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专题3.35 圆的综合题-圆与函数（专项练习）
◆中考动态
纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相
似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较
大。
◆知识点
圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及
其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆
及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质
定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。
◆解题策略及方法
虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线
的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性
质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先
分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件
常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股
定理或锐角三角函数进行计算:
②利用圆周角相等转移角的等量关系;
③利用直径构造直角三角形;
④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;
⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。
2√2
1．在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC= ，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC
边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.2．如图，直线 经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在 轴上，当圆M与直线 相切时，求点M的坐标．
3．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组 .
（1）求函数y的表达式；
（2）若点P的坐标为（m,0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m
的取值范围.
4．如图，己知在△ABC中，AB=AC，tanB= ，BC =4，点E是在线段BA延长线上一点，
以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），射线EF与射线
AC交于点P.
（1）求证：AE2=AP·AC；
（2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及定义
域；
（3）当 时，求BE的长.5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，
与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂
线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，△BQP是等腰三角形且PQ=
求出点B的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与 轴交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），经过点 的直线 与 轴交于点 ，与抛物线的另一个交点为 ，且
.
（1）求点 的坐标及直线 的函数表达式；
（2）点 在 轴正半轴上，且 ，求 的长；
（3）点 是抛物线上第一象限内的一点，以 为圆心的圆与直线 相切，切点为 ，且以
点 、 、 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标.7．如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，且
与 轴交于点 ；点 在反比例函数 的图象上，以点 为圆心，半径为 的作圆
与 轴， 轴分别相切于点 、 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请连结 ，并求出 的面积；
（3）直接写出当 时， 的解集．
8．木匠黄师傅用长 ，宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如
图1三种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线 将矩形 锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案三：锯一块小矩形 拼到矩形 下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用
拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
（1）求出方案一、方案二中圆的半径.
（2）在方案三中，设 ，圆的半径为 .
①求 关于 的函数解析式；
②当 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？
（3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大.
9．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动
（A、D、E、C四点共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点
M、N（M、N不与A、B重合）时，
设AD=x．
（1）则△FMN的形状是_______,△ADM的形状是_______；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且
AE⊥AC．
（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的
函数解析式；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．
若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．11．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿
A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两
点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的
面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平
分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，
运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
12． 如图，一次函数y=2x与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以
C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO= ，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为 ，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1
时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
13．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半
轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形
的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆
与对角线AC相切．
14．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为
直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，以点 为圆心，5为半径作圆
，交 轴的负半轴于点 ，求过点 的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线 （ ）与直线 （ ）相切于点 ，求直线的解析
式；（3）若函数 的图象与直线 相切，且当 时，
的最小值为 ，求 的值．
15．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，点B的坐标为
，抛物线 经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作 轴于点D，交线段AB于点E，
使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
16．如图，已知 ， 是 的平分线， 是射线 上一点， ．
动点 从点 出发，以 的速度沿 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 从点
出发，也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动．连接 ，交 于点 ．经过 、 、
三点作圆，交 于点 ，连接 、 ．设运动时间为 ，其中 ．（1）求证： 是等腰直角三角形；
（2）设 的长为 ，发挥你的空间想象力，观察因动点 、 的运动而得到的图形变
化的全貌，指出 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
（3）在（2）的条件下，求出 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
17．己知：如图1， 中， ， ，动点 从点 出发沿线段
以 的速度向点 运动，同时动点 从点 出发沿线段 以 的速度向点
运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为 （单位： ）以
点 为圆心， 长为半径的圆 与射线 ，线段 分别交于点 ， ．
（1）当 是等腰三角形时，求 的值；
（2）设 ，求 与 的函数解析式，且写出 的取值范围；
（3）如图2，连接 ，当 为何值时，线段 与⊙ 相切？
（4）如图2，若⊙ 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．18．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，且 ，点 的坐标为 ，将
线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，称点 为点 关于点 的“伴随点”，图
1为点 关于点 的“伴随点”的示意图．
（1）已知点 ，
①当点 的坐标分别为 时，点 关于点 的“伴随点”的坐标分别为
_____________，__________；
②点 是点 关于点 的“伴随点”，探究点 的运动路径所对应的函数表达式，
并说明理由；
（2）如图2，点 的坐标为 ，以 为圆心， 为半径作圆，若在 上存在点
关于点 的“伴随点”，则 的纵坐标 的取值范围__________．
19．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线 使 ∥AN交圆与D、E两点（点D、点
E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于
G，cos∠BAP= ，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为 的圆O与圆
P的圆心距．
20．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的 倍？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线
段OF的最大值和最小值．21．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，顶点
为 ，直线 经过 ， 两点，并且与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若四边形 是平行四边形，且点 在抛物线上，则点 的坐标为________；
（3）平面内是否存在点 ，使以点 为圆心的圆经过 、 两点，并且与直线 相切？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．问题提出：
平面内有两点P、Q，以点P或点Q为圆心，PQ长为半径的圆称为点P、Q的伴随圆，如
图①②所示， 、 均为点P、Q的伴随圆．
初步思考：
（1）若点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），则点P、Q的伴随圆的面积是________．
（2）点O是坐标原点，若函数 的图象上有且只有一个点A，使得O、A的伴随
圆的面积为 ，求b的值及点A的坐标．
推广运用：
（3）点A在以P（m，0）为圆心，半径为1的圆上，点B在函数 的图象上，若对
于任意点A、B，均满足A、B的伴随圆的面积都不小于 ，则m的取值范围是________．
23．如图，在矩形 中， ， ，点P在边 上（点P与端点B、C不重
合），以P为圆心， 为半径作圆，圆P与射线 的另一个交点为点E，直线 与射
线 交于点G．点M为线段 的中点，联结 ．设 ．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结 ，当 时，求x的值；
（3）如果射线 与圆P的另一个公共点为点F，当 为直角三角形时，求 的面
积．参考答案
1．（1）y= -x+4（0
