专题3.35 圆的综合题-圆与函数（专项练习）
◆中考动态
纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相
似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较
大。
◆知识点
圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及
其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆
及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质
定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。
◆解题策略及方法
虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线
的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性
质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先
分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件
常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股
定理或锐角三角函数进行计算:
②利用圆周角相等转移角的等量关系;
③利用直径构造直角三角形;
④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;
⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。
2√2
1．在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC= ，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC
边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.2．如图，直线 经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在 轴上，当圆M与直线 相切时，求点M的坐标．
3．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组 .
（1）求函数y的表达式；
（2）若点P的坐标为（m,0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m
的取值范围.
4．如图，己知在△ABC中，AB=AC，tanB= ，BC =4，点E是在线段BA延长线上一点，
以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），射线EF与射线
AC交于点P.
（1）求证：AE2=AP·AC；
（2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及定义
域；
（3）当 时，求BE的长.5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，
与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂
线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，△BQP是等腰三角形且PQ=
求出点B的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与 轴交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），经过点 的直线 与 轴交于点 ，与抛物线的另一个交点为 ，且
.
（1）求点 的坐标及直线 的函数表达式；
（2）点 在 轴正半轴上，且 ，求 的长；
（3）点 是抛物线上第一象限内的一点，以 为圆心的圆与直线 相切，切点为 ，且以
点 、 、 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标.7．如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，且
与 轴交于点 ；点 在反比例函数 的图象上，以点 为圆心，半径为 的作圆
与 轴， 轴分别相切于点 、 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请连结 ，并求出 的面积；
（3）直接写出当 时， 的解集．
8．木匠黄师傅用长 ，宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如
图1三种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线 将矩形 锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案三：锯一块小矩形 拼到矩形 下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用
拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
（1）求出方案一、方案二中圆的半径.
（2）在方案三中，设 ，圆的半径为 .
①求 关于 的函数解析式；
②当 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？
（3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大.
9．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动
（A、D、E、C四点共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点
M、N（M、N不与A、B重合）时，
设AD=x．
（1）则△FMN的形状是_______,△ADM的形状是_______；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且
AE⊥AC．
（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的
函数解析式；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．
若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．11．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿
A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两
点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的
面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平
分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，
运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
12． 如图，一次函数y=2x与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以
C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO= ，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为 ，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1
时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
13．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半
轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形
的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆
与对角线AC相切．
14．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为
直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，以点 为圆心，5为半径作圆
，交 轴的负半轴于点 ，求过点 的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线 （ ）与直线 （ ）相切于点 ，求直线的解析
式；（3）若函数 的图象与直线 相切，且当 时，
的最小值为 ，求 的值．
15．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，点B的坐标为
，抛物线 经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作 轴于点D，交线段AB于点E，
使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
16．如图，已知 ， 是 的平分线， 是射线 上一点， ．
动点 从点 出发，以 的速度沿 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 从点
出发，也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动．连接 ，交 于点 ．经过 、 、
三点作圆，交 于点 ，连接 、 ．设运动时间为 ，其中 ．（1）求证： 是等腰直角三角形；
（2）设 的长为 ，发挥你的空间想象力，观察因动点 、 的运动而得到的图形变
化的全貌，指出 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
（3）在（2）的条件下，求出 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
17．己知：如图1， 中， ， ，动点 从点 出发沿线段
以 的速度向点 运动，同时动点 从点 出发沿线段 以 的速度向点
运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为 （单位： ）以
点 为圆心， 长为半径的圆 与射线 ，线段 分别交于点 ， ．
（1）当 是等腰三角形时，求 的值；
（2）设 ，求 与 的函数解析式，且写出 的取值范围；
（3）如图2，连接 ，当 为何值时，线段 与⊙ 相切？
（4）如图2，若⊙ 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．18．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，且 ，点 的坐标为 ，将
线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，称点 为点 关于点 的“伴随点”，图
1为点 关于点 的“伴随点”的示意图．
（1）已知点 ，
①当点 的坐标分别为 时，点 关于点 的“伴随点”的坐标分别为
_____________，__________；
②点 是点 关于点 的“伴随点”，探究点 的运动路径所对应的函数表达式，
并说明理由；
（2）如图2，点 的坐标为 ，以 为圆心， 为半径作圆，若在 上存在点
关于点 的“伴随点”，则 的纵坐标 的取值范围__________．
19．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线 使 ∥AN交圆与D、E两点（点D、点
E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于
G，cos∠BAP= ，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为 的圆O与圆
P的圆心距．
20．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的 倍？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线
段OF的最大值和最小值．21．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，顶点
为 ，直线 经过 ， 两点，并且与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若四边形 是平行四边形，且点 在抛物线上，则点 的坐标为________；
（3）平面内是否存在点 ，使以点 为圆心的圆经过 、 两点，并且与直线 相切？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．问题提出：
平面内有两点P、Q，以点P或点Q为圆心，PQ长为半径的圆称为点P、Q的伴随圆，如
图①②所示， 、 均为点P、Q的伴随圆．
初步思考：
（1）若点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），则点P、Q的伴随圆的面积是________．
（2）点O是坐标原点，若函数 的图象上有且只有一个点A，使得O、A的伴随
圆的面积为 ，求b的值及点A的坐标．
推广运用：
（3）点A在以P（m，0）为圆心，半径为1的圆上，点B在函数 的图象上，若对
于任意点A、B，均满足A、B的伴随圆的面积都不小于 ，则m的取值范围是________．
23．如图，在矩形 中， ， ，点P在边 上（点P与端点B、C不重
合），以P为圆心， 为半径作圆，圆P与射线 的另一个交点为点E，直线 与射
线 交于点G．点M为线段 的中点，联结 ．设 ．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结 ，当 时，求x的值；
（3）如果射线 与圆P的另一个公共点为点F，当 为直角三角形时，求 的面
积．参考答案
1．（1）y= -x+4（0<x<4）；（2） 或
【解析】
试题分析：（1）过点A作AD⊥BC于点D，S = OC×AD= ×2×（4-x）= 4-x ；
△AOC
（2）圆 O 与圆 A 相切，分外切和内切两种情况讨论：，在 Rt△AOD 中，根据
AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求.
试题解析：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵∠BAC=90° AB=AB=2 ∴BC= 4 AD= BC=2
∴S = OC×AD= ×2×（4-x）= 4-x
△AOC
即y= -x+4（0<x<4）
（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意
当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中，
AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8
∵⊙O 的半径是1，⊙O 的半径是x
1 2
∴①当⊙A与⊙O外切时
（x+1）2=x2-4x+8 解得x=
此时，△AOC的面积是y= 4- =
②当⊙A与⊙O内切时（x+1）2=x2-4x+8 解得x=
此时，△AOC的面积是y= 4- =∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为 或 。
考点：1. 直线与圆的位置关系；2.求一次函数的解析式及一次函数的应用.
2．（1）直线 的解析式为： ；（2）点M的坐标是（0，0），（0，6）．
【详解】
试题分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线 的解析式 ，即可求出结
果．（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角
三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．
试题解析：（1）∵直线 经过点A（4，0），B（0，3），
∴设直线 的解析式为： ，
∴ ，∴ .
∴直线 的解析式为： ；
（2）∵直线 经过点A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
①如图所示，此时⊙M与此直线 相切，切点为C，连接MC，则MC⊥AB，在Rt△ABM中， ，
在Rt△AMC中，∵ ，∴ ，∴点M的坐标
为（0，0）．
②此时⊙M'与此直线 相切，切点为C'，连接M'C'，则M'C'⊥AB，
∴ ，
在△M′C′B与△CMB中，
，∴BM'=BM=3，
∴点M'的坐标为（0，6）．
综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．
故答案为（1）直线 的解析式为： ；（2）点M的坐标是（0，0），（0，
6）．
考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．
3．（1）y=- x+ ；（2）3- ≤m≤3+ .
【详解】
试题分析：本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定
和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．
（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；
（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出
此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．
试题解析：（1） ,①×3，得3x+9y=12-3a③
②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3,
得，y=- x+ ；
（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0）.
当x=0时，y= ，即函数y的图象与y轴交于点B（0， ）,
当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC 直线y，
此时∠PCA=90°,
∴∠PCA=∠BOA,
且∠BAO=∠PAC,
∴△ABO∽△APC,
∴ ，即 ，
∴AC=2,
∴PA= ,
此时，P的横坐标为3- 或3+ ,
∴当圆P与直线y有交点时，3- ≤m≤3+ .
考点：1.直线与圆的位置关系；2.待定系数法求一次函数解析式；3.相似三角形的判定与性
质．
4．（1）证明见解析（2） （3） 或
【详解】
分析： 证明 根据相似三角形对应边成比例即可证明.
证明 根据相似三角形的性质得到， ..代入即可.
分两种情况进行讨论：①当点F在线段BC上时，②当点F在线段BC的延长线上时，
分别求解即可.
详解：（1）∵ ∴
∵ ∴
∵
又∵
∴
∵ 是公共角，
∴
∴ ∴ .
（2）∵
∴
∴ .
过点 作 于点
∵ 经过圆心，
∴ .∴ .
在 中，∵ ∴ .
∴ .
∴ .（3） ①当点F在线段BC上时，
∵
∴
∵△AEP∽△ACE.
∴
∴ .
过点 作 垂足为点
∵ ∴
中，∵ ∴
∴ ∴ .
②当点F在线段BC的延长线上时，
∵∠EFC=∠ECF， .
又∵ ∴
∴∵ 是公共角，
∴ ，∴
∵ ∴
∴ .
∴ .
综上所述, 或 .
点睛：属于圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，综合性
比较强，难度较大.同学们尤其要熟练相似三角形的判定方法.
5．（1）点A坐标是（0，10）；（2）4；（3）B点坐标为（ ，6+ ）或（ ，2﹣
）．
【详解】
试题分析：（1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的
坐标；（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：
PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在Rt△PHO中，由勾股定理可得：PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，进
而在Rt△BQP中，BQ2=BP2-PQ2=（25+PH2）-（9+PH2）=16．所以BQ=4；（3）已知线段
PQ的长度可以为 ，作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH= ．所以可得：B1（ ，6+ ），若点Q在OH上，再由抛物
线对称性可得B2（ ，2- ）综上，综上，当PQ= 时，B点坐标为（ ，6+
）或（ ，2﹣ ）．
试题解析： 解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为（0，10）．
（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ﹣OH=3．
在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，
在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．
∴BQ=4．
（3）∵△BQP是等腰直角三角形，PQ= ，
∴半径BP=2 ．
又∵P（a，a2），
∴OP2=a2+a4=（2 ）2．
即a4+a2﹣20=0．
解得a=±2．
∵a＞0∴a=2．
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH= = ．
∴B （ ，6+ ）．
1
若点Q在OH上，由对称性可得B （ ，2﹣ ）
2
综上，当PQ= 时，B点坐标为（ ，6+ ）或（ ，2﹣ ）．
考点：圆、二次函数综合题．
6．（1） ， ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）如图，令 ，求得B点坐标，再利用 ，求出D点坐标，
然后利用待定系数法即可求直线 的函数表达式；
（2）由(1)得到C点坐标，设 ，得到 ，作 轴，得到
ME=m-2，再利用勾股定理即可得到OE的长；
（3）根据题意，以 为圆心的圆与直线 相切，则FG⊥l,然后分情况讨论：①当
时，②当 ，然后根据比例式进行求值.
【详解】
解：（1）当 时， ，∴ ， ，∴ ，由 可得 ，∴ ，
设直线 ： ，
把 ， 代入得： ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 .
（2）由（1）得： ，
设 ，则 ，
过点 作 轴，则 ， ，
由勾股定理，得 ，
解得： ，即 .
（3）（i）如图，当 时，
∵ ，∴ 轴，∴ ，
∴ ，解得 （舍去）， ，
∴ .（ii）如图，当 ，
∴ ，∴ ，
由（2）得， 为直线 与抛物线的另一交点，
设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，解得 ，
∴ .
由 ，
解得 （舍去）， ，
此时 .
∴ .
综上所述： 或 .【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的综合运用和相似三角形，解题关键是注意分情况讨论.
7．（1） ， ；（2）4；（3） ．
【分析】
（1）连接CB，CD，依据四边形BODC是正方形，即可得到B（0，2），点C（2，2），
利用待定系数法即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）依据OB=2，点A的横坐标为-4，即可得到△AOB的面积为：2×4× =4；
（3）依据数形结合思想，可得当x＜0时，kx+b− ＞0的解集为：-4＜x＜0．
1
【详解】
解：（1）如图，连接 ， ，
∵⊙C与 轴， 轴相切于点D， ，且半径为 ，
， ，
∴四边形 是正方形，
，
，点 ，
把点 代入反比例函数 中，
解得： ，
∴反比例函数解析式为： ，∵点 在反比例函数 上，
把 代入 中，可得 ，
，
把点 和 分别代入一次函数 中，
得出： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为： ；
（2）如图,连接 ，
，点 的横坐标为 ，
的面积为： ；
（3）由 ，根据图象可知：当 时， 的解集为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点依据待定系数法求函数解析式，解题的关键是求
出C，B点坐标．
8．（1）1， ;（2）①见解析；② ;（3）见解析.
【分析】
（1）方案一：观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．方案二：作 于 ，
于 ，设半径为 ，利用相似三角形的性质即可解答
（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图
象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其 ，即为半
径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3-x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大
小，而后分别讨论结论．
②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案三中的最大半径．
（3）另与前两方案比较，即得最终结论．
【详解】
（1）方案一：因为长方形的长宽分别为3、2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为
1；
方案二：如图2，作 于 ， 于 .
设半径为 ，在 和 中，
， ，∴ ，
∴ ，∴ ，解得 .
（2）①∵ ，∴新拼图形水平方向最大跨度为 ，竖直方向最大跨度为
.类似（1），所截出圆的直径最大为 或 中较小的.
当 时，即当 时， ；
当 时，即当 时， ；
当 时，即当 时， .②当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，方案三中 最大为 .
（3）∵ ，∴方案三可取得圆桌的面积最大.
【点睛】
此题考查圆的综合题，解题关键在于作辅助线
9．（1）直角三角形；等腰三角形；（2） ；（3）
【详解】
（1）直角三角形、等腰三角形
（2）∵△ADＭ是等腰三角形，
∴DM=AD=x，FM=4-x.
又∵∠FED=60°，∠A=30°，∴∠FNM=90°
∴MN=MF·SinF= ，FN= MF= （4-x）
当0<x≤2时，
当2≤x<4时，CE=AE―AC=4+x-6=x-2
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，∴PC=
∴
∴=S ―S ―S =
△DEF △FMN △PCE
（3）过点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM=x
∵∠MDG=60°，∴MG=
∵∠MNF=90°，∠MFN=60°，∴MN=
要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG=MN，
即： 解得x=2，
圆的半径MN=
10．（1） ；（2） ；（3）9或 .
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB的长，再根据△APE∽△BPC得出比例式，整理即可求出结果；
（2）先判断只有∠EPA=90°时，可使△PAE与△ABC相似，再证明△ABC∽△EAC，进一步
根据相似三角形的性质即可求出结果；
（3）先由题意判断点C必在⊙E外部，于是点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE，
再分点E在线段AD上和线段AD的延长线上两种情况，在△AEC中根据勾股定理列出方程
求解即可.【详解】
解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，
∴AE∥BC，
∴△APE∽△BPC，
∴ ，
∵BC=6，AC=8，
∴AB= =10，
∵AE=x，AP=y，
∴ ，
∴ ；
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，
∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，
此时△ABC∽△ECA，则 ，∴AE= ．
故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE= ；
（3）由题意可知点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．
设AE=x．①当点E在线段AD上时，如图，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，
则在Rt△AEC中，根据勾股定理，得x2+82=（14﹣x）2，解得：x= ，
即⊙E的半径为 ．
②当点E在线段AD延长线上时，如图，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，
则在Rt△AEC中，根据勾股定理，得x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半径为9．∴⊙E的半径为9或 ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆外一点和圆上的点的最小距离和勾股定理等知识，
正确理解题意、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键.
11．（1）30，6；（2）① ；② ≤t≤ ．
【分析】
（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积
450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出
AB的长；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别
表示出OF，QC的长，由OF＝ QC可求出t的值；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作
QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角
形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝ QH可求出t的值；
同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范
围．【详解】
（1）设点Q的运动速度为a，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
∵AP＝6t，
∴S ＝ (60﹣6×5)×5a＝450，
△PDQ
∴a＝6，
∴AB＝5a＝30，
故答案为：30，6；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，
∵OF∥QC且点F是DC的中点，
∴OF＝ QC，
即4t＝ (90﹣6t)，
解得，t＝ ；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作
QH⊥AD于H，
如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，
∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，
∵QP＝ QH，
∴150﹣20t＝30 ，
∴t＝ ；如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，
PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，
∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，
∵QP＝ QH，
∴20t﹣150＝30 ，
∴t＝ ，
综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为： ≤t≤ ．【点睛】
本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、
等腰直角三角形的性质是解题的关键．
12．（1）2；（2） ；（3）a的值为-3或2或-4或1．
【分析】
（1）设A(m，n)，根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出 ，解方
程组即可求得A的坐标，代入y= 可求得k的值；
（2）作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设
B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值；
（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，即可判定- 在a≤x≤a+1
范围外，故存在两种可能，即当x=a时，有最大值4a，或x=a+1时有最大值4a，分别代入
求得即可．
【详解】
（1）设A(m，n)，
∵AO= ，
∴m2+n2=5，
∵一次函数y=2x的图象经过A点，
∴n=2m，
∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，
∵A在第一象限，∴m=1，
∴A(1，2)，
∵点A在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
∴k=1×2=2；
（2）如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ= BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2=3，
如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(-2t)2，
t=0(舍)或- ，
∴B(- ，- )，
∵点B在反比例函数y= (k＞0)的图象上，∴k=- ×(- )= ；
（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，
∴4a-2b+c=0，
又∵a+b+c=0，
∴b=a，c=-2a，
∴y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，
∵- ＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜- ，
当x=a时，取得最大值4a，
则a•a2+a•a-2a=4a，
解得a=-3或2，
当x=a+1时，取得最大值4a，
则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，
解得a=-4或1，
综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆
的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
13．（1） ；（2）当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆
与对角线AC相切．
【分析】
（1）在Rt△AOD中，根据OA的长以及∠BAD的正切值，即可求得OD的长，从而得到D
点的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式．
（2）由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：在Rt△OAD
中，易求得AD的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么
∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA＝30°；①当点P在线段AD上时，若⊙P与AC相切，由
于∠PAC＝30°，那么AP＝2R（R为⊙P的半径），由此可求得AP的长，即可得到t的值；
②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t值时，方法略有不同．【详解】
（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∠BAD＝60°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA•tan60°＝ ，
∴点D的坐标为（0， ），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+b，
，
解得 ．
∴直线AD的函数表达式为 ．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，
AD＝DC＝CB＝BA＝4，
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接PE，则PE⊥AC，PE＝r，
1 1 1
∵∠1＝30°，
∴AP＝2r＝2，
1
∴t＝2．
1
②点P在DC上与AC相切时，
CP ＝2r＝2，
2
∴AD+DP＝6，
2
∴t＝6．
2
③点P在BC上与AC相切时，
CP ＝2r＝2，
3
∴AD+DC+CP ＝10，
3
∴t＝10．
3
④点P在AB上与AC相切时，AP＝2r＝2，
4
∴AD+DC+CB+BP＝14，
4
∴t＝14，
4
∴当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，掌握解直角三角形、待定系数法、菱形的性质、切线的性质是
解题的关键．
14．（1） ；（2） ；（3）1或
【分析】
（1）连接 ，由 、 可求 ，即 ．因为 过点 的 切线，
故有 ，再加公共角 ，可证 ，由对应边成比例可求
的长，进而得点 坐标，即可求直线 解析式．
（2）分别把点 代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为 ，直线解析式
可消去 得 ．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到
关于 的方程有两个相等的实数根，即△ ，即求得 的值．
（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于 的方
程有两个相等是实数根，即△ ，整理得式子 ，可看作 关于 的二次
函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线 ．分类讨论对称轴在 左侧、中间、
右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在 左侧即 时，由图象可知 时 随
的增大而增大，所以 时 取得最小值，把 、 代入得到关于 的方程，方程无解；②当对称轴在 范围内时， 时即取得最小值 ，得方程 ，解
得： ；③当对称轴在2的右侧即 时，由图象可知 时 随 的增大而减小，
所以 时 取得最小值，把 、 代入即求得 的值．
【详解】
解：（1）如图1，连接 ，记过点 的 切线交 轴于点
，
，
，
设直线 解析式为：
，解得：
过点 的 的切线的解析式为 ;
（2） 抛物线 经过点，解得：
抛物线解析式：
直线 经过点
，可得：
直线解析式为：
直线与抛物线相切
关于 的方程 有两个相等的实数根
方程整理得：
△
解得：
直线解析式为 ；
（3） 函数 的图象与直线 相切
关于 的方程 有两个相等的实数根
方程整理得：
△
整理得： ，可看作 关于 的二次函数，
对应抛物线开口向上，对称轴为直线
当 时， 的最小值为
①如图2，当 时，在 时 随 的增大而增大
时， 取得最小值
，方程无解；②如图3，当 时， 时， 取得最小值
，解得： ；
③如图4，当 时，在 时 随 的增大而减小
时， 取得最小值
，解得： ， （舍去）
综上所述， 的值为1或 ．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数
的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含 、
的等式，转化为 关于 的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．
15．（1） ；（2）①PE的最大值为 ，此时 ；②存在点M，或 ．
【分析】
（1）先求出点B、点C和点A的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先求直线AB的解析式，设P(a，-a2-3a+4)，则E(a，-2a+2)，即可用含字母a的代
数式表示出PE的长度，由二次函数的图象及性质可知，当a=- 时，PE有最大值 ，可进
一步写出点P的坐标；
②设M(- ，m)，分别用含m的代数式表示出AM2，BM2，AB2的值，确定∠AMB=90°，
用勾股定理列方程即可求出m的值，进一步写出点M的坐标．
【详解】
（1）∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ， ．
在 中， ，
∴ ，∴ ．
把 ， 代入 ，
得 ，解得 ．
∴抛物线的函数解析式为 ；
（2）①设直线AB的函数解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，解得 ．
∴直线AB的函数解析式为 ．
设 ，则 ，∴ ，
∴当 时，PE的最大值为 ，此时 ；
②在直线PD上存在点M，使点M在以AB为直径的圆上．
∵点M在直线PD上，且 ，
∴设 ，
则 ， ， ．
∵点M在以AB为直径的圆上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
∴ 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求最值，圆周角定理，勾股定理，
解一元二次方程等，解题关键是能够熟练运用待定系数法求出函数解析式．16．（1）见解析；（2）A；（3）当 时， 有最大值， 的最大值为
【分析】
（1）根据 得到 是圆的直径，根据 是 的平分线，求得 ，
故可证明；
（2）过点 作 ，垂足为 ，求出 ，由题可得到 ，
，再证明 ，得到 ，代入即可求出 关于 的函
数，故可判断图象；
（3）根据二次函数的最值即可求解得到 的最大值．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ 是圆的直径，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
（2）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
依题意得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 与 的函数关系式为
，
∴函数图象大致如A选项所示，
故选A；
（3）由（2）得y
∵二次项系数小于0， ，
∴当 时， 有最大值， 的最大值为 ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性
质，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
17．（1） ，5，和8秒；（2） ；（3） 秒；（4） 或【分析】
（1）①如图26-1，当 时，过点 作 ，在直角△ 中，
， ， （S），②当 时，如图26-2， （S）③当
点运动到 点时， ，此时 ， （S）
（2）如图26-3，连接 ，过点 作 ， ， ，即 ；
（3）如图26-4，当 与 相切时， ， ，又 ，
，可列方程 ，解得： 即可
（4）①由题意得，当 时， 与 只有一个公共点；②当 点与 点重合时，
则有 ，结合图形可知 时， 与 只有一个公共点．
【详解】
解：（1）①如图，当 时，过点 作 ，
，
，作 ，
，
，
，在直角△ 中， ，
，
∴ ，
∵动点 从点 出发沿线段 以 的速度向点 运动，
∴2 ；
∴ （S）
②当 时，如图
∵ ，
∴ ，
∴2
∴ （S）
③当 点运动到 点时， ，此时
∴ （S）
∴当 ，5，和8秒时， 是等腰三角形
（2）如图，连接 ，过点 作 ，
∵AB=AC，∴ ，
是直径，
，
∴∠DEB=∠ANB=90°，∠DBE=∠ABN，
，
，
∴ ，
，
；
（3）如图，
当 与 相切时， ， ，
又 ， ，
，
解得：
∴当 时， 与 相切
（4）①由题意得，当 时， 与 只有一个公共点；②当 点与 点重合时，则有 ，
解得 ；
结合图形可知 时，
与 只有一个公共点；
综上当 或 时， 与 只有一个公共点．
【点睛】
本题考查三角形中动点问题，分类考虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构
造函数，用圆的切线的性质求动点运动时间，分类考虑动直线与圆的位置关系，掌握本题
考查三角形中动点问题，分类考虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构造函
数，用圆的切线的性质求动点运动时间，分类考虑动直线与圆的位置关系是解题关键．
18．（1）①（6，2），（3，-1）；②y=x-4；（2）5≤m≤9
【分析】
（1）①作AM⊥x轴于M，构造△ABO≌△BAM，可得OA=BM，OB=AM，再分别求解；
1 1 1
②取N（4，0），则OA=ON，作AM⊥x轴于M，首先说明A 的运动轨迹是一条直线，求
1 1
出这条直线的解析式即可解决问题；
（2）利用（1）②的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A（x，y），y与x之间的关系
1
式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图，作AM⊥x轴于M．
1
∵∠ABA=90°，
1
∴∠ABO+∠ABM=∠ABM+∠A，
1 1 1
∴∠ABO=∠A，
1
∵AB=BA，∠AOB=∠AMB=90°，
1 1
∴△ABO≌△BAM（AAS），
1
∴OA=BM，OB=AM，
1
当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，AM=2，OM=6，
1
∴A（6，2），
1
当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A（3，-1）．
1
故答案为（6，2），（3，-1）．
②取N（4，0），则OA=ON，作AM⊥x轴于M．
1
同理可证：△ABO≌△BAM，
1
∴OA=BM=ON，OB=AM，
1
∴OB=MN=AM，
1
∴△AMN是等腰直角三角形，
1
∴∠ANM=45°，
1
∴点A 在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，
1
设AN的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入，
1
则0=4+b，解得：b=-4，
∴这条直线的解析式为y=x-4，
∴A（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4；
1（2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A（x，y），
1
y与x之间的关系式：y=x-m，
由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，
当直线y=x-m与⊙C相切时，如图，
∵C（4，-3），⊙C的半径为 ，F为⊙C的切点，过C作CE∥x轴，点E在CD上，
在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m，
则C（0，-m），D（m，0），
∴△OCD为等腰直角三角形，OD=OC，
∵OF⊥EF，CE∥x轴，
∴∠ECF=45°，即△CEF为等腰直角三角形，
∵CF= ，
∴EF= ，CE=2，又C（4，-3），
∴E（2，-3），代入y=x-m中，
解得：m=5，
同理，当直线y=x-m与⊙C相切于另一点时，
同理可得：m=9，
综上：满足条件的m的范围为：5≤m≤9．【点睛】
本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题．
19．（1）见解析；（2）y＝x﹣3+ ，定义域是x＞ ；（3）圆O与圆P的圆心距
为 或 ．
【分析】
（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段 ，同理可得△FEG∽△FCP，得出
，则可得出结论；
（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义
及勾股定理可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股
定理可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵BG AP，
∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，
∴△FBG∽△FAP，
∴ ，
∵GE PC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，
△FEG∽△FCP，
∴ ，
∴ ，
∵AP＝PC，
∴BG＝EG；
（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，
∴∠AQK=∠QKP=90°，
∵DE AP，
∴AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，
∴四边形APKG为矩形，
∴PK＝AQ，AP＝QK，
∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝ ，AB＝5，
∴BQ＝AB•cos∠ABQ＝ ×5＝3，
∴AQ＝ ，
∴PK＝4，
∵AP＝x
∴PE=AP= x，
∴KE＝ ，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，
∴BE＝BK+EG＝ ，
∴y＝ ，
当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，
∵AQ⊥AP，QB AH，
∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，
∴四边形QAHB为矩形，
∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，
在Rt△BHP中，由勾股定理
即
解得 ,
∴AP＝ ，
∴定义域是x＞ ；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，
当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，∴BF＝BE，
∴∠BFE=∠FEB，
∵BE AC，
∴∠ACF=∠BEF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴y+5＝2x，
∵y＝ ，
∴2x﹣5＝ ，
整理得 ,
两边平方得 ,
整理得 ,
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴BG=EG＝ ，
∵圆O的半径为 ，
在Rt△BOG中，BO= ，
根据勾股定理
∴OG＝ ，
∴EK=
∴PV＝KG=3-GE=3- = ，
当圆心O在BE下方时，在Rt△POV中，由勾股定理
2∴OP＝ ，
2
当圆心O在BE上方时，
∴OP＝ ．
综合以上可得OP的长为 或 ．
【点睛】
本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等
腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定
理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线
准确构图是解题关键．
20．（1） ；（2）存在，理由见解析；D(－4, )或（2， ）；（3）最
大值 ； 最小值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；
（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得 △ABD的面积是△ABC面积的
倍，判断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点
D的坐标；
（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到
点E的坐标为E ,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标
，再设设F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n= ，
通过计算整理得出 ，由此得出F点的轨迹是以 为圆心，以
为半径的圆，再计算最大值与最小值即可.
【详解】
解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得
，解得 ，
∴
（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1， ）时， ，
△ABD的面积是△ABC面积的 倍，
，所以D点一定在x轴上方．
设D(m,n), △ABD的面积是△ABC面积的 倍，
n＝＝ m＝－4或m＝2
D(－4, )或（2， ）
（3）设E(x,y),
∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴ ,
∴y= ,
∴E ,
∵F是AE的中点,
∴F的坐标 ,
设F(m,n),
∴m= ,n= ,
∴x=2m+3,
∴n= ,
∴2n+2= ,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4( )2=1,
∴ ,
∴F点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
∴最大值： ，最小值：
最大值 ； 最小值
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的
坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距
离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.
21．（1） ；（2） ；（3）存在，P点坐标为 或
【分析】
（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），再表示为顶点式，从而用a表示C、M点的坐标，然
后把M（1，-4a），（0，-3a）代入y=x+d中求出a得到抛物线解析式；
（2）先写出直线CD的解析式为y=x+3和D（-3，0），C（0，3），利用平行四边形的性
质得CN=AD=2，CN∥AD，从而可得到N点坐标；
（3）利用垂径定理得到点P在抛物线的对称轴上，作PE⊥CD于E，如图，设P（1，
m），D（1，4），先确定∠PMD=45°得到PE= （4-m），再根据切线的性质得
PE=PA，即[ （4﹣m）]2＝（1+1）2+m2，然后解关于m的方程即可得到P点坐标．
【详解】
解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当x＝0时，y＝﹣3a，则C（0，﹣3a），
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴M（1，﹣4a），把M（1，﹣4a），（0，﹣3a）代入y＝x+d得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）直线CD的解析式为y=x+3，则D（-3，0），C（0，3），
∵四边形CDAN是平行四边形，
∴CN=AD=2，CN∥AD，
∴N（2，3）；
故答案为（2，3）；
（3）存在．
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点，∴点P在抛物线的对称轴上，
作PE⊥CD于E，如图，设P（1，m），M（1，4），
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴∠PMD＝45°，
∴PE＝ PM＝ （4﹣m），
∵⊙P与直线CD相切，∴PE＝PA，
∴[ （4﹣m）]2＝（1+1）2+m2，
整理得m2+8m﹣8＝0，解得m＝﹣4+ ，m＝﹣4﹣
1 2
∴P点坐标为（1，﹣4+ ）或（1，﹣4﹣ ）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
平行四边形的性质和切线的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性
质，记住两点间的距离公式．
22．（1） ；（2）b=4 ，A（2 ，2 ）或b= 4 ，A（ 2 ， 2）；
1 1 2 2
（3）m≤ 或m≥ ．
【分析】
（1）根据两点间距离公式求出PQ的长，利用圆面积公式计算即可；
（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，推出OA=4，因为直线y=-x+b有且尽有一个点A满
足OA=4，推出点O到直线y=-x+b的距离为4，由y=-x+b与直线y=-x平行，推出直线y=-
x+b与x轴的夹角为45°，如图1中所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b 交y轴于
1
M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b），N（0，b），解直角三角形即可解决问题；
1 2
（3）由题意：AB≥4，则点P到直线y=x-4的距离大于等于5，如图设到直线y=x-4的距离
等于5的点为P，P，根据P，P 的坐标，结合图象可得结论；
1 2 1 2
【详解】
解：（1）∵点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（ 4，3），
∴PQ= ，
∴S=π•PQ2=26π，
故答案为：26π．
（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，
∴OA=4，
∵直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，
∴点O到直线y=-x+b的距离为4，
∵y=-x+b与直线y=-x平行，
∴直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，
如图所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b 交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则
1
M（0，b），N（0，b），
1 2∵∠OA M=90°，∠OMA =45°，
1 1
∴△OMA 是等腰直角三角形，
1
∴OM= OA =4 ，
1
∴b=4 ，可得A（2 ，2 ），
1 1
同理可得：b= 4 ，A（ ， 2 ），
2 2
综上所述，b=4 ，A（2 ，2 ）或b= 4 ，A（ 2 ， 2）．
1 1 2 2
（3）由题意：
∵A、B的伴随圆的面积都不小于 ，
∴
∴AB≥4，
则点P到直线 的距离大于等于5，
如图设到直线 的距离等于5的点为P，P，
1 2由题意，在直线 上，
令x=0，则y=3，
∴点D为（0，3），
令y=0，则x= 4，
∴点C为（ 4，0），
∴ ，
由题意可知， ∽ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ；
∴P（ ，0），P（ ，0），
1 2
结合图象可知：满足条件的m的值为：m≤ 或m≥ ．
故答案为：m≤ 或m≥ ．
【点睛】本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，两直线平行的性质、
解直角三角形、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想
思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
23．（1） ；（2） ；（3）6
【分析】
（1）勾股定理求出BD长，利用三角函数求解析式，根据点P和点G的位置确定该函数的
定义域；
(2) 设 ，则 ，根据勾股定理列方程即可；
(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长
即可．
【详解】
解：(1)由勾股定理， ，
∵点M为线段 的中点，
∴PM⊥BE，
中， ，解得 ，
点P与端点C不重合，所以 ，当直线 恰好经过A点时，
BE= BD= ， ， ，该函数的定义域为： ．
（2）过点E作 于点H，若 ，可知
设 ，则由勾股定理，可得 ，解得
所以 ，解得 （负根舍去）
所以
（3）①若 ，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意；
② 时，此时E与D重合， ，解得
所以
③ 时，过点E作 ，交 延长线于点Q
由 ，可得 ，所以
代入数据， ，解得
综上， 的面积为6．【点睛】
本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知
识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．
