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专题 3.7 函数的图象及零点问题
题型一 函数图象的识别
题型二 函数图象的变换
题型三 利用函数图象解决不等式
题型四 确定零点所在区间
题型五 零点存在定理判断零点个数
题型六 利用图象交点的个数判断零点个数
题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围
题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围
题型九 求零点的和
题型十 镶嵌函数的零点问题
题型一 函数图象的识别
例1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）（多选）如图所示的四个容器高
度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图
象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数 的大致图
象是（ ）．A． B．
C． D．
练习1．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数
，则 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．练习3．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形 的边 ， ， 是
的中点，点 沿着边 ， 与 运动，记 .将动 到 、 两点距离之和表
示为 的函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
练习4．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某
个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）函数
的部分图象大致是（ ）A． B．
C． D．
题型二 函数图象的变换
例3．（2022·全国·高三专题练习）把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移3个
单位，则平移后抛物线的表达式为___________
例4．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3) .
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取
值范围为____________．
练习7．（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象
(1)
(2)练习8．（2023秋·四川资阳·高三校考期末）已知函数 ，若方程
恰好有三个实数根，则实数 的取值范围是__________.
练习9．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数 的图象向右平移1个单位长
度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线 关于直线 对称，则
（ ）
A． B． C． D．4
练习10．（2023秋·重庆·高三校联考期末）函数 若 ,且
,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 利用函数图象解决不等式
例5．设奇函数 的定义域为 ，且 ，若当 时，f(x)的图像如图，
则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023·江西·高一统考期中）已知函数 ， ，则不等
式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
练习11．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）研究表明在受噪声干扰的信道中，在信
通带宽不变时，最大信息传递速率C（单位： ）取决于平均信号功率 （单位： ）与
平均噪声功率 （单位： ）.在一定条件下，当 一定时， 随 增大而减小；当 一
定时， 随 增大而增大.下图描述了 与 及 的关系，则下列说法正确的是（ ）
A． 时，
B． 时，
C． 时，
D． 时，
练习12．（2023·北京·高一统考学业考试）已知 是定义在区间 上的偶函数，
其部分图像如图所示．
(1)求 的值；
(2)补全 的图像，并写出不等式 的解集．练习13．（2023·江西赣州·统考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
练习14．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，
且对任意 且 ，都有 ，若 ，则不等式
的解集为________.
练习15．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）设函数 的定义域为 ，
满足 ，且当 时， ，若对任意 ，都有
，则m的取值范围是________.
题型四 确定零点所在区间
a ,b>0
例7．（2021秋·高三课时练习）函数 的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
例8．（2023秋·吉林·高三长春市第二实验中学校联考期末）已知函数 的零点
在区间 内， ，则 ______．
练习16．（2021秋·高三课时练习）函数 的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
练习17．（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程 在 内的近似
解，已知 判断，方程的根应落在区间（ ）A． B． C． D．
练习18．（2023春·天津河北·高二统考期中）设函数 ，则 （ ）
A．在区间 内有零点，在 内无零点
B．在区间 ， 内均有零点
C．在区间 ， 内均无零点
D．在区间 ， 内均有零点
练习19．（2023秋·安徽马鞍山·高三统考期末）已知函数 ， ，
的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
练习20．（2023秋·云南·高三校联考期末）设方程 ， ，
的实数根分别为 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
题型五 零点存在定理判断零点个数
例9．（2022秋·高一课时练习）已知函数 的图像是连续的，根据如下对应值表：函
数在区间 上的零点至少有（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
23 9 11
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
例10．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）（多选）已知 为 上
的奇函数，且在 上单调递增， ，则下列命题中一定正确的是（ ）
A． B． 有3个零点
C． D．
练习21．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知函数 在区
间 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
设函数 在区间 上零点的个数为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
练习22．（2023·高三课时练习）已知函数 的图象是连续不断的，有如下的x，y
对应表：
x 0 1 2 3
2.5 0.8 0.7
则函数 在区间 上的零点至少有______个．
练习23．（2022秋·广西南宁·高二统考开学考试）已知函数 ，则方程
在 内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，其中 ， 为
实数，则下列条件能使函数 仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
练习25．（2022秋·陕西宝鸡·高三统考期末）已知函数 的图像是一条连续不断的
曲线，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5 6100 20 -5 8 -60 -200
则函数 在区间 上的零点至少有___________个．
题型六 利用图象交点的个数判断零点个数
例11．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数
的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程
有__________个根.
练习26．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知函数 ，若实数
，则函数 的零点个数为（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
练习27．（2023春·江西赣州·高三校考期中）函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习28．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数 的周期为2，当
时， ．如果 ，那么 的零点个数是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
练习29．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）已知函数 是 上的
偶函数，且满足 ，当 时， ，函数
，则关于 的方程 在区间 上的实数根的个数为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2023
练习30．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）（多选）设函数 ，则
（ ）
A．
B．当 时，
C．方程 只有一个实数根
D．方程 有 个不等的实数根
题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围
例13．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知幂函数 在 上单调递
增．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有零点，求 的取值范围．
例14．（2023春·上海青浦·高三统考开学考试）若关于 的方程 在 上
有解，则实数 的取值范围是______．
练习31．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）已知函数 ，若
有两个零点，且 在 上单调递增，则实数m的取值范围为______.
练习32．（2021秋·高三课时练习）若函数 的零点在区间(1,+∞)上，则
实数a的取值范围是____.
练习33．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）若方程 的一个根小于
1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________.练习34．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）设常数 ，函数
，若函数 在 时有零点，则实数 的取值范围是
__________.
练习35．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知方程 的两根
都大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围
例15．（2023春·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期中）（多选）已知函数
有两个零点 ，则以下结论中正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．函数 有四个零点
例16．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知 ，若
有三个不同的解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习36．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数 ，
若 有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
练习37．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知 ，则“ ”是“
有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
练习38．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ， ，若
存在2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有3个不同的零点
分别为 ，且 成等比数列，则实数a的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
练习40．（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（多选）已知函数
，若函数 恰有3个零点，则实数 的值可以为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型九 求零点的和
例17．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，
且当 时， ，则函数 的所有零点之和为______.
例18．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）定义在 上的奇函数 ，当 时，，则函数 的所有零点之和为___________．
练习41．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）函数 ，则函数
的所有零点之和为（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
练习42．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）定义在R上的奇函数 ，当 时，
，则关于x的函数 的所有零点之
和为________．（结果用含a的代数式表示）
练习43．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期末）设方程
的实根 ，其中k为正整数，则所有实根的和为______．
练习44．（2023·江西宜春·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，满足
，当 时， ，则 在区间
上所有零点之和为__________.
练习45．（2023秋·福建宁德·高三统考期末）若 ，则 的值域
为______，关于x的方程 恰有4个不同的解a，b，c，d，则 的取值
范围为______.
题型十 镶嵌函数的零点问题例19．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若
有6个不同的零点分别为 ， ， ， ， ， ，且
， ，若 ，则m的取值范围是______；
若 ，则 的取值范围是______；
例20．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）已知函数 ，若关
于 的函数 有6个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习46．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则方程 的
实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
练习47．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，关于 的方程
有 个不等实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习48．（2021秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）设定义域为 的函数则关于 的函数 的零点的个数为__.
练习49．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数 ，则方程
的实数解的个数至多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
练习50．（2023·天津·校联考二模）已知函数 ，
，若函数 至少有4个不同的零点，则实数 的取值范围是
______.
