文档内容
专题 3.6 对数与对数函数
题型一 对数的运算
题型二 换底公式的应用
题型三 对数函数的概念
题型四 对数函数的图象问题
题型五 对数型函数过定点问题
题型六 对数函数的定义域和值域问题
题型七 利用对数的单调性解不等式或比较大小
题型八 由对数函数的单调性求参数
题型九 对数函数的最值问题
题型十 对数函数的实际应用
题型十
反函数
一
题型一 对数的运算
例1．（2023·山东淄博·统考二模）设 ，满足 ，则
__________.
【答案】 /0.5
【分析】令 ，则 ，根据 即可求
解．
【详解】令 ，则 ，
所以 ，整理得 ，
解得 (负值舍去)，所以 .
故答案为： .
例2．（2023·天津·统考二模）已知 ，则 （ ）A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简 ，再根据对数运算法则计算 的值.
【详解】 ，
.
故选：A.
练习1．（2021秋·高三课时练习）计算：log 3× =____．
4
【答案】 /
【分析】利用对数换底公式化简计算即可.
【详解】原式 .
故答案为：
练习2．计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值；
（2）根据对数的运算法则和对数的性质化简求值．
【详解】（1） ；
（2）．
练习3．（2021秋·高三课时练习）（多选）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项.
【详解】对于A选项， ，A错；
对于B选项， ，B对；
对于C选项，因为 ，则 ，所以， ，C对；
对于D选项，因为 ，则 ，所以， ，D对.
故选：BCD.
练习4．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知 ，则 的值
为_______________．
【答案】
【分析】代入求解分段函数的函数值.
【详解】∵ ，
∴
故答案为： .
练习5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知 ，
，若 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】D
【分析】利用指对数互化，及对数运算性质可得 ，结合已知列方程求n值.
【详解】由题设 ， ，所以 ，则 ，即 .
故选：D
题型二 换底公式的应用
例3．求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据对数运算规则以及换底公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2） ..
例4．（2023·全国·高三专题练习） =______
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式=
=
．
故答案为： .
练习6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若 ，且 ，则__________．
【答案】
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出 ，代入 ，利用对数的运算性
质可得 .
【详解】 ，且 ，
且 ，
，
，
，
.
故答案为： .
练习7．（2022秋·新疆喀什·高三校考阶段练习）若 ，则 ＝___．
【答案】1
【分析】先由 求出 ，再根据换底公式，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ，因此 ， ，
所以 .
故答案为：1.
练习8．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知 ,则 ＝（ ）
A．a+b B．2a-b C． D．
【答案】C
【分析】根据换底公式将 写为 ,再用对数运算法则展开,将 代入即
可.
【详解】解:因为 ,而 .
故选:C
练习9．（2022秋·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）（多选）已知 ， ，且
满足 ， ，则 的可能取值为（ ）A． B．3 C． D．9
【答案】BD
【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得 ，代入得到关于 的方程，解
出即可.
【详解】 ，
则由 可得 ,
，
即 ，
解得 或 ，
或 .
故选：BD.
练习10．（2022秋·山东青岛·高三校考期中）若 ，则 的范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.
【详解】 ，
∵ ， ， ，∴ ，
故选：C．
题型三 对数函数的概念
例5．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（ ）
A． （ ，且 ） B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.
【详解】形如 （ ，且 ）的函数为对数函数，
对于A，由 ，且 ，可知 ，且 ，故A符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；对于D，不符合题意；
故选：AC.
例6．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点
，则 __________．
【答案】
【分析】首先求解对数函数，再代入求值.
【详解】设对数函数 （ ，且 ），因为函数图象过点 ，
所以 ，得 ，
所以 .
故答案为：
练习11．（2022·高三课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对数函数 （ 且 ），其中 为常数， 为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是 ，不是自变量 ，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量 ，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量 ，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
练习12．（2021·高三课时练习）给出下列函数：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） ．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．
故答案为：（1）（2）（3）．
练习13．（2022·高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log x－1
2
C．D．y＝log x
5
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
练习14．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数
在 上单调递增，且 ”的一个函数 ___________.
【答案】
【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举练习．
【详解】 是对数函数模型， 满足条件.
故答案为： ．
练习15．（2023·高三课时练习）若对数函数的图象过点 ，则此函数的表达式为
______.
【答案】
【分析】将点 代入对数解析式求出底数，即可求解.
【详解】设对数函数为 ， ，因为对数函数的图象过点 ，所以
，即 ，解得 ，所以 .
故答案为：
题型四 对数函数的图象问题
例7．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早
为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与
“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数
（ 且 ）的大致图象如图，则函数 的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得 ，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即
可求解.
【详解】由题意，根据函数 的图象，可得 ，
根据指数函数 的图象与性质，
结合图象变换向下移动 个单位，可得函数 的图象只有选项C符合.
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 与 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为 在定义域 上单调递减，
又 ，所以 在定义域 上单调递减，故符合条件的只有A；
故选：A
练习16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个对数函
数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】根据对数函数的图象可判断出 ，再判断各选项即可得．
【详解】由对数函数图象得 ，令 ， ，由已知图象得
， ；而 是增函数， .
故选：ABC．
练习17．（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知 （
且 ， 且 ），则函数 与 的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先由 求得 ，再将 转化为 ，再利用
反函数的性质即可得到正确选项B
【详解】由 （ 且 ， 且 ），
可得 ，则 ，则
则 ，又 ，则 与 互为反函数，
则 与 单调性一致，且两图像关于直线 轴对称
故选：B
练习18．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）已知 ，则函数 与
函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项检验，可
得答案.【详解】对于A、B、C，由图像可知，对于函数 ，可知 ，即
，
由 ，则 ，即函数 在 上单调递增，故A、B错误，C正确；
对于D，由图像可知，对于函数 ，可知 ，即 ，
由 ，则 ，即函数 在 上单调递减，故D错误；
故选：C.
练习19．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数 的图象与 轴的交点是 结合函数的平移变换得函数
的图象与 轴的公共点是 ，即可求解.
【详解】由于函数 的图象可由函数 的图象左移一个单位而得到，函数
的图象与 轴的交点是 ，
故函数 的图象与 轴的交点是 ，即函数 的图象与 轴的公共点
是 ，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
练习20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数 的图象不过第四象限，
则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】作出函数 的大致图象，结合图象可得 ，即可得解.
【详解】函数 的图象关于 对称，其定义域为 ，
作出函数 的大致图象如图所示，由图可得，要使函数 的图象不过第四象限，
则 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
题型五 对数型函数过定点问题
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.
【详解】当 时 ，即函数图象恒过 .
故选：A
例10．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数 恒过定
点 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知 ，
则 ，
当且仅当 ， 时，的最小值为 ，
故选:A．
练习21．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）已知 且 ，若函数
与 的图象经过同一个定点，则 ______.
【答案】3
【分析】由 可得出函数 所过定点，再由 结合条件可得 的值.
【详解】因为 ，
由 ，可得 ， ，
即函数 的图象经过定点 ；
因为 ，
由 ，可得 ，
即 的图象经过定点 ，
所以 ，即 .
故答案为：3.
练习22．（2022秋·高三单元测试）已知函数 ，则无论 取何值，
图象恒过的定点坐标__________.
【答案】
【分析】根据对数函数及幂函数的性质即可得解.
【详解】因为函数 恒过点 ，
且函数 恒过点 ，
所以函数 的图象恒过的定点 .
故答案为： .
练习23．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）函数 的图象恒过定点
A，且点A在幂函数 的图象上，则 ＝________.
【答案】27
【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，
【详解】令 ，得 ，此时 ，故定点 ，
设 ，则 ，得 ，故 ，故答案为：27
练习24．（2023春·湖南·高三校联考期中）幂函数 的图象过点 ，则函数
恒过定点___________.
【答案】
【分析】根据幂函数过点求出 ，再由对数函数的性质求出所过定点.
【详解】因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
即 ，当 时， ，
所以函数 恒过定点 .
故答案为：
练习25．（2022秋·青海西宁·高三西宁五中校考期末）已知函数 ，（
，且 ）恒过定点 ，且满足 ，其中m，n是正实数，则
的最小值是（ ）
A．16 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】通过 可得定点 ，代入等式得 ，然后通过展开
可求最小值.
【详解】令 ，得 ，此时 ，
为 ，
，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：A
题型六 对数函数的定义域和值域问题
例11．（2023·湖北·校联考三模）函数 的定义域是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以函数的定义域为 .
故选：D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是
_______
【答案】
【分析】根据换元法可先求出 的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的
性质进行求解.
【详解】设 ，则 ，于是
.
设 ，根据二次函数性质， 时， 关于 单调递减；
根据对数函数性质， 在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质， 在 上单调递减，
而 ，于是 值域是： .
故答案为：
练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，根据交集的概念可求出结果.
【详解】由 ，得 ，得 ，得 ，
由 ，得 或 ，得 ，
所以 .
故选：A练习27．（2023秋·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函
数 的值域为_______________.
【答案】
【分析】求出 的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数 的值域.
【详解】因为 ，对于函数 ，则有 ，
所以， .
故答案为： .
练习28．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数
，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质化简 ，从而得出值域．
【详解】 ．故 的值域为 ．
故选：B．
练习29．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.
【详解】函数 有意义，则有 ，即
解得 ，所以函数 的定义域是 .
故选：D
练习30．（2023春·河南信阳·高三统考开学考试）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 的定义域为 B． 的图象关于 轴对称
C． 的值域为 D． 是减函数
【答案】AC【分析】由 ，解出不等式解集即为 的定义域，即可判断A；根据函数奇偶性
的定义即可判断B；化简函数为 ，进而判断D；求出
的值域，进而判断C.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，故A正确；
又 ，
所以函数 为奇函数，故B错误；
又 ，
因为函数 在 上为增函数，
所以函数 在 上为增函数，故D错误；
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故函数 的值域为 ，故C正确.
故选：AC.
题型七 利用对数的单调性解不等式或比较大小
例13．（浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算的性质，以及对数函数的单调性，得出 和 的关系，即可得出
答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以， .故选：C.
例14．（2023·天津·高三专题练习）集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域求出 ，再根据交集定义即可求出 ．
【详解】因为 ，解得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A．
练习31．（2022秋·高三课时练习）已知 ，则实数 的取值范围
是_______.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数 在 上单调递减，
由 ，
得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
练习32．（吉林省长春市2023届高一下学期5月四模数学试题）已知 ，
， ，则a，b，c的大小关系为__________．
【答案】
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到 ， ， ，从而得到大小关系.【详解】因为 在 上单调递减， ，
故 且 ，所以 ，
因为 在R上单调递减， ，
所以 ，
，
故 .
故答案为：
练习33．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）已知集合
， ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合 化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】由题知， 且 ，
又 ，则 或 .
故选：B.
练习34．（2023·全国·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的性质判断参数的大小关系即可.
【详解】因为 在 上单调递减，所以 ，即
．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．综上， ．
故选：D
练习35．（2018·北京·高三强基计划）已知函数 ，若实数m满足
，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】利用函数的单调性可求参数的取值范围.
【详解】 ，故 为奇函数，
当 时， 均为增函数，且函数值非负，
故 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
从而题中不等式等价于
故答案为：
题型八 由对数函数的单调性求参数
例15．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知
是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】AC
【分析】根据分段函数单调性列出不等式组，解出后结合选项即可选出结果.
【详解】解：因为 是R上的单调递增函数，
所以 ，解得 ，即 ，
故选项A正确，选项D错误；
因为 ，且 ，
所以选项B错误，选项C正确.故选：AC
例16．（2023春·河南平顶山·高三汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数
在 上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式
求解作答.
【详解】函数 在 上单调递增，
依题意， ， ，且 在 上单调递增，
因此 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故答案为：
练习36．（2023秋·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考期末）已知函数
在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求
解即可.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以有 ，
故选：A
练习37．（2023·高三课时练习）已知 在 上是严格减函数，则实数
a的取值范围是______.
【答案】【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的
取值范围.
【详解】已知 在 上是严格减函数，
由 ，函数 在 上是严格减函数，所以函数 在定义域内是严格增
函数，则有 ，
又函数 在 上最小值 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
练习38．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数
，且满足对任意的实数 ，都有 成立，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得 是R上的减函数，从而得到不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得： 是R上的减函数，
则 ，解得 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：C.
练习39．（2023秋·山东济宁·高三统考期末）已知 且 ，若函数 在
上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】确定 在 上是减函数，根据复合函数单调性得到 ，再考虑定义域
得到 ，得到答案.
【详解】 在 上是减函数， 在 上是减函数，故 ，
考虑定义域： ，故 ，
综上所述： .
故选：B
练习40．（2023春·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知 且 ，函数
，满足 时，恒有 成立，
那么实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得函数 在 上单调递增，结合分段函数、对数函数的
单调性，列出不等式即可得解.
【详解】因为函数 满足 时，恒有 成立，
即函数 满足 时，恒有 成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：D.
题型九 对数函数的最值问题
例17．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考开学考试）已知 ，
，设函数 ， _____.
【答案】 /
【分析】首先求出函数的定义域，再求出 的解析式，令 ，则 ，将函
数转化为关于 的二次函数，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：因为 ， ， ，由 ， ，
所以 = ，
令 ， ，则 在 上单调递增，
， ，
；
故答案为：
例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得 且 ，则 ，即可求
出 的大致范围，再令 的根为 、 且 ， ，
，对 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意 且 ，所以 ，解得
或 ，综上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递
增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在
上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调
递增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在
上单调递增，所以函数在 取得最小值，所以 ；
故选：A
练习41．（2023·高三课时练习）函数 的最小值是______．
【答案】－2
【分析】首先求真数部分的值域，再根据函数的单调性求函数的最小值.
【详解】设 ，
所以 ，
是单调递减函数，
所以当 时，函数取得最小值，最小值是 .
故答案为：
练习42．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）已知 ， 且
，则 的最大值为___________．
【答案】2
【分析】利用基本不等式得到 ，从而得到 .
【详解】因为 ， 且 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
故答案为：2
练习43．（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知函数
且 的图象过点 .(1)求 的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最大值；
(3)若 ，比较 与 的大小.
【答案】(1) ，定义域为 ；
(2)最大值是 ，
(3) ．
【分析】（1）由 求得 ，由对数函数的定义得定义域；
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
（3）指数式改写为对数式，然后比较 的大小，并由已知得出 的范围，在此范
围内由 的单调性得大小关系．
【详解】（1）由已知 ， ，
，定义域为 ；
（2） ，
， ，则 ，
所以 ， 时取等号，
最大值为 ；
（3） ， ，
， ，
， ，
所以 ， ，则 ， ，
∵ ，所以 ， ，即 ，
， ，所以 ， ，
∵ 在 上是增函数，又 在 时是减函数，
∴ 在 上是减函数，
∴ ．
练习44．（2023·全国·高三专题练习）设函数 的最大值为
M，最小值为N，则 的值为________．
【答案】2
【分析】构造函数 ，证明它是奇函数，利用奇函数的最大值和最
小值互为相反数可得结论．
【详解】由已知得 ，
因为 ，
所以 ，
易知函数 的定义域为 ，因此函数 是奇函数．
令 ，则 , 为奇函数，
则 的最大值 和最小值 满足 ．
因为 ， ，所以 ．
故答案为：2．
练习45．（2022秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
有（ ）
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
【答案】B【分析】利用双勾函数的单调性求出 的最小值，再利用对数函数的单调性可求得
函数 的最大值，即可得出结论.
【详解】 ，令 ， ，
任取 、 且 ，则 ， ，
所以， ，
则 ，所以，函数 在 上单调递增，故当 时， ，
所以， ，
又因为函数 为减函数，故 ，
故选：B.
题型十 对数函数的实际应用
例19．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科
学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地
震里氏震级 之间的关系为： ． 年 月 日，我国汶川发生了里氏
级大地震，它所释放出来的能量约是 年 月 日我国泸定发生的里氏 级地震释放能
量的（ ）倍．（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设里氏 级、里氏 级地震释放的能量分别为 、 ，利用对数的运算性质可
求得 的值.
【详解】设里氏 级、里氏 级地震释放的能量分别为 、 ，
则 ，即 ，
所以， .
故选：B.
例20．（2021秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期末）噪声污染已经成为影响人们身
体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度 （分贝）由公式 （ ，为非零常数）给出，其中 为声音能量.当声音强度 ， ， 满足
时，声音能量 ， ， 满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，
声音能量为 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为
时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝
数在 区间内，此时声音能量数值的范围是_________.
【答案】
【分析】由 得， ，利用对数的运算化简可得
；根据题意列方程组解出 ， ，从而 ，再利用对数函
数的单调性解不等式即可.
【详解】①由题知， ，
当 时，有 ，
整理得， ，
因为 ，所以 .
②由题知， ，即 ，
解得 ， ，
所以 .
由 ，得 ， ，
因为函数 为 上的增函数，所以 ，
故火箭导弹发射时的噪音分贝数在 区间内，此时声音能量数值的范围是 .
故答案为： ； .
练习46．（2021秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期中）（多选）声强级 （单
位： ）与声强 （单位： ）之间的关系是： ，其中 指的是人能听到
的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为
，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为 （单位： ）．下列选项中
正确的是（ ）A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位： ）
C．如果声强变为原来的 倍，对应声强级也变为原来的 倍
D．声强级增加 ，则声强变为原来的 倍．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件先计算出 ，然后再根据 的变化确定 的变化确定正确选项．
【详解】因为 ， 时， ，带入公式得
，
A： 时， ，故A正确；
B：由题意 ，即 ，因此 ，解得
，故B正确；
C：当 变为 时，代入有 ，故C错误；
D：设声强变为原来的 倍，则 ，解得 ，故D正确；
故选：ABD．
练习47．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的
关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､
Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分
成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为
的等比数列.已知两个音高 ， 的频率分别为 ， ，且满足函数关系： ，
已知两个纯五度音高的频率比 ，则它们相差的半音个数 ________.(其中
， ，结果四舍五入保留整数部分).
【答案】7
【分析】根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
即 ，
故 ，故答案为：7
【点睛】本题主要考查指数和对数的互化，属于基础题，关键就是在求解过程中要熟练应
用对数的运算性质，考查学生的基本功计算能力.
练习48．（2021秋·高三课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时
期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全
文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有
种方法，设这个数为N，则 的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
【答案】B
【分析】由题意，得到 ，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】由题可知， ．
因为 ，所以 ，
所以 的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数
的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
练习49．（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术领先世界，
5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高
斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 的公式 ，其中 是
信道带宽（赫兹）， 是信道内所传信号的平均功率（瓦）， 是信道内部的高斯噪声功
率（瓦），其中 叫做信噪比．根据此公式，在不改变 的前提下，将信噪比从99提升
至 ，使得 大约增加了60%，则 的值大约为（ ）（参考数据： ）
A．1559 B．3943 C．1579 D．2512
【答案】C
【解析】由题意可得 的方程，再由对数的运算性质求解即可．
【详解】由题意得： ，
则 ， ，
故选：C
练习50．（2022·高三单元测试）人们常用里氏震级 表示地震的强度， 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为 ，2021年1月4日四川省乐山市犍
为县发生里氏 级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏 级地震，则后者
释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据： )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设前者、后者的里氏震级分别为 ，前者、后者释放出的能量分别为 、
，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．
【详解】设前者、后者的里氏震级分别为 ，前者、后者释放出的能量分别为 、
，则其满足关系 和 ，
两式作差可以得到 ，
即 ，所以 ，
故选：C．
题型十一反函数
例21．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知 ， 分别是方程 和
的根，若 ，实数a， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据对称性求得 ，结合换元法以及基本不等式求得正确答案.
【详解】 ； .
函数 与函数 的图象关于直线 对称，
由 解得 ，设 ，
则 ，即 ，
，
令 ，则 ，则
，
当且仅当 时等号成立.
故选：D
例22．（2022秋·高三课时练习）（多选）关于函数 与函数
说法正确的有（ ）
A． 互为反函数
B． 的图像关于原点对称
C． 必有一交点
D． 的图像关于 对称
【答案】AD
【分析】根据指对数函数同底互为反函数及反函数性质判断即可.
【详解】 与函数 是互为反函数，图像关于
对称，故AD选项正确;
的图像不关于原点对称，故B选项错误;
当 时, 没有交点，故C选项错误;
故选:AD.
练习51．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）若关于 的函数 （
， ）的反函数是其本身，则 _________
【答案】1
【分析】根据反函数的定义求原函数的反函数，列方程求 .
【详解】函数 的定义域为因为 ，所以函数 的值域为 ，
在 的前提下解方程 可得 ，
所以函数 的反函数为 ，
由已知可得 ，
故答案为：1.
练习52．（2023秋·北京·高三校考期末）已知函数 的图像与 的图像关于直
线 对称，则 （ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出 的解析式，代值化简即可.
【详解】因为函数 的图像与 的图像关于直线 对称，
所以函数 与函数 互为反函数，
所以 ，所以 ，
故选：C.
练习53．（2021秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）设定义域为 的函数 、
都有反函数，且函数 和 图像关于直线 对称，若 ，则
__
【答案】
【分析】根据函数 和 图像关于直线 对称列式，求得 的值.
【详解】依题意，令 ，由于函数 和 图像关于直线
对称，
故 ， 的反函数是 ，而 ，故 ，解得 ，
即
故答案为:
练习54．（2022秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）若函数 ，函数
与函数 图象关于 对称，则 的单调减区间是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数 与 的图象关于直线 对称，
∴函数 是 的反函数，则 ，
∴ ，
由 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递减，
∴ 的单调减区间为 .
故选：D.
练习55．（2023秋·山东菏泽·高三山东省东明县第一中学校考期末）若 ， 分别是方程
， 的根，则 （ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】由于 的图象与 图象关于直线 对称，而直线 也关于
直线 对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出 的值.
【详解】由题意可得 是函数 的图象与直线 交点 的横坐标， 是函
数 图象与直线 交点 的横坐标，
因为 的图象与 图象关于直线 对称，而直线 也关于直线
对称，
所以线段 的中点就是直线 与 的交点，
由 ，得 ，即线段 的中点为 ，所以 ，得 ，
故选：B
