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专题3.33 圆的综合题-圆与三角函数（专项练习）
◆中考动态
纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相
似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较
大。
◆知识点
圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及
其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆
及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质
定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。
◆解题策略及方法
虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线
的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性
质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先
分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件
常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股
定理或锐角三角函数进行计算:
②利用圆周角相等转移角的等量关系;
③利用直径构造直角三角形;
④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;
⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。
1．已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 ，其中水面高 ．求截面上有
水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
3．如图， 是 的直径， 、 是 上两点，且 ，过点 的直线
交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连结 、 交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结 ，在（2）的条件下，求 的长．
4．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形 是圆美四边形，求美角 的度数．
（2）在（1）的条件下，若 的半径为 ．
①求 的长．
②如图2，在四边形 中，若 平分 ，则 的最大值是________．
（3）在（1）的条件下，如图3，若 是 的直径，请用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
6．如图， 是 的直径，点 在 上，过点 的切线与 的延长线交于点 ，且
．
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为3，求图中阴影部分的面积．
7．如图，在 中，以 为直径作 交 于点 ，交 于点 ，且 是 中点，
，垂足为 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2） ， ，求 的长．8．如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交
于点 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
9．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧
交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．
求证：（1）DP＝AB；
（2）DE为半圆O的切线；
（3）连结OE，求tan∠BOE的值．
10．如图，点 是 的边 上一点， 与边 相切于点 ，与边 、 分别相交于点 、 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的长．
11．在 中，弦 直径 于点 ， 为线段 上一点， ，连接 并延长
交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ， ，若 ， ，求线段 的长度．
12．如图， 是 的直径，点 是 上一点，点 是 延长线上一点， ，
是 的弦， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径；
（3）若 于点 ，点 为 上一点，连接 ， ， ，请找出 ， ，
之间的关系，并证明．13．如图， 是 的内接三角形，AD是 的直径，点B是 上的一点，
，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C， ．
（1）求证：EF是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于
点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB
于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．
15．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形 中， ， ，过点 作 垂线交
的延长线于点 ，且 ，证明：四边形 是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在
图2中，面积为 的垂等四边形 内接于⊙O中， ．求⊙O的半径．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点
M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于
点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求线段BG的长．
17．如图，在 中， 为直径，过圆上一点 作切线 交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED
交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B= ，⊙O的半径是3，求EC的长．
20．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的圆O与底边AB交于点D，
过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为圆O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．21．如图， 为正 的外接圆．
（1）尺规作图：作 的角平分线 于点D；
（2）过点D作 的切线 ，交 的延长线于点M．
①求证： ；
②连接 ，若 ，求 的半径．
22．在 中，直径 ， 是弦， ，点 在 上，点 在 上，且
．
（1）如图1，当 时，求 的长度；
（2）如图2，当点 在 上移动时，求 长的最大值．23．如图，在 中， ，以AB为直径的 分别交AC、BC于点D、E，BC的
延长线与 的切线AF交于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CE，AF的长．
24．已知：如图，在 中，以 为直径的 分别交 于点 ，且
．过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，且 ，求 的值．
25．如图，四边形 内接于 ，对角线 为 的直径，过点C作 的垂线交的延长线于点E，点F为 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若B为半圆弧 的中点， ，求 的长．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点
F为CE的中点，连接DF，DE，AD．
（1）求证：CD＝DE．
（2）若OA＝5，sin∠CAB＝ ，求DF的长．
27．如图，在 中， ，以 为直径作 ，点 为 上一点，且
，连接 并延长交 的延长线于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．28．如图，在 中， ， 为 的中点，以 为直径的 分别交 ，
于点 ， 两点，过点 作 于点 ．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若 ， ，求 的长．
29．如图，在 中， ，以 为直径作 ，在 上一点 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过 作 分别与 、 和 交于点 、 、 ，若 ，
．求 的半径长．
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是 上一点，点D关于CE的对称点F恰
好落在DA的延长线上，连结CF．
（1）求证：∠BAD＝∠ECF．
（2）若tan∠BAD＝ ，AF＝9，求⊙O的半径．31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交
AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF， ＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，
且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为： ，并说明理由．
（3）若 ，求∠AQB的度数．33．（1）如图①，在△ABC中， ，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交 于
点 ，那么点 到 的距离为 ．
（2）如图②，四边形 内接于 ， 为直径，点B是半圆 的三等分点（弧
弧 ），连接 ，若 平分 ，且 ，求四边形 的面积．
（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，
其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其
余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且
AD+DC=10（其中 ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面
积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在
请说明理由．
参考答案
1．（1）60°；（2）
【分析】
（1）连接BD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可以求∠DAB的度数；
（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理
和特殊角三角函数值可得EF＝DE的值，进而可得DF的长．
【详解】
解：（1）如图，连接BD，∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝ AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝ ，
∴DF＝2DE＝ ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周
角定理．
2．
【分析】
连接 ，作弦 的垂直平分线，垂足为D，交 于点C，连接 ，由于水面高
可求出OD的长，根据 ， ，得出AD是线段 的垂直平分线，进
而得出 ，根据扇形及三角形的面积即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，作弦 的垂直平分线，垂足为D，交 于点C，连接 ．
，
．
．
又 ，是线段 的垂直平分线．
．
从而 ．
，
，
有水部分的面积 ，
，
，
．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三
角形是解答此题的关键．
3．（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到
∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2 ，解直角三角形得到
∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2 ，再根据S =S -S 即可得解；
阴影 △DOF 扇形DOB
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM= ，EM= ，则MB=
，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ，
，
，
， 的半径为2，
，
，
如图，连接 ，是 的直径， ，
，
，
，
，
即 ，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于点 ，连接 ，在 中， ， ，
，
．
【点拨】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定
与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明
△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
4．（1） ；（2）① ；② ；（3）
【分析】
（1）由题意得： ，而 即可求解；
（2）①如图1，连接 并延长交圆于 点，连接 ， ；②如下图：
连接 、 、 ，当 在 上， 最大即可求解；
（3）如图3，延长 和 交于点 ，先求解 ，证明 ，再利用
，从而可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得： ，而 ，
；
（2）①如图1，连接 并延长交圆于 点，连接 ，
则 ，为直径， 则
；
②如图2：连接 ，由（1）得：
平分
， ，
则 为等边三角形，延长 到 ，使得 ，
又 ， ，
， ，
，
为等边三角形，
则 ，则 ，
为定点，而 为弧 上的动点， 要最长，
则 为圆的直径，故 直径 ；
（3）如图3，延长 和 交于点 ，是直径，则 ，而
则 ，
则 ，
，
故： ．
【点拨】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，直径所对的圆周角是
直角，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解题的
关键.
5．（1）证明见解析；（2）① ；②
【分析】
（1）先证明 再证明 从而可得答案；
（2）①由矩形的性质与勾股定理先求解 设 则 再利用
勾股定理可得答案；② 设 由对折可得：
为 的中点，则 证明
由 再建立方程，从而可得答案.【详解】
解：（1） 矩形ABCD，
是 的直径，
四边形 是矩形；
（2）①由对折可得：
矩形ABCD，AB＝6，
设 则
② 矩形
，
设
由对折可得：
为 的中点，
由解得： 经检验： 是原方程的解，且符合题意；
【点拨】本题考查的圆周角定理及推论，矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理的
应用，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
6．（1）120°；（2）
【分析】
（1）连接 ，设 ，由题意可得 ，根据切线性质可得
，即可求解；
（2）由图形可得图中阴影部分的面积为 ，分别求得 即可求
解．
【详解】
（1）证明：连接 ，如下图：
∵ ， ，
设 ，∴
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，即 ，解得
∴ ．
（2）解：∵ ，∴ ．
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为 ．
【点拨】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质、
三角函数的性质以及扇形面积公式，熟练掌握相关基本性质和知识是解题的关键．
7．（1）证明见详解；（2） ．
【分析】
（1）连结OD，由点O为AC中点，点D为BC中点，可得OD∥AB，由 ，可证
即可；
（2）由OD∥AB，OC=OD，可得∠FOD=∠A，由 ，可得
，可求OD= ，由OD为△CAB的中位线，AB=2OD=
，再求AF= ，根据三角函数可求AE即可．
【详解】
（1）证明：连结OD，
∵点O为AC中点，点D为BC中点，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥AB，
∵ ，
∴
∴直线 是 的切线；（2）解：∵OD∥AB，OC=OD，
∴∠FOD=∠A，
∵ ，
∴ ，
解得OD= ，
∵OD为△CAB的中位线，
∴AB=2OD= ，
∵AC=2OC=2OD= ，
∴AF=FC+AC=5+ ，
∴AE=AF ，
∴BE=AB-AE= ．
【点拨】本题考查圆的切线判定，三角形中位线判定与性质，平行线性质，锐角三角函数，
线段和差，掌握上述知识是解题关键．
8．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据 ，可得 ，根据对顶角相等可得 ，进而可得
，根据 ，可得 ，结合 ，根据角度的转化可得 ，进而即可证明 是 的切线；
（2）根据 ，可得 ，设 ，则
，分别求得 ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得 ，进而根
据 即可求得．
【详解】
（1） ，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是 的切线；
（2） ，
，
，
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 （舍去），
．
【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则
正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】
（1）由正方形和圆的性质可知DC＝AB，又DC＝DP，即AB＝DP；（2）通过SSS证明△ODP≌△OCD，得∠DPO＝∠C＝90°即可证明；
（3）通过HL证明Rt△OBE≌Rt△OPE，得∠BOE＝∠POE，由（2）知∠DOP＝∠DOC，
可证∠DOE＝90°，从而∠BOE＝∠ODC，求出tan∠ODC即可得出答案．
【详解】
证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，
又∵DC＝DP，
∴DP＝AB，
（2）连接DO，PO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
在△ODP与△OCD中，
，
∴△ODP≌△ODC（SSS），
∴∠DPO＝∠C＝90°，
又∵OP是⊙O的半径，
∴DE为半圆O的切线．
（3）连接EO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝90°，
∵∠DPO＝90°，
∴∠EPO＝90°＝∠B，
在Rt△OBE与Rt△OPE中，，
∴Rt△OBE≌Rt△OPE（HL），
∴∠BOE＝∠POE，
由（2）得△ODP≌△OCD，
∴∠DOP＝∠DOC，
∴∠BOE+∠DOC＝90°，
又∵∠DOC+∠CDO＝90°，
∴∠BOE＝∠CDO，
∵点O是AB的中点，
∴ ，
在Rt△COD中，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角
三角函数定义，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ， ，因为 ，所以 ，从而易证 ，所以
，继而可证明 ；
（2）设 的半径为 ，则 ，在 中， ，从而可求出
的值．
【详解】
解：（1）证明：连接 ， ，，
，
，
，
，
，
，
与边 相切于点 ，
，
，
；
（2）在 ， ， ， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
，
．
【点拨】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三
角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．
11．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接BC，由DF=BF得∠DBG=∠BDC，再由圆的性质可得∠BDC=∠BCD，∠BGD=∠BCD，即可得要证结论；
（2）过点 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，易得D，H，O三点共
线，则由三角形中位线定理得AG=2OH，易证 ，得OH=OE，
∠OFB=∠OFD，则OH=OE，设 ，则 ，则在Rt△OED中由勾股定理得
，由圆内接四边形性质及已知易得∠DAE=∠DAM，从而可得DE=DM，由
可求得x，从而由 求得EF，在 中，由勾股定理
可得EF的长．
【详解】
（1）如图，连接 ，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
（2）过点 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，．
，
， ， 三点在同一条直线上，
，
是 的中位线．
．
， ， ，
．
．
， ，
．
设 ，则 ，
．
， ．
在 中，由勾股定理可求得 ，
，
．
，
．
， ，
．．
解得： ．
， ， ， ．
在 中，由勾股定理可得 ．
．
．
在 中，由勾股定理可得 ．
【点拨】本题是圆的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函
数，三角形中位线定理，垂径定理，圆内接四边形性质，同弧所对的圆周角相等等知识，
关键熟练掌握圆的相关知识外，重视与其它几何图形结合的综合分析能力的培养，学会添
加辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（1）见解析；（2）3；（3） ，理由见解析
【分析】
（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；
（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，
∠APC＝∠M＝30°，再判断出 ，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
∴直线 是的切线；
（2）解：如图1，连接 ，
由（1）知， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
即 的半径为3；
（3） ，
理由：如图，
，
，
连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，， 为 的直径，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
， ，
过点 作 于 ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
即 ．
【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定
理，构造出直角三角形是解本题的关键．
13．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠OCE=90°，则可得出答案；
（2）连接OB，证明 是等腰直角三角形得出OC=4，再证明 ，根据求解即可．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠ACB=∠CAD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠OCA=∠ECD，
∵∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
即：∠OCE=90°，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）连接OB，∵OC⊥EF
∴∠OCE=90°，
∵∠E=45°，
∴∠E=∠COE=45°，
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴
∵AD是直径
∴
∴
∵OA=OC
∴
∴
∵
∴
∴
∵OB=OC
∴
∴
∴
∴ ．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，
熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）连接OM，证明OM BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，最后
根据切线的判定定理即可得证；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用 ＝sin∠GFB＝sin∠BAE即可得到答案．
【详解】
解：（1）连接OM，如图：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵OM＝OB，
∴∠ABM＝∠BMO，
∴∠BMO＝∠CBM，
∴BC OM，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴BE＝CE＝ BC，∠AEB＝90°，
∵BC＝4，AC＝6，
∴BE＝2，AB＝6，
∴sin∠EAB＝ ，
设OB＝OM＝r，则OA＝6﹣r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO＝90°，
∴sin∠EAB＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得r＝1.5，
∴OB＝OM＝1.5，BF＝3，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF＝90°，
∴GF AE，
∴∠BFG＝∠EAB，
∴sin∠BFG＝ ，即 ＝ ，
∴BG＝1．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定，三角函数，平行线的性质，等腰三角形的性质，角
平分线的定义，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的意义是解题的关键．
15．（1）④；（2）见解析；（3）【分析】
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直
角三角形的性质即可得到结果；
（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即
可得到⊙O的半径．
【详解】
解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵∠DBC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC=BD，又∵垂等四边形的面积是24，
∴ AC•BD=6，
解得，AC=BD= ，
又∵∠BCD=60°，
∴∠DOE=60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE= ，
∴r= =2，
∴⊙O的半径为2．
【点拨】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性
质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．
16．（1）见解析；（2）线段BG的长为1．
【分析】
（1）连接OM，证明OM∥BC即可；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用 =sin∠GFB=sin∠BAE即可得到答案．
【详解】
解：（1）连接OM，如图：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵OM=OB，∴∠ABM=∠BMO，
∴∠BMO=∠CBM，
∴BC∥OM，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴BE=CE= BC，∠AEB=90°，
∵BC=4，AC=6，
∴BE=2，AB=6，
∴sin∠EAB= ，
设OB=OM=r，则OA=6-r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO=90°，
∴sin∠EAB= ，
∴ ，解得r=1.5，
∴OB=OM=1.5，BF=3，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF=90°，
∴GF∥AE，∴∠BFG=∠EAB，
∴sin∠BFG= ，即 ，
∴BG=1．
【点拨】本题考查了圆的切线判定及圆中线段的计算，解题的关键是求出圆的半径．
17．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等
腰三角形的性质得到∠OCB=∠ABC，进而证明结论；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC，根据正切的定义求出CD，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠BAC=∠BCD；
（2）解：∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∴CD=OC•tan∠COD= ，
∴阴影部分的面积=S -S
△OCD 扇形COB=
= ．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经
过切点的半径是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）⊙O的半径为 ．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，根据切
线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF＝ AD＝ ，EF＝3OE＝
，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接CO，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠ACB+∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∴∠FCE＝120°，∴∠CFO＝30°，
∴∠AFD＝∠CFO＝30°，
∴DF＝AD÷tan30°= AD＝ ，
∵BD＝5，
∴DE＝BD÷tan30°=5 ，
∵OF＝2OC，
∴EF＝3OE＝4 ，
∴OE＝ ，
即⊙O的半径＝ ．
【点拨】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，
熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2） ；
【分析】
（1）证明∠DAC+∠BAD=90°，则∠BAC=90°，可得出结论；
（2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中， ，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x= ，
∴CE= ．
【点拨】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，则∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB
= ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又OD⊥DE， AC⊥DE，所以DE是⊙O的切线继
而可证得结论；
（2）连接DC．首先证△ODC为等边三角形，再根据三角函数的性质，求得AD、CD、
ED、AE、EC的长，然后求得S = OC∙EF.
△OEC
【详解】
解：（1）连接OD.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB.又∵∠A=∠B=30°
∴∠A=∠ODB，
∴DO∥AC ，
∵DE⊥AC ，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）连接DC．
∵∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠DOC=60°．
∴△ODC为等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∴∠CDE=30°
又∵BC=4，
∴DC=2，
∴CE=1．
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．
∵∠ECF=∠A+∠B=60°,
∴EF=CE·sin60°=1× =
∴S = OC∙EF= ×2× = .
△OEC【点拨】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三
角函数等知识，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
21．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）按尺规作图作角平分线的方法进行即可；
（2）①利用等边三角形三线合一的性质及切线的性质即可证明；②设BD与AC交于点
F，连接OA，设⊙O的半径为r，利用含30度角直角三角形的性质可得OF的长，从而可
得BF的长，在 中由余弦的三角函数可得AB的长，再在 中，由余弦的三
角函数建立方程即可求得半径r．
【详解】
（1）作图如下
（2）①∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC
∴BD过圆心O
∵DE是⊙O的切线
∴BD⊥DE∴AC∥DE
②设BD与AC交于点F，连接OA，如图
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r
∴∠OBA=∠OAB
∵BD平分∠ABC
∴∠OBA=∠OAB=30゜
∴∠OAF=60゜-30゜=30゜
∴OF=
∴
在 中，
∴
在 中，BD=2r，且
∴
解方程得：
即⊙O的半径为 ．
【点拨】本题考查了尺规作图，圆的切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数等知
识，关键是运用三角函数建立方程．
22．（1） ；（2）【分析】
（1）连接OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义
可计算出 ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ= ；
（2）（2）连接OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP
的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则 ，所以PQ长
的最大值= ．
【详解】
解：（1）连接 ，如图1，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ；
（2）连接 ，如图2，在 中，
，
当 的长最小时， 的长最大，
此时 ，则 ，
∴ 长的最大值为 ．【点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．
23．（1）见解析；（2） ，
【分析】
（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得
∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2 ）2＝x2＋（3x）2．然后由
，求得答案．
【详解】
（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为 的直径，
∴ ，
∴ ,
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ,
∴ ,∵ ， ，
∴ ,
∴ ；
（2）如图，连接 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
【点拨】本题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的
作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
24． ．
【分析】
根据 为直径， ，可得 ，过点 作 于点 ，根据 ，容易
证得 ，根据 是切线， ，可证 ，可求得
， ，设 ， ，则有 ， ， 在
中， ，得到 ，在 中，
，即 ，可求得 ，根据，可求得结果．
【详解】
解： 为 的直径，
，
即：
又 ，
；
过点 作 于点 ，
是圆的直径，
∴ ，
又∵ 是切线，
，，
，
，
∵ 是切线，
∴
，
，
，
设 ， ，
则有 ， ，
在 中，∴
在 中，
即： ，
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的
判定与性质以及三角函数等知识，能熟练应用相关性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出 ，再求出 ，得出答案
即可；
（2）首先得出 即可得出它们的长，由此可得 ，再证明
，由此可得 ，进而利用锐角三
角函数可分别表示出 ， ，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
（1）证明：连接 ．
，
．
为 的直径，
．
点 为 的中点，
，
，
，
，
又 ，．
是 的切线．
（2）解： 为 的直径，
，
∵B为半圆弧 的中点，
，
，
在 中， ，
又 ， ，
．
，
，
又∵ ，
，
∴ ，
设 为 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
又∵在 中， ，
∴ ，
解得： （舍负），
∴ ．【点拨】此题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的
知识是解题关键．
26．（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由AB＝AC得到∠C＝∠B，由圆内接四边形ABDE得到∠CED＝∠B，进而得到
∠CED＝∠C，故CD＝DE．
（2）由sin∠CAB＝ 得到BE的长，由AB＝AC，AD⊥BC得到D是BC的中点，得到FD
为△CEB的中位线，进而求得DF的长．
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵圆内接四边形ABDE，
∴∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠C，
∴CD＝DE，
解：（2）连接BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，∵sin∠CAB＝ ，AB＝2OA＝10，
∴BE＝8，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠ADC＝90°
∴AD⊥BC，
由三线合一得：D是BC的中点，
∵点F为CE的中点，
∴FD为△CEB的中位线，
∴DF＝ ＝4．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，锐
角三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
27．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OA，然后证明 ，即可得到 ，从而得证；
（2）设 的半径为 ，则 ，先利用勾股定理求出r，然后利用三角函数求出
，再利用 求解即可.
【详解】
解：（1）证明：连接OA．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三
角形，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．（1） 与 相切，理由见解析；（2）
【分析】
(1)如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等
腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到
结论；
(2)连接DF，根据勾股定理得到 ，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，
根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：（1） 与 相切．
理由：如图，连接， ，
， 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与 相切；
（2）连接 ， ，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
即： ，
．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．（1）见解析； （2）5
【分析】
（1）连接OD、CD，由AD=AC，OD=OC，可得∠ADC=∠ACD，∠ODC=∠OCD，又CA
为 的切线，可知∠ADO=∠ACB=90°，即可求证；
（2） ， ，解三角形可得BE=2，EF=4，由tan∠BCD=
，可得CE=2DE，根据垂径定理可知DE=EF，从而可得CE=8，即可求解．
【详解】
证明：（1）如图，连接OD，CD，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，即∠ADO=∠ACB，
∵BC为 直径，AC为 切线，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是 的切线；
（2）∵ ，在Rt△BEF中， ，
∴ ，
∴EF=2BE，
∵BE2+EF2=BF2，
∵ ，
∴ ，
解得：BE=2，EF=4，
∵∠BCD=∠BFD，
∴tan∠BCD= ，即 ，
∴CE=2DE，
∵BC为 直径， ，
∴DE=EF=4，
∴CE=2DE=8，
∴ 的半径长 ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，及锐角三角函数解直角三角形，掌握直角三
角形中三角函数表示线段比进行转化是解决此题关键．
30．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，则 ，再根据轴对称的性质，可得 ， ，
即可求解；
（2）设 ， ，根据三角函数关系求得 ，再根据勾股定理求得 即可求解．
【详解】
解：（1）连接 ，如下图：∵AB是⊙O的直径
∴ ，即
∵点D与点F关于CE的对称
∴ ，
∴
∴
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
∴
∴
∴
（2）设 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，如下图：
设 ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得：
由（1）得∴
∴ ，即
根据三角函数关系
可得 ，
∴
由（1）得： ，
∴ ，
即 ，解得
∴
由勾股定理得：
∴ ，即半径为
【点拨】此题考查了圆的有关性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相关基本性质是
解题的关键．
31．（1）见解析；（2） ；（3）见解析．
【分析】
（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边
形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出
AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的
性质表示出OD和BM的长度，最后根据 相似即可求出 的值．
（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出
，由全等三角形的性质和得出AP=CE， ，然后根据圆内接四边形的性质得出 ，最后由 即可证明．
【详解】
(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴AD=CD，
∵DF⊥DB，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠ADF=∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△DAF≌△DCB，
∴AF=BC．
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC=AF=a，
在Rt△ABC中， ，
在Rt△ADC中， ，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM= ，连接OD，则OD= ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，即 ，
∴ ．
（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，
由（1）知， ，AD=CD，
∴ ，
∴AP=CE， ，
∴ ，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，AF=AN，
∴ ，
又∵FG∥BD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AG=AP=CE．【点拨】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形
的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
32．（1）135°；（2）AQ2+2QC2=BQ2，理由见详解；（3）150°
【分析】
（1）先证 是等腰直角三角形，可得∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，进而即可得到答案；
（2）把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则 是等腰直角三角
形，再证 ，∠AQQ’=135°-45°=90°，进而即可得到答案；
（3）设CQ=3x，AQ= ，则QQ’=3 x，从而得tan∠AQ’Q= ，即：∠AQ’Q=30°，
结合 ，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，
∵∠QAB＝∠QCA，
∴∠QCA +∠QAC=45°，
∴∠AQC=180°-（∠QCA +∠QAC）=135°；
（2）如图：把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则 是等腰直
角三角形，
∴∠CQQ’=45°，QQ’= QC，
∵∠QCQ’=∠ACB=90°，
∴∠ACQ’=∠BCQ，
又∵AC=BC，CQ=CQ’，
∴ ，
∴AQ’=BQ，
∵∠AQC=135°，
∴∠AQQ’=135°-45°=90°，
∴AQ2+QQ’2=AQ’2，∴AQ2+2QC2=BQ2；
（3）∵ ，
∴设CQ=3x，AQ= ，则QQ’=3 x，
∴tan∠AQ’Q= ，即：∠AQ’Q=30°，
∴∠AQ’C=30°+45°=75°，
∵ ，
∴∠BQC=∠AQ’C=75°，
∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．
【点拨】本题主要考查圆的综合以及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，
锐角三角函数，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（1） ；（2） 四边形ABCD的面积为32；（3）存在 ．
【分析】
（1）如图，作辅助线，证明AE=DE；证明△BDE∽△BCA ，得到 ，列出比例式
即可解决问题．
（2）（2）连接OB，根据题意得∠AOB=60°，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，
通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；
过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质
求出最值即可．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
则DE//AC；
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°，∠ADE=90°−45°=45°，
∴AE=DE（设为λ），
则BE=4−λ；
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ，即：
解得：λ= ，
∴点D到AC的距离 ．
（2）连接OB，
∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），∴
∴
∵AC是 的直径，
∴
∵BD平分∠ABC
∴
过点A作AE⊥BD于点E，则
∴AE=BE
设AE=BE=x，则
∵BD=BE+DE=
∴x=
∴
∵
∴
∴BC=
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴AD=CD
∵AE⊥DE
∴
∵ ,
∴
∴=
=
=32；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，
∵AB=AD
∴∠ACB=∠ACD
∴AM=AN
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADM=180°,
∴∠ABC=∠ADM
又∠ANB=∠AMD=90°，
∴△ABN≌△ADM
∴
∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC
∴△ACN≌△ACM∴
∵∠ABC=60°
∴∠ADC=120°
∴∠ADM=60°，∠MAD=30°
设DM=x，则AD=2x，
∴
∵
∴ ，即
∵抛物线对称轴为x=5
∴当x=4时，有最大值，为
【点拨】本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，
圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
