专题3.7函数的图象2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题3.7 函数的图象 新课程考试要求 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 培养学生数学运算（例11）、逻辑推理（例5—8等）、数据分析、直观想象（多例） 核心素养 等核心数学素养. 1．函数图象的辨识 2．函数图象的变换 考向预测 3.主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变 换、数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查. 应特别注意两图象交 点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用. 【知识清单】 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性 等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( x )的图象； y＝f(x)的图象――→y＝ f ( － x ) 的图象； y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( － x )的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――→y＝log x(a>0，且a≠1)的图象. a (3)伸缩变换 y＝f(x)――→y＝f(ax). y＝f(x)――→y＝Af(x). (4)翻转变换 y＝f(x)的图象――→y＝ | f ( x ) |的图象； y＝f(x)的图象――→y＝ f ( | x |) 的图象. 【考点分类剖析】考点一 ：作图 【典例1】（2021·全国高一课时练习）在同一平面直角坐标系中画出函数 与 的图 象，并利用图象求不等式 的解集． 【答案】作图见解析； ． 【解析】 根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】 由题意，函数 与 ，画出图象，如图所示： 根据 ，解得 ． 利用图象知不等式 的解集 ． 【典例2】(2018年全国卷Ⅲ理)设函数f (x)=|2x+1|+|x−1|． （1）画出y=f (x)的图象； （2）当x∈[0，+∞)，f (x)≤ax+b，求a+b的最小值．【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 （1）f(x)=¿ y=f(x)的图象如图所示． （2）由（1）知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且 仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立，因此a+b的最小值为5． 【规律方法】 函数图象的画法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象 的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 【变式探究】f(x) R x0 f(x) x(x2) 1.（2020·全国高一）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， f(x) f(x) （1）在给定坐标系下画出 的图像，并写出 的单调区间. f(x) （2）求出 的解析式. (1,1] (,1] (1,) 【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ； x2 2x,x0 f(x) （2） x2 2x,x＜0 【解析】 f(x) （1） 的图像如图所示： (1,1] (,1] (1,) 可得其单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ； x0 f(x) x(x2) f(x) （2）当 时， ，且 为奇函数，x＜0 f(x)f(x)[x(x2)] x(x2)x2 2x 可得当 时， x2 2x,x0 f(x) 故可得 f(x) 的解析式为： x2 2x,x＜0 . 2.（2020·全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用 函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象． aa0 a  同时，我们也学习过绝对值的意义  aa0． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： y  kx1b x0 y 2 x1 y 3 在函数 中，当 时， ；当 时， ． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； 3 3 y  kx1b （3）在图中作出函数 x 的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 x的解集． y  x13 3,01,3 【答案】（1） ；（2）图象、性质见解析；（3） ． 【解析】 b12 k 1 （1）将点0,2、1,3的坐标代入函数y  kx1b的解析式，得   k1b3，解得 b3 ,y  x13 所以，函数的解析式为 ； （2）图象如下： y  x13 x1 ,1 1, 函数 的图象关于直线 对称，该函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 3 最小值为 ； （3）图象如下，3 x13 3,01,3 观察图象可得不等式 x 的解集为： ． 考点二：图象的变换 【典例3】（2021·浙江绍兴市·高三三模）函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 根据 ，得到 的图象关于 对称，再利用特殊值判断. 【详解】 因为 ， 所以 的图象关于 对称， 又 ， 故选：B 【典例4】分别画出下列函数的图象： 1y＝|lg(x－1)|；2y＝2x＋1－1；3 f x＝lg x－1|| 【答案】见解析 【解析】 (1)首先作出y＝lg x的图象C ，然后将C 向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C ，再把 1 1 2 C 在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C ：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分). 2 3 (2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到， 如图2所示. (3) 第一步作y＝lgx的图像． 第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像． 第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像 f x＝lg x－1|| 第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得 的图像，如图3． 【规律方法】 1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝ f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝ f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到． 2．对称(翻折)变换 y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y 轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变， 而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到． y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到． 【变式探究】 1.（2021·北京高三二模）已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐 标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与 函数 的图象重合，则a的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 的等式，进而可求得实数 的值. 【详解】 由题意可得 ，再将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ， 又因为 ，所以， ，整理可得 ， 因为 且 ，解得 . 故选：D. y  f(x) y  f(x) 2．（2020·上海高一课时练习）已知 的图像如图①，则 的图像是_________； y  f(x) y  f(|x|) y | f(x)| 的图像是_________； 的图像是_________； 的图像是________．【答案】④ ③ ⑤ ② 【解析】 y  f(x) y  f(x) y y  f(x) 因为 的图像与 的图像关于 轴对称，故 的图像是④ y f(x) y  f(x) x y  f(x) 因为 的图像与 的图像关于 轴对称，故 的图像是③ x0 y  f(|x|) y  f(x) y  f(|x|) 当 时， 的图像与 的图像相同，然后 是偶函数， y  f(|x|) 故 的图像是⑤ y  f(x) x x x y | f(x)| 保留 图像在 轴上方的部分，将 轴下方的部分翻折到 轴上方，得到的图像就是 的 图像 y | f(x)| 故 的图像是② 故答案为：④，③，⑤，② 考点三：图象的识别 【典例5】（2021·四川高三三模（理））函数 及 ，则 及 的图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 讨论 、 确定 的单调性和定义域、 在y轴上的截距，再讨 论 、 ，结合 的单调性，即可确定函数的可能图象. 【详解】 当 时， 单调递减， 单调递减，所以 单调递增且定义 域为 ，此时 与y轴的截距在 上，排除C. 当 时， 单调递减， 单调递增，所以 单调递减且定义域为 ，此时 与y轴的截距在 上. ∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，故只有B符合要求. 故选：B.2x3 【典例6】（2019·全国高考真题（理））函数 y  2x 2x 在 6,6 的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2x3 2(x)3 2x3 y  f(x) f(x)  f(x) 设 2x 2x ，则 2x 2x 2x 2x ，所以 f(x)是奇函数，图象关于原点 243 263 f(4) 0, f(6) 7 成中心对称，排除选项C．又 24 24 排除选项D； 26 26 ，排除选项A，故选 B． 【典例7】（2021·云南高三三模（理））函数 的大致图象为（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【解析】 判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性 ；再次通过图像或函数表达式找 特殊值代入求值， 时，即 ，此时只能是 ；也可通过单调性来判断图像.主 要是通过排除法得解. 【详解】 函数 的定义域为 ， 因为 ， 并且 ， 所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 ； 当 时，即 ，此时只能是 ， 而 的根是 ，可排除 . 故选: 【总结提升】 识图的三种常用方法 1．抓住函数的性质，定性分析： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法： (1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； (2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 【变式探究】 1.（2021·全国高三其他模拟（文））函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据函数奇偶性排除AB，利用 时函数值的为正排除C，即可求解. 【详解】 由题可得函数 的定义域为 ，且 ， 所以函数 是奇函数，由此可排除选项A、B； 当 时， ，由此可排除选项C，故选：D 2.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数 在R上为减函数，则 f (x)=ax−a−x(a>0且a≠1) 函数 的图象可以是( ) y=log (|x|−1) a A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数， 故0＜a＜1．函数y＝log（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1， a 函数y＝log（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logx的图象向右平移1个单位得到的， a a 故选：D． y 2x x2 3. （山东省高考真题）函数 的图象大致是（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 因为2、4是函数的零点，所以排除B、C； x1 y0 因为 时 ，所以排除D,故选A 考点四：从图象到解析式 【典例8】（2021·河南高三月考（理））已知函数 ， ，则下列图象对应的函数可 能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A.当 时， ，不符合题意； B.其图象不关于 轴对称，不符合题意； C.其图象不关于 轴对称，不符合题意； D.其图象关于 轴对称，当 时， ，符合题意. 【详解】 A. ，当 时， ，不符合题意；B. ，其图象不关于 轴对称，不符合题意； C. ，其图象不关于 轴对称，不符合题意； D. ，其图象关于 轴对称，当 时， ，符合题意. 故选：D. 【典例9】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数 与 的部分图象如图1，则图2可能是 下列哪个函数的部分图象（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据奇函数、偶函数的图象特征，结合奇偶函数的性质逐一判断即可. 【详解】 由图1可知：函数 关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即 . 函数 的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即 . 由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.A：设 ，因为 ， 所以 是偶函数，不符合题意； B：设 ，因为 ， 所以 是奇函数，符合题意； C：设 ，因为 ， 所以 是偶函数，不符合题意； D：由图1可知： ，因为函数 在 时没有意义，故不符合题意， 故选：B 【规律方法】 根据图象找解析式，一般先找差异，再验证. 【变式探究】 1．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】 利用指数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】 根据函数 与 关于 对称，可知①④正确，函数 为单调递增函数，故③正确. 所以②不是已知函数图象. 故选：B 2.（2021·福建高三三模）若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案 【详解】 解：由图可知，当 时， ， 取 ，则对于B， ，所以排除B，对于D， ，所以排除 D， 当 时，对于A， ，此函数是由 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以 时， 恒成立，而图中，当 时， 可以小于1，所以排除A, 故选：C 考点四：用图 【典例10】（山东省春季真题））奇函数y=f(x)的局部图像如图所示，则（ ） A. f(2)>0>f(4) B. f(2)<0f(4)>0 D. f(2)0>f(−2)，所以−f (4)>0>−f(2),即f(2)>0>f(4)， 选A. 【典例11】（2021·吉林白山市·高三三模（理））如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一部分构 成， 的零点为 ，若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知， 的图象是由 向左平移 个单位长度得到，再利用数形结合，分析 图象的临界条件，得到 的取值范围. 【详解】 当 时， ，图象过点 和 ，即 ， 解得： ， ，即 ， 当 时，设抛物线 ，代入点 得， ，即 ， 所以 ， 的图象是由 向左平移 个单位长度得到，因为 ，对 恒 成立，所以 的图象恒在 的上方，当两图象如图所示，相切时， 抛物线 ， ， 与直线 相切，即 ，解得： ， ，切点 代入 得 ， 得 ，所以 ，解得： 或 . 故选：A 【典例12】（2019·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存 在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ） A．(−∞,2) B．(−∞,e) C．(2,e) D．(e,+∞) 【答案】B 【解析】 在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象， 当y=lnx向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对 称的点，所以0＜a＜e， 当y=lnx向右平移|a|（a＜0）个单位长度，函数f（x）与g（x）总存在关于y轴对称的点， 当a=0时，显然满足题意，综上：a＜e， 故选：B． f x  x2 4x  ex2 e2x x1 1,5 【典例13】（2020·全国高三其他（文））已知函数 在区间 m,M mM  的值域为 ，则 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】y   x2 4  ex ex x 3,3 在 上为奇函数，图象关于原点对称， f x  x2 4x  ex2 e2x x1 x22 4 ex2 e2x x23   是将上述函数图象向右平移 f x 2,3 mM 6 C 2个单位，并向上平移3个单位得到，所以 图象关于 对称，则 ，故选 . 【总结提升】 函数图象应用的常见题型与求解策略 【变式探究】 f x lgx1 f a f b 1.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数 ，若1ab且 ，则实数 2ab 的取值范围是（ ） 32 2，   32 2，  A． B．6， 6， C． D． 【答案】A 【解析】 函数f（x）＝|lg（x﹣1）|， ∵1＜a＜b且f（a）＝f（b）， 则b＞2，1＜a＜2， log a1lgb1 1 b1 1 ∴ ，即a1 ， 10 可得：ab﹣a﹣b＝0． b  那么：a b1． 2b 2b22 2  b b11b1 32 23 则2a+b b1 b1 b1 ，当且仅当b 21时取等号． 满足b＞2， 故选：A． 2.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=x(x−4)， 则方程f (x)=f (2−x)的所有解的和为（ ） A．4+√3 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【解析】 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x−4） ∴当x＜0时，−x＞0则f（−x）=−x（−x−4）=−f（x） 即f（x）=−x（x+4），x＜0 则f(x)=¿ 作出f（x）的图象如图： ∵y=f（2−x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称 ∴作出y=f（2−x）的图象，由图象知y=f（2−x）与y=f（x）的图象有三个交点 即f（x）=f（2−x）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于x=1对称 即a+b=2 则所有解的和为a+b+1=2+1=3 故选：C． 3. （2021·全国高三其他模拟）已知定义域为 的函数 的部分图像如图所示，且 ， 函数 ，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 由题意可得 是偶函数，然后结合单调性可解出答案.【详解】 由题意知 ，且函数 的定义域为 ，所以 是偶函数． 由图知 ，且函数 在 上为增函数， 则不等式 等价于 ，即 ， 所以 ，解得 ． 故实数 的取值范围为 ． 故答案为： 2x2  2xa 2 ,0 4．（2020·浙江省高一期末）若关于 x 的不等式 在 上有解，则实数a的取值范 围是______.  5   ,2   【答案】 2  【解析】 2x2  2xa 2 ,0 2xa 22x2 ,0 x x 关于 的不等式 在 上有解，即关于 的不等式 在 上有 y  2xa ,y 22x2 y 2xa y 22x2 解，作出两函数 图象，其中由 与 相切得 5 2xa 22x2,2x2 2xa20,48a20,a 2 ； y (2xa) (0,2) a2 由 过点 得 . 5 a 5   1 a2 由图可知 4 2 2 ， 5   ,2   故答案为： 2 