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专题 3.2 轴对称与坐标变换
1. 理解在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能准确求出
已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2. 掌握图形沿坐标轴进行轴对称变换后顶点坐标的变化规律，能根据坐标变化绘制
教学目标
出轴对称变换后的图形。
3. 通过观察、分析、归纳，培养观察、归纳总结和逻辑思维能力，体会数形结合思
想。
1.重点
（1）理解轴对称的概念，明白图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合。
（2）掌握坐标变化规律，识别并应用坐标变化（如平移、旋转）对图形的影响，理
解坐标变化与图形变换的关系。
教学重难点
2.难点
（1）识别复杂的轴对称图形，尤其是存在多个对称轴时准确判断。
（2）理解坐标变化后图形的几何性质（如面积、周长等）是否改变，以及如何通过
坐标变化来计算这些性质 。知识点01 坐标系中的对称
（1）点 关于x轴的对称点是 ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点 关于y轴的对称点是 ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点 关于坐标原点的对称点是 ，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点 关于点 的对称点是 ．
（5）点 关于 的对称点是 ．
（6）点 关于 的对称点是 ．
（7）点 关于一三象限的平分线的对称点为 ．
（8）点 关于二四象限的平分线的对称点为 ．
【即学即练1-1】点 关于 轴的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点关于对称轴对称时，坐标的变化规律问题．点 关于 轴对
称点的坐标为 ，点 关于 轴对称点的坐标为 ，本题根据点关于 轴、 轴对称时，横纵
坐标变化规律解答即可．
【详解】解：∵坐标系中点关于 轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，
∴点 关于 轴的对称点的坐标是 ．
故答案为： ．
【即学即练1-2】若点 与点 关于y轴对称，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可．
本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可．
【详解】解：∵点 与 关于 轴对称，
∴ ，
解得 ，
故 ，
故答案为：1．
【即学即练1-3】已知：如图， 三个点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于y轴对称的图形 ；写出 各顶点坐标；
(2)求 的面积．
(3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解
答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，再根据 各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）作点 关于 轴的对称点 ,连接 ，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）解： 的面积为 ．
（3）解：如图，作点 关于 轴的对称点 ,连接 ，交x轴于点P，连接 ，
则 ，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作．题型01 求点关于x轴的对称点的坐标
【典例1】点 关于x轴对称的点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反
数进行求解即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式1】在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为
相反数是解题关键．根据关于 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出 、 ，进而可得
答案．
【详解】解： 点 关于 轴的对称点为 ，
， ，
．
故答案为： ．
【变式2】在平面直角坐标系中，若点 与点 关于 轴对称，则 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】此题主要考查了关于 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵ 与点 关于 轴对称，
∴
∴
故答案为： ．
【变式3】若点 在 轴上，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是 ．【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据 轴上的点横坐标为 求出 的值，即得点
的坐标，再根据关于 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点 的坐标，掌握以上知识点
是解题的关键．
【详解】解：∵点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
题型02 求点关于y轴的对称点的坐标
【典例2】平面直角坐标系中，与点 关于y轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于 轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意
一点 ，关于 轴对称的点的坐标为 ，将 的坐标代入从而得出答案．
【详解】解：根据关于 轴、 轴对称的点的坐标的特点，
点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．
【变式1】点 ， ，若 ， 关于 轴对称，则 ， ；若 ，
关于 轴对称，则 ， ．
【答案】 2 5
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化 旋转，关于 轴、 轴对称的点的坐标．
（1）关于 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解．
（2）关于 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解．
【详解】解：（1）若 、 关于 轴对称，则 ， ；
故答案为：2；5；（2）若 、 关于 轴对称，则 ， ．
故答案为： ， ．
【变式2】已知点 和 关于 轴对称，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了代数式求值，关于 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于 轴对称的点的坐标特征
是解题的关键．利用关于 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出 ， ，代入计算
即可．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】若点 在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点 在x轴上求出 ，得
，再求出点 的坐标即可．
【详解】解：∵点 在x轴上，
∴ ，
解得， ，
∴ ,
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q坐标是 ，
故答案为： ．
题型03 求点关于某直线的对称点的坐标
【典例3】点 关于直线 对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点 关于直线 对称的点为
，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】设点 关于直线 对称的点为 ，∴ ，
解得， ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1】点 关于直线 对称的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。
根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可
【详解】解：当所求的点与点 关于 对称时，其对称点 的坐标为
∵ ，
∴对称点 的坐标为 ，
故答案是： ．
【变式2】已知点 和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线 对称 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．
根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．
【详解】解：设点B的横坐标为x，
∵点 与点B关于直线 对称，
∴ ，
解得 ，
∵点A、B关于直线 对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点 ．
故答案为 ．
【变式3】点 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象
限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案．【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，
即点 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ；
可得答案为 ．
故答案为： ．
题型04 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
【典例4】坐标平面上点 ，点 ，点C在x轴上，则 最小值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点 过于 轴的对称点 ，连接 ，则： 最小值即
为 的长，进行求解即可．
【详解】解：如图，作点 过于 轴的对称点 ，连接 ，则： ， ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 的长，
∵ ，
∴ ；
故 最小值为 ．
【变式1】如图，平面直角坐标系中， 三点的坐标分别为 ， ， ， ，点
M，N是x轴，线段 上的动点，则 的最小值为 ．【答案】4
【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作 于H，交x轴于点E，连接 ．则
的最小值为 的长，
根据 ， ，推出 ．
【详解】解：过点P作 于H，交x轴于点E，连接 ，
点M，N是x轴，线段 上的动点，
的最小值为 的长，
， ，
．
故对答案为：4．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中， ， ，点C是y轴上一点，连接 ，则
周长的最小值为 ．【答案】 /
【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解
即可．作 于D，则 ， ， ， ，得出 ，由勾股定理求出 即可；
由题意得出 最小，作A关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点C，点C即为使 最小
的点，作 轴于E，由勾股定理求出 ，即可得出结果．
【详解】解：作 于D，
则 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；
要使 的周长最小， 一定，
则 最小，
作A关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点C，
点C即为使 最小的点，
作 轴于E，
由对称的性质得： ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ＝ ，
∴ 的周长的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一
动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点 ，
连接 交直线l于点C，由轴对称的性质可得 ， ， ，进而可得
，可知当O，P， 三点共线时， 的最小值为 ，再利用勾股定理求
即可．
【详解】解：如图，取点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点C，连接 ， ， ，
则可知 ， ， ，
∴ ，
即当O，P， 三点共线时， 的最小值为 ，
∵直线l垂直于y轴，
∴ 轴，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
题型05 坐标与图形变换--轴对称
【典例5】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标为 ．(1)画出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标 ；
(2)求 的面积；
(3)x轴上找一点P，使三角形 周长最小，x轴上画出P点位置．
【答案】(1)见解析，
(2)5
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称
的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）取点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；由图知，点 的坐标为 ；
（2）解： 的面积为 ；（3）解：如图，取点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 ，
此时三角形 周长 最小，
则点P即为所求．
【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网
格线的交点） 的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于x轴对称的 （点 的对应点分别为 ）．
(2)连接 ，直接写出 的面积．
(3)在（1）的条件下，在线段 上找出点D，使得 的面积是 的面积的 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积．（1）分别作出 关于 轴对称的对应点 ， ， ，再顺次连结得到 ；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据三角形中线的意义，找出点D即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作；
（2）解： 的面积 ；
（3）解：如图，点D即为所求作．
【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶
点在格点上.
(1)画出 关于 轴对称的 ；并写出 ； ； 的坐标.
(2)求 的面积.
(3)在 轴上找出点 ，使 的周长最小.
【答案】(1)作图见解析，
(2)(3)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求
三角形面积
【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据根据点坐标关于 轴对称的变换规律分别画出点 ，再顺次连接即可得；
（2）利用割补法求解即可；
（3）连接 ，交 轴于点 即为所求．
【详解】（1）解：由图可得 ，
与 关于 轴对称，
，
如图， 即为所求．
（2）解： 的面积 ；
（3）解：如图，点 即为所求．
理由：由轴对称的性质得： ，
的周长为 ，
当 取最小值时， 的周长最小，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值，
则 与 轴的交点即为所求．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，
已知 的三个顶点都是格点．(1) 的顶点坐标分别是A______，B______，C______；
(2) 与 关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是 ，则 ______；
(3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3) 或
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形
【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据图形写出坐标即可得解；
（2）根据轴对称的性质作出 ，再写出 的坐标即可得解；
（3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解．
【详解】（1）解：由图可得： ， ， ；
（2）解：如图： 即为所作，
由图可得： ；
（3）解：如图，点 、 即为所求，所有符合条件的点D坐标为 或 ．
题型06 轴对称的几何变换综合题
【典例6】如图①，已知正方形 的边长为6， ，点
为正方形 边上的动点，动点 从点 出发，沿着 运动到 点时停止，设点 经过的
路程为 ， 的面积为 ．
(1)如图②，当 时， ______________；
(2)如图③，当点 在边 上运动时， ______________；
(3)当 时， 的值为______________；
(4)当点 在边 上运动时，是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出此时 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)18
(3)5或13
(4)存在；9
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
（1）由 ，可得 ，然后由 ，求得答案；
（2）直接由 ，求得答案；（3）由已知得只有当点P在边 或边 上运动时， ，然后分别求解即可求得答案；
（4）作点A关于 的对称点E，连接 ，交 于点P，根据轴对称可知： ，得出
，根据两点之间线段最短，得出此时 最小，即 最小，说明
最小，即 的周长最小，利用三角形的面积公式求出 即可得出x的值．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
故答案为：3．
（2）解：∵点P在边 上运动，
∴ ；
故答案为：18．
（3）解：由已知得只有当点P在边 或边 上运动时， ，
当点P在边 上运动时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当点P在边 上运动时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，当 时， 或13；
（4）解：存在；
作点A关于 的对称点E，连接 ，交 于点P，如图所示：
根据轴对称可知： ，∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
∴ 最小，即 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
则 ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ，
∴此时 ．
【变式1】阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．例如．如图1， ，则 ．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点 ，P为x轴上任一点，求 的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？
【答案】(1)
(2) 的最小值为(3)
【知识点】已知两点坐标求两点距离、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的
关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出 的最小值．
（3）把 看成点 到两点(0,2)和 的距离之和，求出两点(0,2)和
的距离便是 的最小值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接 ，则 ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴当A、P、C三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）∵把 看成点 到两点(0,2)和 的距离之和，
∴两点(0,2)和 的距离便是 的最小值，
∴最小值为： ．【变式2】如图 ，在 中， ，点 为 的中点，连接 ．点 在射线
上运动，当点 不与点 重合时，连接 ．设 ．
(1) 的长为________；
(2)当 是直角三角形时，求 的值；
(3)当 是轴对称图形时，求 的面积；
(4)如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，当点 三点共线时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ；
(4) 或 ．
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、面积问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形
【分析】（ ）由等腰三角形的性质求出 ，由勾股定理可求出答案；
（ ）当 时，点 与点 重合，当 时，由勾股定理可求出答案；
（ ）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案；
（ ）分两种情况，当 在 的延长线上时，当 在 的延长线上时，由轴对称的性质及勾股定理可
得出答案．
【详解】（1）∵ ， ，点 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）当 时，点 与点 重合，在 中， ，
∴ ，
当 时，
在 中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的值为 或 ；
（3）当 时，点 与点 重合，不符合题意，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上可知： 的面积为 或 ；
（4）当 在 的延长线上时，如图，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中, ，
∴ ，
∴ ；
当 在 的延长线上时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
一、单选题
1．点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于x轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握点关于x轴对称时“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律．
先明确点关于x轴对称的坐标变化规律；再根据该规律，结合已知点P的坐标，求出其对称点的横、纵坐
标；最后对比选项确定答案．
【详解】解：根据点关于x轴对称的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．已知点P坐标为 ，
则其关于x轴的对称点横坐标仍为 ，纵坐标为1的相反数 ，即对称点坐标为 ．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，若点 与点 关于y轴对称，则 的值是（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特
征．根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，
即可得出答案．
【详解】解：∵点 与点 关于y轴对称，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
故选：D．
3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一
幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 的坐标为 ，其关于 轴对称的点 的坐
标为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，利用轴对
称的性质，求出m，n的值，可得结论．
【详解】解： ， 关于y轴对称，
， ，
，故选：B．
4．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面
厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为 ，则此时对应的虚像 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于 轴对称，纵坐标不变，横坐标
互为相反数．
由平面镜成像可知， 与 关于 轴对称，根据关于 轴对称的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：由平面镜成像可知， 与 关于 轴对称，且S的坐标为 ，
，
故选D．
5．如图，已知 的顶点 在 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，点C的坐标为 ， 与 关
于 所在直线对称．若点 恰好落在y轴上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得 的长度，然后根据点
在y轴的负半轴，即可得到点 的坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于 所在直线对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在y轴的负半轴，
∴点 的坐标为 ，
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是 ，经过
2025次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关
键．
结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为 、
、 、 ，据此即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
第一次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第二次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第三次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第四次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
……，
观察可知，点A的坐标每四次循环一次，
依次为 、 、 、 ，
∵ ，
∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是 ，
故选：A．二、填空题
7．点 关于 轴的对称点 坐标为 ，关于 轴的对称点 坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了点关于坐标轴对称的点的特征，关于 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
关于 轴的对称点横坐标互为相反数，纵坐标相等．据此进行解答即可．
【详解】解：点 关于 轴的对称点 坐标为 ，关于 轴的对称点 坐标为 ，
故答案为： ，
8．在平面直角坐标系中，点 与点 关于直线 轴对称，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】根据轴对称的点横纵坐标的性质求解即可．
【详解】 点 与点 关于直线 轴对称，
，
解得 ，
，
故答案为：1．
9．如图，点 的坐标是 ，直线 经过点 且平行于 轴，则点 关于直线 对称的点的坐标是
，它可以看作是点 向上平移 个单位长度得到．
【答案】 6
【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，已知点平移前后的坐标判断平移方式，解题关键是根据
轴对称求出对称点的坐标．先根据坐标与图形变化——轴对称确定对称点的坐标，再根据已知点平移前后的坐标判断平移方式
确定平移的距离．
【详解】解：如图，
∵点 的坐标是 ，直线 经过点 且平行于 轴，
∴点 关于直线 对称的点 的坐标是 ，
它可以看作是点 向上平移6个单位长度得到，
故答案为： ，6．
10．如图，在平面直角坐标系中， 关于直线 （直线 上各点的横坐标都为1）对称，点 的坐标
为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是关于直线对称的两个点的坐标之间的关系，根据关于直线对称的两个点到对称轴的
距离相等解题即可得到答案．
【详解】解：∵ 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C、B关于直线m对称，即关于直线 对称，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，故答案为： ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上的一个动点，且 、
、 三点不在同一直线上，当 的周长最小时，点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先求得 关于 轴的对称点 ，然后求得 的解析式，然后求得直线 与 轴的交
点即可．
【详解】解：如图所示，
关于 轴的对称点 ，
设 的解析式是 ，
则 ，
解得： ，
则一次函数的解析式是 ，
当 时， ，
则 的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称—最短路线问题， 坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握轴对
称-最短路线问题， 坐标与图形性质．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的长 为 ，宽 为 ，动点 从点 出发沿
运动，当 的面积等于四边形 面积的 时，点 的坐标为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了坐标与图形，设 的 边上的高为 ，根据 的面积等于四边形 面积
的 ，列出方程，求得 ，即可求解．
【详解】解：设 的 边上的高为 ，
长方形 的长 为 ，宽 为 ，
，
的面积等于四边形 面积的 ，
，
即 ，
解得 ，
动点 从点 出发沿 运动，
点 的坐标为 或
故答案为 或
三、解答题
13． 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．(1)作出 关于x轴对称的 ，并写出 点的坐标；
(2)作出 关于y轴对称的 ，并写出 点的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见详解，
(2)见详解，
(3)
【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求， 点的坐标为 ；
（2）如图， 即为所求，
点的坐标为 ；
（3） 的面积 ．
14．坐标系中， 的顶点坐标是 ．(1)画出 关于 轴对称后的 ，并写出 坐标．
(2)x轴上有一动点P，点 与点 到P的距离之和 的最小值为________；
(3)求 的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了图形的轴对称变换、利用轴对称求最短路径以及图形面积的计算，通过对称点的
性质找到对应点坐标，利用两点间距离公式和割补法求解相应问题是解题的关键．
（1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质来确定 各顶点坐标并画图；
（2）利用轴对称的性质，找到点A关于x轴的对称点 ，则 的最小值为 的长度，通过两点
间距离公式计算；
（3）使用割补法求 的面积．
【详解】（1）解： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
，
,
在坐标系中描点，然后顺次连接这三个点，得到 ，
点 的坐标为 ；（2） 作点 关于 轴的对称点 ，则 的坐标为 ，连接 ，当动点P为 与 轴的交
点时，
的值最小， ，
故答案为： ；
（3）以 ，构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形的面积。 矩形
面积 ，三个直角三角形面积分别为： ， ， ，
则 ．
15．如图，A，B，C三点的坐标分别为 ， ， ．
(1)求 ；
(2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想 与 的关系，并验证你的猜想；
(3)试在坐标轴上找一点P，使 ，请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)18
(2)猜想： ，见解析
(3) ， ， ，
【分析】本题考查了坐标与图形性质．
（1）由图可知： ， ，即可求 的面积；
（2）猜想： ，根据三角形的面积公式进行验证；
（3）根据 ，分别在x轴，y轴上找到点P．
【详解】（1）解：由图可知， ， ，
；
（2）解：猜想： ，证明如下：
∵直线l平行于x轴，点M与点C在直线l上，
∴ 和 的边 上的高相等，都为6，
又∵ 和 同底，为 ，
∴ ；
（3）解：①当点P在x轴上时，设 ，
当 时，
，
解得 (舍去)；
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ， ；
②当点P在y轴上时，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，∴ ， ．
综上所述，满足条件的点P坐标为 ， ， ， ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．
(1)在平面直角坐标系中画出 ．
(2)点 关于 轴的对称点 的坐标为__________，点 关于 轴的对称点 的坐标为__________；
(3)在 轴上找一点 ，使 最大；
(4)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出周长；
(5)已知 为 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)当点 在同一条直线上时， 最大，最大值为 的长度，图见详解
(4)图见详解， 的周长最小为
(5)点 的坐标为 或
【分析】本题主要考查了网格坐标系和几何图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，利用三角形的三边关系
确定最值，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，根据三角形的面积确定点的坐标等知识点，解题的
关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据点的坐标确定图形即可；
（2）利用轴对称的性质即可求出点的坐标；
（3）利用三角形的三边关系即可确定点的位置和最值；
（4）利用轴对称的性质即可确定点的位置，并利用勾股定理求出三角形的周长；
（5）设 ，根据三角形的面积得 ，求解即可确定点的坐标．
【详解】（1）解： 即为所求；（2）解：点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（3）解：如图，延长 交 轴于一点 ，点 即为所求；
当点 不在同一条直线上时，三点构成三角形，根据三角形的三边关系， ；
所以，当点 在同一条直线上时， 最大，最大值为 的长度；
（4）解：如图，找点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于一点 ，点 即为所求；
此时， ，
根据勾股定理得， ， ，所以， 的周长为 ；
（5）解：设 ，根据题意得，
，
解得 ，
即 ，
解得， 或 ，
所以，点 的坐标为 或 ．
17．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重
合的两点，点 和点 ，当 时， 轴，且 的长为 ；当 时，
轴，且 的长为 ．
【实践操作】
（1）①若点 ，点 的横坐标为2， 轴，则 的长为 ．
②若点 轴， ，则点 的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形 的边长为4，顶点 的坐标是 轴，则顶点 的坐标为 ，顶点
的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点 的坐标为 ；将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，连接 ．点
分别是线段 上的动点（不与端点重合），点 从点 出发，以 的速度向终点 运动，点
从点 出发，以 的速度向终点 运动，若两点同时出发，运动时间为 ，当 轴时，求 的
值．
【答案】（1）①4；② 或( ；（2） ；（3）
【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题
的关键．
（1）根据平行于 轴上的直线的点的坐标特征以及平行于 轴上两点间的距离公式求解即可；（2）根据平行于 轴上的直线的点的坐标特征以及平行于 轴上两点间的距离公式求解即可；
（3）由平移的性质得到 ，由题意得 ，根据 轴，得到点 的纵坐标相
等，即 ，求解即可．
【详解】解：①∵点 ，点 的横坐标为2， 轴，
∴ 的长为 ，
故答案为：4；
②∵ 轴，点 ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）∵正方形 的边长为4，
∴ ，
∵ 的坐标是 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点A的坐标为 ；
∵正方形 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴顶点B的坐标为 ，即 ；
故答案为： ， ；
（3）∵点A的坐标为 ，将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，
∴ ，
由题意得 ，
∵ 轴，
∴点 的纵坐标相等，∴ ，
∴ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，线段 平移到线段 ， 且点
在 轴上．
(1) _______，点 的坐标为_______；
(2)如图2，过点 作直线 轴，直线 上有一动点 ，以每秒2个单位长度从点 向 方向运动，
运动时间为 秒，连接 与线段 交于点 ，连接 ，当 为何值时 ；
(3)如图3，点 是射线 上的一点， 向 轴正方向移动，在直线 上取两点 、 （点 在点
左侧），满足 ， ．当 运动到某一位置时，四边形 的面积有最大值，请直接写出
面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意点 在 轴上，解出 值，利用点 坐标得到 平移向上平移1个单位，向右平
移2个单位到线段 ，进而求出点 的坐标；
（2）连接 ，通过割补法计算出 的面积，通过等式的性质得到， ，进而求 值；
（3）通过平移 至 ，将四边形 面积转化为求 面积，当 时，可得 面
积面积最大，进而得到四边形 面积最大值．
【详解】（1） 且点 在 轴上，
，
，
从 平移到 ，即 平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段 ，
，
即 ，故答案为： ；
（2）解：过点 作 ，过点 作 的垂线交于点 ，连接 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
即 ，
根据题意 ，
，
；
（3）四边形 面积最大值为 ，理由如下：
平移 至 ，交 延长线于 ，过点 作 ，
则 ， ，
，
当四边形 面积最大时， 的面积也是最大，
当 时， 的面积最大，
最大值为 ，
四边形 面积最大值为 ．【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确
得到坐标是解题的关键．
