 的通项公
式为 ， 为数列 的前n项和.
(1)求 ；
(2)若对于 ， 恒成立，求 的取值范围.
练习34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若
，求满足条件的最大整数 ．
练习35．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和 . 若存在
，使不等式 成立，求实数 的最大值.
