文档内容
专题 3.6 对数与对数函数
题型一 对数的运算
题型二 换底公式的应用
题型三 对数函数的概念
题型四 对数函数的图象问题
题型五 对数型函数过定点问题
题型六 对数函数的定义域和值域问题
题型七 利用对数的单调性解不等式或比较大小
题型八 由对数函数的单调性求参数
题型九 对数函数的最值问题
题型十 对数函数的实际应用
题型十
反函数
一
题型一 对数的运算
例1．（2023·山东淄博·统考二模）设 ，满足 ，则
__________.
例2．（2023·天津·统考二模）已知 ，则 （ ）
A．3 B．5 C． D．
练习1．（2021秋·高三课时练习）计算：log 3× =____．
4
练习2．计算：
(1) ；(2)
练习3．（2021秋·高三课时练习）（多选）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
练习4．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知 ，则 的值
为_______________．
练习5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知 ，
，若 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．25
题型二 换底公式的应用
例3．求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知 ， ，求 的值．
例4．（2023·全国·高三专题练习） =______
练习6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若 ，且 ，则
__________．
练习7．（2022秋·新疆喀什·高三校考阶段练习）若 ，则 ＝___．练习8．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知 ,则 ＝（ ）
A．a+b B．2a-b C． D．
练习9．（2022秋·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）（多选）已知 ， ，且
满足 ， ，则 的可能取值为（ ）
A． B．3 C． D．9
练习10．（2022秋·山东青岛·高三校考期中）若 ，则 的范
围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 对数函数的概念
例5．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（ ）
A． （ ，且 ） B．
C． D．
例6．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点
，则 __________．
练习11．（2022·高三课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
练习12．（2021·高三课时练习）给出下列函数：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） ．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）练习13．（2022·高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log x－1
2
C．
D．y＝log x
5
练习14．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数
在 上单调递增，且 ”的一个函数 ___________.
练习15．（2023·高三课时练习）若对数函数的图象过点 ，则此函数的表达式为
______.
题型四 对数函数的图象问题
例7．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早
为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与
“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数
（ 且 ）的大致图象如图，则函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 与 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
练习16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个对数函
数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
练习17．（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知 （
且 ， 且 ），则函数 与 的图像可能是（ ）A． B．
C． D．
练习18．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）已知 ，则函数 与
函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习19．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）函数 的图像是（ ）A． B．
C． D．
练习20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数 的图象不过第四象限，
则实数a的取值范围为________．
题型五 对数型函数过定点问题
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数 恒过定
点 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
练习21．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）已知 且 ，若函数
与 的图象经过同一个定点，则 ______.
练习22．（2022秋·高三单元测试）已知函数 ，则无论 取何值，
图象恒过的定点坐标__________.
练习23．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）函数 的图象恒过定点
A，且点A在幂函数 的图象上，则 ＝________.练习24．（2023春·湖南·高三校联考期中）幂函数 的图象过点 ，则函数
恒过定点___________.
练习25．（2022秋·青海西宁·高三西宁五中校考期末）已知函数 ，（
，且 ）恒过定点 ，且满足 ，其中m，n是正实数，则
的最小值是（ ）
A．16 B．6 C． D．
题型六 对数函数的定义域和值域问题
例11．（2023·湖北·校联考三模）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是
_______
练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
练习27．（2023秋·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函
数 的值域为_______________.
练习28．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数
，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．练习29．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023春·河南信阳·高三统考开学考试）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 的定义域为 B． 的图象关于 轴对称
C． 的值域为 D． 是减函数
题型七 利用对数的单调性解不等式或比较大小
例13．（浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·天津·高三专题练习）集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
练习31．（2022秋·高三课时练习）已知 ，则实数 的取值范围
是_______.
练习32．（吉林省长春市2023届高一下学期5月四模数学试题）已知 ，
， ，则a，b，c的大小关系为__________．练习33．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）已知集合
， ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
练习34．（2023·全国·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
练习35．（2018·北京·高三强基计划）已知函数 ，若实数m满足
，则实数m的取值范围是____________．
题型八 由对数函数的单调性求参数
例15．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知
是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．4 B． C． D．8
例16．（2023春·河南平顶山·高三汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数
在 上单调递增，则a的取值范围是______．
练习36．（2023秋·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考期末）已知函数
在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习37．（2023·高三课时练习）已知 在 上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
练习38．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数
，且满足对任意的实数 ，都有 成立，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习39．（2023秋·山东济宁·高三统考期末）已知 且 ，若函数 在
上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习40．（2023春·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知 且 ，函数
，满足 时，恒有 成立，
那么实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型九 对数函数的最值问题
例17．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考开学考试）已知 ，
，设函数 ， _____.
例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
练习41．（2023·高三课时练习）函数 的最小值是______．
练习42．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）已知 ， 且
，则 的最大值为___________．
练习43．（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知函数
且 的图象过点 .
(1)求 的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最大值；
(3)若 ，比较 与 的大小.
练习44．（2023·全国·高三专题练习）设函数 的最大值为
M，最小值为N，则 的值为________．
练习45．（2022秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
有（ ）
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
题型十 对数函数的实际应用
例19．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科
学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地
震里氏震级 之间的关系为： ． 年 月 日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是 年 月 日我国泸定发生的里氏 级地震释放能
量的（ ）倍．（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
例20．（2021秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期末）噪声污染已经成为影响人们身
体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度 （分贝）由公式 （ ，
为非零常数）给出，其中 为声音能量.当声音强度 ， ， 满足
时，声音能量 ， ， 满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，
声音能量为 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为
时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝
数在 区间内，此时声音能量数值的范围是_________.
练习46．（2021秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期中）（多选）声强级 （单
位： ）与声强 （单位： ）之间的关系是： ，其中 指的是人能听到
的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为
，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为 （单位： ）．下列选项中
正确的是（ ）
A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位： ）
C．如果声强变为原来的 倍，对应声强级也变为原来的 倍
D．声强级增加 ，则声强变为原来的 倍．
练习47．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的
关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､
Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分
成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为
的等比数列.已知两个音高 ， 的频率分别为 ， ，且满足函数关系： ，
已知两个纯五度音高的频率比 ，则它们相差的半音个数 ________.(其中， ，结果四舍五入保留整数部分).
练习48．（2021秋·高三课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时
期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全
文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有
种方法，设这个数为N，则 的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
练习49．（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术领先世界，
5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高
斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 的公式 ，其中 是
信道带宽（赫兹）， 是信道内所传信号的平均功率（瓦）， 是信道内部的高斯噪声功
率（瓦），其中 叫做信噪比．根据此公式，在不改变 的前提下，将信噪比从99提升
至 ，使得 大约增加了60%，则 的值大约为（ ）（参考数据： ）
A．1559 B．3943 C．1579 D．2512
练习50．（2022·高三单元测试）人们常用里氏震级 表示地震的强度， 表示地震释放
出的能量，其关系式可以简单地表示为 ，2021年1月4日四川省乐山市犍
为县发生里氏 级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏 级地震，则后者
释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据： )
A． B． C． D．
题型十一反函数
例21．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知 ， 分别是方程 和
的根，若 ，实数a， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
例22．（2022秋·高三课时练习）（多选）关于函数 与函数
说法正确的有（ ）A． 互为反函数
B． 的图像关于原点对称
C． 必有一交点
D． 的图像关于 对称
练习51．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）若关于 的函数 （
， ）的反函数是其本身，则 _________
练习52．（2023秋·北京·高三校考期末）已知函数 的图像与 的图像关于直
线 对称，则 （ ）
A． B．10 C．12 D．
练习53．（2021秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）设定义域为 的函数 、
都有反函数，且函数 和 图像关于直线 对称，若 ，则
__
练习54．（2022秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）若函数 ，函数
与函数 图象关于 对称，则 的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
练习55．（2023秋·山东菏泽·高三山东省东明县第一中学校考期末）若 ， 分别是方程
， 的根，则 （ ）
A．2022 B．2023 C． D．
