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专题 3.8 抽象函数问题
题型一 抽象函数的定义域
题型二 抽象函数的值域
题型三 求抽象函数的解析式
题型四 抽象函数的奇偶性
题型五 抽象函数的周期性
题型六 抽象函数求解不等式
题型一 抽象函数的定义域
例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数 的定义
域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若函数 的定义域为 ，则复合函数 有意义要满足 .
【详解】因为函数 的定义域为 ，则 有意义要满足 ，解得
，
故选：D
例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于 的不等式组，由此可解得函数 的定义域.
【详解】解：因为函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .故选：C
练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及 可求得结果.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以要使 有意义，则
，解得 且 ，
所以原函数的定义域为 ，
故选：C．
练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ，则函
数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数 的定义域为 ，设函数
，则函数 的定义域是______.【答案】
【分析】由 的定义域得出 ，进而由 得出所求.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，
即 ，解得
故函数 ，则函数 的定义域是
故答案为：
练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为____________.
【答案】
【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.
【详解】对于 ，因为 ，所以由 的单调性得 ，即 ，
所以对于 ，有 ，即 ，
由 的单调性得 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故答案为： .
练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得 的定义域，再由 的定义域求出 的定义域即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，
∴ ，
又∵ ，解得 ，∴ 的定义域为 ,
故选： .
题型二 抽象函数的值域
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对任意 ，都有 ，当
， 时， ，则函数 在 ， 上的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】当 ， 时， ，利用 ，将区间
的自变量 利用加减转化到区间 上，从而进行值域的求解
【详解】当 ， 时， ， ，
则当 ， 时，即 ， ，所以 ；
当 ， 时，即 ， ，
由 ，得 ，从而 ， ；
当 ， 时，即 ， ，则 ， ．
综上得函数 在 ， 上的值域为 ， ．
故选：D．
例4．（2021·全国·高一专题练习）函数 的定义域为 ，且对任意 ， 都
有 ，且 ，当 时，有 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断 的单调性并加以证明；
（3）求 在 ， 上的值域.
【答案】（1）f (1)=1，f (4)=3；（2） 在 上为增函数，证明见解析；（3）
.
【分析】（1）可令 解得 ，再令 ， 可得f（4）；
（2）函数 在 上为增函数，可令 ，运用条件和单调性的定义，即可得
证；
（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.【详解】（1）可令 时， = - ；
令 ， 可得f（2）=f（4）-f（2） ，即f（4） ；
（2）函数 在 上为增函数.
证明：当 时，有 ，
可令 ，即有 ，则 ，
可得 ，
则 在 上递增；
（3）由 在 上为增函数，可得 在 递增，
可得 为最小值， 为最大值，
由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得 ，
则 的值域为 .
练习6．（2022·全国·高三专题练习） 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函
数 的值域为 ，则 的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性的定义结合 的值域即可求出 的值域.
【详解】解：由 是 上的奇函数， 是 上的偶函数
得到 ，
因为函数 的值域为
即
所以
又 ，
得
所以 的值域为： .
故答案为： .
练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数 的定义域是 ，值
域为 ，则值域也为 的函数是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 的值域为 ，即 ，即可求出 ， ，
，以及 的范围，从而可求解．
【详解】 的定义域为 ，值域为 ，即 ；
对于A, ，即 的值域为 ，故A错误；
对于B, ，即 的值域为 ,故B错误；
对于C, ，即 的值域为 ，故C正确；
对于D, ，即 的值域为 ，故D错误．
故选：C．
练习8．（2022·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，值域为R，则（ ）
A．函数 的定义域为R
B．函数 的值域为R
C．函数 的定义域和值域都是R
D．函数 的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令 ，推出 的定义域判断正
误；
对于B选项：因为 的值域为R，所以 的值域为R，进而推导出
的值域，判断正误；
对于C选项：令 ，求出函数 的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数 的值域为R，则 ，即可判断正误；
【详解】对于A选项：令 ，可得 ，所以函数 的定义域为 ，
故A选项错误；
对于B选项：因为 的值域为R， ，所以 的值域为R，可得函数
的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令 ，得 ，所以函数 的定义域为 ，故C选项错误；
对于D选项：若函数 的值域为R，则 ，此时无法判断其定义域是否为
R，故D选项错误.
故选：B
练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数
的定义域是 ，值域为 ，则下列四个函数① ；② ；
③ ；④ ，其中值域也为 的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.
【详解】对于①，因为 ，则 ，①不满足条件；
对于②，对于函数 ， ，则函数 的值域为 ，②满足
条件；
对于③，因为 ，则 ，③满足条件；
对于④，因为 ， ，则 ，④满足条件.
故选：B.
练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数 的值域是
，则函数 的值域是________.
【答案】
【分析】由给定条件求出 的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因函数 的值域是 ，从而得函数 值域为 ，
函数 变为 ， ，由对勾函数的性质知 在 上递减，在
上递增，
时， ，而 时， ， 时， ，即 ，
所以原函数值域是 .
故答案为：题型三 求抽象函数的解析式
例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为______.
【答案】
【分析】赋值法得到 ， ，求出函数解析式.
【详解】 中，令 ，解得 ，
令 得 ，故 ，
不妨设 ，满足要求.
故答案为：
例6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
【答案】ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，
根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.
【详解】A项：因为 ，
当 时， ，令 ，
则 ，解得 ，A正确；
B项：任取： ，
则 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 单调递增，B正确；
C项：令 ，则 ，解得 或 ，当 ，且 时，令 ，
则 ，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，与题意矛盾；
当 时 不为奇函数．
综上所述，函数 不是奇函数，C错误；
D项：当 ，
则 ，
，
所以 ，易得 在 上单调递增，
所以 时， ， ，
故函数 的一个解析式为 ，D正确．
故选 :ABD
练习11．（2023秋·江苏南京·高三统考期末）（多选）已知函数 ，对于任意
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令 ，故A正确；
由已知 ，①
令 满足题干要求， 则 ，故B错误；
由①可知，令 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
又由①，令 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
练习12．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 满足以下条件：①在区间
上单调递增；②对任意 ， ，均有 ，则 的一个解
析式为______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.
【详解】如： ，则 ， ，
又 ，则 ，
此时 在区间 上单调递增，满足题设.
故答案为： （答案不唯一）
练习13．（2019秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数 满足：
①对任意的 ，都有 ；
②当 时， .
（1）求证： ；
（2）求证：对任意的 ，都有 ；
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【分析】（1）令 ，即可求得 ；
（2）令 ，由 以及 即可证得结论；
【详解】（1）令 ，则 ，（2）令 ，
则 ，
.
【点睛】本题主要考查抽象函数的函数值，解题的关键是根据题干赋恰当的数值，属于基
础题
练习14．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足 ，则f（x）可以
是___．（举出一个即可）
【答案】
【分析】由题意猜想 ，验证满足条件.
【详解】若 ，满足 .
若 ，满足 .
故答案为： ，答案不唯一.
练习15．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件
“①函数 为增函数，② ”的一个函数 _____．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由指数函数及幂运算性质即可判断.
【详解】由题意，指数函数均满足①②.
故答案为： (答案不唯一)
题型四 抽象函数的奇偶性
例7．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知 是定义域为 的奇函数，
是定义域为 的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件得到函数 的对称性，根据对称性求值，即可求解.
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，所以函数 关于点 对称，且
因为 是定义域为 的偶函数，
所以 ，所以函数 关于直线 对称，
所以 ，即 .
故选：A
例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数 ，满足 ，
都有 ．则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】BD
【分析】令 和 ，即可判断选项AB；令 ，即可判断选项CD.
【详解】令 ，则 ，∴ 或1．
令 ，则 ，若 ，则 ，与 不恒为0矛盾，
∴ ，∴选项B正确选项A错误；
令 ，则 ，∴ ，∴ 为偶函数，
∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
练习16．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数 对任意实数 ， 都满足
，且 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D．
【答案】AC
【分析】令 可得 ，从而可判断B；令 可判断A；令 ，可
得 ，令 可判断C；由AC的解析可得函数 的周期为2，从而可判断D.
【详解】在 中，令 ，可得 ，即 ，解得 ，故B错误；
令 可得 ,即 ，
故函数 是偶函数，即 是偶函数,故A正确；
令 ，则 ，故 ，
令 ，可得 ,
故 ，故C正确；
因为 是偶函数，所以 ，故 ,
即 ，
所以 ,所以 ，故函数 的周期为2，
因为 ， ，所以 ， .
所以 ，故D错误.
故选：AC.
练习17．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知定义在 上的
函数 满足 ， ， ，且当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数但不是偶函数 B． 是偶函数但不是奇函数
C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.
【详解】 的定义域 关于原点对称，
因为 ， ， ，
故令 时， ，
令 时， ，
令 ， 时， ，
，即 ，∴ 是偶函数，
又当 时， ，即 不恒为零，故 只能为偶函数，不能为奇函数.
故选：B.
练习18．（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在 上的非常数函数
满足 ，则（ ）
A． B． 为奇函数 C． 是增函数 D． 是周期函数
【答案】AB
【分析】对于A项、B项，令 ，令 代入计算即可；对于C项、D项，举反
练习判断即可.
【详解】对于A项，令 得： ，解得： ，故A项正确；
对于B项，令 得： ，由A项知， ，所以
，所以 为奇函数，故B项正确；
对于C项，当 时， ，
，满足 ，但
是减函数.故C项错误；
对于D项，当 时， ， ，
满足 ，但 不是周期函数.故D项错误.
故选：AB.
练习19．（2022秋·高三单元测试）若定义在R上的函数 满足：对任意 ，有
，则下列说法中：① 为奇函数；② 为偶函数；
③ 为奇函数；④ 为偶函数.一定正确的是_________________.
【答案】③
【分析】令 ，得 ，令 ， 得到 ，根
据奇偶性定义即可得答案.
【详解】对任意 ，有 ，
令 ，得 ，
令 ， ，得 ，
整理得 ，故 为奇函数，
无法判断 的奇偶性.
故答案为：③.练习20.（2023春·广东广州·高三统考开学考试）（多选）若定义在 上的函
数 满足： ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.
【详解】由已知可得函数 的定义域为 ，满足 ①，
且 ，
对于选项A，可令 ，代入①式，得 ，得 ，所以A选项是
正确的；
对于选项B，可令 ，代入①式，得 ，得 ，所
以B选项是正确的；
令 ，代入①式，得 ，而 得 ，
可令 代入①式，得 ，整理得 ，
所以C选项是错误的，D选项是正确的.
故选：ABD.
题型五 抽象函数的周期性
例9．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若定义 上的函
数 满足：对任意 有 若 的最
大值和最小值分别为 ，则 的值为（ ）
A．2022 B．2018 C．4036 D．4044
【答案】D
【分析】由赋值法可得 ，构造 ，说明 为奇函
数，由 可得结果.
【详解】对任意 有 ，则令
，
令
，
令 ，则 ，故 为 上的奇函数，故
.
故选：D.
例10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）（多选）已知定义域为 的函数 对任意
实数 都有 ，且 ，则以下结论一定正确的有
（ ）
A． B． 是偶函数
C． 关于 中心对称 D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断 或 ，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的
定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，
进而可判断CD.
【详解】令 ，则 或 ，故A错误，
若 时，令 ，则 ，此时 是偶函
数，若 时，令 ，则 ，此时 既是
偶函数又是奇函数；因此B正确，
令 ，则 ，所以
关于 中心对称，故C正确，
由 关于 中心对称可得 ，结合 是偶函数，所以
，所以 的周期为2，
令 ，则 ，故 ，
进而 ，而 ，由A
选项知 或 ，所以 或 ，故D错误.
故选：BC练习16．（2023·河南开封·统考三模）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性得到函数的周期为 ，得到 ，根据条件
，解出 .
【详解】解：因为函数 的定义域为 ， 为奇函数，所以 ，
又因为 为偶函数，所以 的对称轴为 ，
则 为周期函数，周期为 .
则有 ，
设 ，根据对称性 ，且 ，
所以 ，所以
，
即 ，
因为 ，所以 ，即 .
故选： .
练习17．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，
且 ，则 ________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，即 .
所以函数 的周期为 .
因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 .
令 ，则 ，解得 ，
所以 .故答案为： .
练习18．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若
为偶函数且 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得 ，再结合已知值及周期性求解作
答.
【详解】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，得 ， ，
， ，
所以 .
故选：D
练习19．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数
满足 ，且函数 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 是偶函数，可得函数 的图像关于直线 对称，从而有
，再结合 可得函数 的周期为4，然后利用周期和
将 化到 上即可求解.
【详解】因为函数 是偶函数，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的周期为4，
所以 ，因为 ，所以 .
故选：C.
练习20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对
任意x，y满足 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取 可
判断B，对于D，通过观察选项可以推断 很可能是周期函数，结合
的特殊性及一些已经证明的结论，想到令 和 时可构建出两个式子，两式相加即
可得出 ，进一步得出 是周期函数，从而可求 的值.
【详解】解：对于A，令 ，代入已知等式得 ，得
，故A错误；
对于B，取 ，满足 及
，
因为 ，所以 的图象不关于点 对称，
所以函数 的图象不关于点 对称，故B错误；
对于C，令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ， ，
再令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即： ，
有： ，
即： ，所以 为周期函数，且周期为3，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
题型六 抽象函数求解不等式
例11．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知定义在 上的函数 不恒等于零，
同时满足 ，且当 时， ，那么当 时，下列结论不
正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】令 可得 ，令 可得 ．当 时, ,根据
已知条件得 ,即 ，所以 .
【详解】对任意 ,恒有 ，
令 可得 ，
因为当 时, 故 ，所以 ，
令 可得 ，所以 ，
当 时, ,根据已知条件得 ,即 ，所以 .故选：ABC.
例12．（2023·高三课时练习）已知 是定义在 上的减函数，且对 ，
，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件赋值求出 ，结合函数的单调性解不等式.
【详解】因为 ， ，
令 ，易得 ．
因为 是定义在 上的减函数，且 ，
所以 ，解得 ．
故选：A．
练习21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知函数
的图象如图所示，则不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．
【详解】解：不等式 等价为 或 ，
则 ，或 ，
故不等式 的解集是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本
题的关键．
练习22．（2022秋·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为
．若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为_________．【答案】
【分析】首先不等式要有意义，所以两个函数的定义域先取交集，然后再根据
的解集为 ，利用补集法求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
所以两个函数的定义域的交集为 ，
又因为不等式 的解集为 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数与不等式以及补集的应用，属于基础题.
练习23．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知定义域为R的奇函
数 在区间 上为严格减函数，且 ，则不等式 的解集为
___________.
【答案】
【解析】先由定义域为R的奇函数 在区间 上为严格减函数，且 ，画出
的草图，结合图像对 进行等价转化，解不等式即可.
【详解】 是定义域为R的奇函数，且在区间 上为严格减函数，有 ，
∴ 在区间 上为严格减函数且 ，可作出 的草图：
不等式 可化为：
或对于 ，当 时 ，无解；
对于 ，当 时 ，由图像观察，
解得：
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数的不等式需要分类讨论．
练习24．（2022秋·甘肃兰州·高三西北师大附中校考期中）已知偶函数 在 上
单调递减，若 ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用函数 为偶函数，可得 ， 在
上单调递减，可得 ，求解即可
【详解】由题意，函数 为偶函数，
故
又 在 上单调递减，
故
故答案为：
练习25．（2022秋·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）若定义域为 的奇函数 在
上单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
由 可得 且
可得 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选： .
