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专题 3.2 轴对称与坐标变换
1. 理解在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能准确求出
已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2. 掌握图形沿坐标轴进行轴对称变换后顶点坐标的变化规律，能根据坐标变化绘制
教学目标
出轴对称变换后的图形。
3. 通过观察、分析、归纳，培养观察、归纳总结和逻辑思维能力，体会数形结合思
想。
1.重点
（1）理解轴对称的概念，明白图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合。
（2）掌握坐标变化规律，识别并应用坐标变化（如平移、旋转）对图形的影响，理
解坐标变化与图形变换的关系。
教学重难点
2.难点
（1）识别复杂的轴对称图形，尤其是存在多个对称轴时准确判断。
（2）理解坐标变化后图形的几何性质（如面积、周长等）是否改变，以及如何通过
坐标变化来计算这些性质 。知识点01 坐标系中的对称
（1）点 关于x轴的对称点是 ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点 关于y轴的对称点是 ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点 关于坐标原点的对称点是 ，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点 关于点 的对称点是 ．
（5）点 关于 的对称点是 ．
（6）点 关于 的对称点是 ．
（7）点 关于一三象限的平分线的对称点为 ．
（8）点 关于二四象限的平分线的对称点为 ．
【即学即练1-1】点 关于 轴的对称点的坐标是 ．
【即学即练1-2】若点 与点 关于y轴对称，则 的值是 ．
【即学即练1-3】已知：如图， 三个点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于y轴对称的图形 ；写出 各顶点坐标；
(2)求 的面积．
(3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹）
题型01 求点关于x轴的对称点的坐标【典例1】点 关于x轴对称的点 的坐标为 ．
【变式1】在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，则 的值为 ．
【变式2】在平面直角坐标系中，若点 与点 关于 轴对称，则 ．
【变式3】若点 在 轴上，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是 ．
题型02 求点关于y轴的对称点的坐标
【典例2】平面直角坐标系中，与点 关于y轴对称的点的坐标为 ．
【变式1】点 ， ，若 ， 关于 轴对称，则 ， ；若 ，
关于 轴对称，则 ， ．
【变式2】已知点 和 关于 轴对称，则 的值为 ．
【变式3】若点 在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ．
题型03 求点关于某直线的对称点的坐标
【典例3】点 关于直线 对称的点的坐标是 ．
【变式1】点 关于直线 对称的点的坐标为 ．
【变式2】已知点 和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线 对称 ．
【变式3】点 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ．
题型04 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
【典例4】坐标平面上点 ，点 ，点C在x轴上，则 最小值为 ．
【变式1】如图，平面直角坐标系中， 三点的坐标分别为 ， ， ， ，点
M，N是x轴，线段 上的动点，则 的最小值为 ．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中， ， ，点C是y轴上一点，连接 ，则周长的最小值为 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一
动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
题型05 坐标与图形变换--轴对称
【典例5】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标为 ．
(1)画出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标 ；
(2)求 的面积；
(3)x轴上找一点P，使三角形 周长最小，x轴上画出P点位置．
【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网
格线的交点） 的坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于x轴对称的 （点 的对应点分别为 ）．
(2)连接 ，直接写出 的面积．
(3)在（1）的条件下，在线段 上找出点D，使得 的面积是 的面积的 ．
【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶
点在格点上.
(1)画出 关于 轴对称的 ；并写出 ； ； 的坐标.
(2)求 的面积.
(3)在 轴上找出点 ，使 的周长最小.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，
已知 的三个顶点都是格点．(1) 的顶点坐标分别是A______，B______，C______；
(2) 与 关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是 ，则 ______；
(3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______．
题型06 轴对称的几何变换综合题
【典例6】如图①，已知正方形 的边长为6， ，点
为正方形 边上的动点，动点 从点 出发，沿着 运动到 点时停止，设点 经过的
路程为 ， 的面积为 ．
(1)如图②，当 时， ______________；
(2)如图③，当点 在边 上运动时， ______________；
(3)当 时， 的值为______________；
(4)当点 在边 上运动时，是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出此时 的值；若不存
在，请说明理由．
【变式1】阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．例如．如图1， ，则 ．【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点 ，P为x轴上任一点，求 的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？
【变式2】如图 ，在 中， ，点 为 的中点，连接 ．点 在射线
上运动，当点 不与点 重合时，连接 ．设 ．
(1) 的长为________；
(2)当 是直角三角形时，求 的值；
(3)当 是轴对称图形时，求 的面积；
(4)如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，当点 三点共线时，直接写出 的值．
一、单选题
1．点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，若点 与点 关于y轴对称，则 的值是（ ）
A． B． C．3 D．1
3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一
幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 的坐标为 ，其关于 轴对称的点 的坐
标为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
4．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面
厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为 ，则此时对应的虚像 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知 的顶点 在 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，点C的坐标为 ， 与 关
于 所在直线对称．若点 恰好落在y轴上，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是 ，经过
2025次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．点 关于 轴的对称点 坐标为 ，关于 轴的对称点 坐标为 ．
8．在平面直角坐标系中，点 与点 关于直线 轴对称，则 的值是 ．
9．如图，点 的坐标是 ，直线 经过点 且平行于 轴，则点 关于直线 对称的点的坐标是
，它可以看作是点 向上平移 个单位长度得到．
10．如图，在平面直角坐标系中， 关于直线 （直线 上各点的横坐标都为1）对称，点 的坐标
为 ，则点 的坐标为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上的一个动点，且 、、 三点不在同一直线上，当 的周长最小时，点 的坐标是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的长 为 ，宽 为 ，动点 从点 出发沿
运动，当 的面积等于四边形 面积的 时，点 的坐标为 ．
三、解答题
13． 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
(1)作出 关于x轴对称的 ，并写出 点的坐标；
(2)作出 关于y轴对称的 ，并写出 点的坐标；
(3)求 的面积．
14．坐标系中， 的顶点坐标是 ．(1)画出 关于 轴对称后的 ，并写出 坐标．
(2)x轴上有一动点P，点 与点 到P的距离之和 的最小值为________；
(3)求 的面积．
15．如图，A，B，C三点的坐标分别为 ， ， ．
(1)求 ；
(2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想 与 的关系，并验证你的猜想；
(3)试在坐标轴上找一点P，使 ，请直接写出满足条件的点P的坐标．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．
(1)在平面直角坐标系中画出 ．
(2)点 关于 轴的对称点 的坐标为__________，点 关于 轴的对称点 的坐标为__________；(3)在 轴上找一点 ，使 最大；
(4)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出周长；
(5)已知 为 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标．
17．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重
合的两点，点 和点 ，当 时， 轴，且 的长为 ；当 时，
轴，且 的长为 ．
【实践操作】
（1）①若点 ，点 的横坐标为2， 轴，则 的长为 ．
②若点 轴， ，则点 的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形 的边长为4，顶点 的坐标是 轴，则顶点 的坐标为 ，顶点
的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点 的坐标为 ；将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，连接 ．点
分别是线段 上的动点（不与端点重合），点 从点 出发，以 的速度向终点 运动，点
从点 出发，以 的速度向终点 运动，若两点同时出发，运动时间为 ，当 轴时，求 的
值．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，线段 平移到线段 ， 且点
在 轴上．
(1) _______，点 的坐标为_______；
(2)如图2，过点 作直线 轴，直线 上有一动点 ，以每秒2个单位长度从点 向 方向运动，
运动时间为 秒，连接 与线段 交于点 ，连接 ，当 为何值时 ；(3)如图3，点 是射线 上的一点， 向 轴正方向移动，在直线 上取两点 、 （点 在点
左侧），满足 ， ．当 运动到某一位置时，四边形 的面积有最大值，请直接写出
面积的最大值．
