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专题3.30 圆中的几何模型--隐形圆专题（知识讲解）
隐形圆是中考选择题和填空题中常考题，题目往往以动态问题出现，有点、
线的运动，或者图形的折叠，多数学生基本没有思路，一头雾水，从而无法解
答。 隐形圆常见的有以下几种形式，一是对角互补，四点共圆；二是定
弦定角，点在圆上；三是定点定长，轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋
转问题、角度不变问题等。
类型一、对角互补，四点共圆。
例1、如图1,等边△ABC中,AB=6,P为AB上ー动点,PD⊥BC,PE⊥AC,求DE的最小
值。
图一 图二
解题思路：因为对角互补，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120，所
以当直径最小时，弦DE的值最小。
略解：因为∠PEC=∠PDC=90°,故四边形PDCE对角互补,故P、D、C、E四点共
圆,如图2。∠EOD=2∠ECD=120°,要使得DE最小,则要使圆的半径最小,故直径
PC最小,当CP⊥AB时,PC最短为 ,则可求出DE = 。
类型二、定角定弦，轨迹是圆。
例2、如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= ,点D是AC边上ー动
点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值是多少？图1 图2 图3
,
.
类型三、定点定长,点在圆上
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足
∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是_______．
【答案】 ﹣4．
【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，
∴OC= ，
∴PC=OC﹣OP= ﹣4．
∴PC最小值为 ﹣4．
故答案为 ﹣4．
【点拨】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点
到圆的最大距离和最小距离是解题的关键.折叠问题很多都是用到圆的知识解答，注意定点
定长，找到合适的圆，就可以很简单的进行知识转化，化动为静。
类型四、线段滑动，中点在圆上
例4、如图，已知A、B两点的坐标分别为(-8，0)、(0，8)，点C、F分别是直
线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，
当 ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD=______．【答案】
【分析】如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD= CF=5，推出点D的运动轨迹是以K
为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与 K相切时， 的面积最小，作EH⊥AB于
H，求出EH，AH即可解决问题.
如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD= CF=5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与 K相切时， 的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝5+8＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝ ，即 ，
∴OE＝ ，
∴AE= ，
作EH⊥AB于H，
∵ ，∴EH= ，
AH= ，
∴ ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的
面积，三角函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空
的压轴题型.
总之，动态问题中，一定要找到点的运动轨迹，可以结合圆的性质，比如到定点的距离等
于定长的点的集合，同弦所对的圆周角相等或互补，直径所对的圆周角是直角，圆内接四
边形对角互补等，把这些性质逆用，就可以找到隐形圆。比如四边形对角互补，那我们就
要立刻反应出这四点共圆，找到圆后，就用圆的性质解题。
