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专题3.31 圆中的几何模型--隐形圆专题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在等腰Rt∆ABC中， ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为
PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A． B．2 C． D．4
2．如图，在 中， ， cm， cm． 是 边上的一个动点，
连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是
（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图， 是等腰直角三角形，正方形 绕点A逆时针旋转 ，再
延长 交 于G，以下结论中：① ；② ；③当 ， 时，
，正确的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．都不对
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从
点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线
AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（
）
A．2 B．π C．2π D． π
5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作
AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A． π B． π C． π D．2π
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC= ．
则当点A从A（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B （10，0）的过程中，
0 0
点C运动的路径长为_____．
7．如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB
于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经
过的路径长为 ________．
8．如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，
且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为
__．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接
AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是
__________________．10．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC= ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC
的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．
11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝
∠ACP，则点P运动的路径长为_________．
12．如图，在矩形 中， ， ， 是矩形内部的一个动点，且 ，
则线段 的最小值为______．
13．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P
从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿
A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，
则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．14．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点
O，则线段AO的最大值为______．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过
点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为
_______．
16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动
点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF= ，则点F与点C的
最小距离为________．三、解答题
17．如图，正方形ABCD中，AB= ，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，
OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
18．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）
上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.19．如图， 是 的直径， ，点C为 上一点， ，点 为 上
一动点，点 是 的中点，求 的最小值．
20．在平面直角坐标系中， 如图所示， ， ．点P从点O出发在线段
上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段 上以每秒2个单
位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接 ．
（1）如图1，连接 交 于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作 于点H，求 的最小值；
（3）如图3，在 上取一点M，使得 ，那么点M的纵坐标是否存在最大值，
若存在，求出此时 的长；若不存在，说明理由．21．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接
DE，以线段DE为直角边构造等腰Rt DEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12 ，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2 ，以点G为圆心，AG为半径作
⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取
值范围．
22．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则 ＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求
AP长的最小值．
问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD
＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请
说明理由．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P
作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线
EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，
AE达到最大值，最大值是 ．24． 中， ， ， 于 ，点 在线段 上，点 在射线
上，连 ， ，满足 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长；
（2）如图2，若 ，求证： ；
（3）如图3，将 绕点 逆时针旋转 （ ）得到 ，连 ，点
为 的中点，连接 ，若 ， ．当 最小时，直接写出
的面积．参考答案
1．B
分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，
如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB= BC=8，则OC= AB=4，OP= AB=4，再根
据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC
为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利
用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据
圆的周长公式计算点M运动的路径长．详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，
如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4 ，∴AB= BC=8，∴OC= AB=4，OP=
AB=4．
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P
点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，
EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长= •4π=2π．
故选B．
点拨：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关
键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
2．A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的 上（不含点C、可含点N），
从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝
BM−ME′．
解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 ．
，
长度的最小值 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，
解题时，注意辅助线的作法．
3．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得△BAD≌△CAF，从而易得①②正
确；取BC的中点O，连接OG、OA，则由直角三角形斜边上中线的性质可得OG是BC的
一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心OG长为半径一段圆弧上运动，从
而BG的长度不是固定的，因此可对③作出判定．
解：（1）∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜
∴AB=AC
∴∠BAD+DAC=90゜
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴BD=CF，∠DBA=∠FCA
设BG与AC交于点M，则∠BMA=∠CMG
∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜
∴∠CGM=90゜
∴BD⊥CF
故①②均正确；如图，取BC的中点O，连接OG、OA
∵BG⊥CF，AB⊥AC
∴OG、OA分别是Rt△GBC、Rt△ABC斜边上的中线
∴
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
则点G在以O为圆心 为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点
所以BG的长变化的，不可能是定值
故③不正确
故选：B．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角
形斜边上中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G的运动路径后问题则迎刃
而解．
4．D
解：如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，AB AC，
∴AC＝2 ，
∴OA＝OC ，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为 π．
故选：D．
5．A解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心， AB长为半径的圆交CB于D的 ，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB CA＝4 ，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴ 为⊙O的 周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为： π，
故选：A．
6．20﹣6 ．
【分析】由∠AOB是直角,D为AB的中点,可得DO=5，由∠ACB= ,AB=10,可得
tan∠BAC= ，可得tan∠AOC=tan∠ABC=2.可得点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动，
在计算出C运动的路径长即可.解：如图①,
连接OD ∠AOB是直角,D为AB的中点, DO=5.
原点O始终在OD上, ∠ACB= ,AB=10,tan∠BAC= .BC= ,AC= .
连接OC,则∠AOC=∠ABC, tan∠AOC=tan∠ABC=2. 点C在与y轴夹角为∠AOC的射
线上运动.
如图②,
.
如图③, .
总路径长为 + =20- ,
故答案：20- .
【点拨】本题主要考查三角函数及圆的综合知识，难度较大，求出点C在与y轴夹角为
∠AOC的射线上运动是解题的关键.
7．
【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证
△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨
迹，则劣弧OB的长即为所求．
解：∵CD⊥OB∴∠ODC=90°
∵点E是△ODC的内心
∴∠OEC=90°+ ∠ODC=135°，∠COE=∠BOE
又∵OE=OE，OB=OC
∴△COE≌△BOE
∴∠OEB=∠OEC=135°
∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧．
设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，
则∠N=180°-∠OEB=45°
∴∠M=2∠N=90°
∴OM=BM= OB=2
∴劣弧OB的长
∴内心E所经过的路径长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.
8．18
【分析】由 中 知要使 取得最小值，则 需取得最小值，连接 ，
交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，据此求解可得．解：连接 ，
，
，
，
，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 ， ，
，
又 ，
，
，
故答案是：18．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
9．
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝ AC＝
1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最
大．
解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝ AB＝2，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵AO＝OC＝1，
∴OE＝ AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，
∴∠FEC＝∠EAT，
∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，
∴OF⊥EC，
∵AD⊥CE，
∵OF∥AD，
∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC•tan30°＝ ，∴CF的最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分
线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出
当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
10．
【分析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得
KM ，推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心， 为
半径的半圆，由此即可得出结论．
解：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．
∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴AB 2，∴OP AB=1．
∵CM=MP，CK=OK，∴MK OP ，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动
的路径是以K为圆心， 为半径的半圆，∴点M运动的路径长 •2•π• ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
11．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，
∴ 的长为 π；
故答案为： π．
12．
【分析】根据 ，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的
圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解
解：∵ ，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形 中，∠ABC=90°，
∵ ，
∴OA=OB= =1，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据
，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关
键
13．
解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，
则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于 3π，
故答案为：3π．14．
解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AF AO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6
∴AF的最大值为6
∵AF AO
∴AO的最大值为3 ．
故答案为：3
15．
解：∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是
120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴AC AB＝2，
∴点Q的运动路径长为 π
16．4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝
AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝ ，推出点F的运动轨迹是以G为圆心 为半径
的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝ ，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心 为半径的圆，
∵GC＝ ，
∴FC≥GC−FG，
∴FC≥4 ，
∴CF的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点拨】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得
到AE＝CF；（2）先利用 ，求得 长，再利用 ，求得 ，然后
设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；
（3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题．
解：（1）证明：如图1，由旋转得： ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
即 ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图2，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，
是 的中点，且 ，
， ， 三点共线，
，
由勾股定理得： ，
，
，
由（1）知： ，
， ，
，
，
，
，
，，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
或 （舍 ，
， ，
由勾股定理得： ，
（3）解：如图3，由于 ，所以 点可以看作是以 为圆心，2为半径的半圆上运
动，
延长 到 点，使得 ，连接 ，
， ，
，
，
当 最小时，为 、 、 三点共线，
，
，
的最小值是 ．【点拨】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的
相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答.
18．（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处
时，AM＋BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）
解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ .
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（ ）2＋（ x＋x）2＝
解得，x＝ （舍去负值）.
∴正方形的边长为 .
19． ．
解：如解图，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
取 的中点为 ，以 为圆心， 长为半径作圆，则点 在圆上．
连接 ，作 于点 ，连接 交 于点 ，则 为所求的最小值，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，∵ ，∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，即 的最小值为 ．
20．（1） ；（2） ；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1
【分析】（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的
解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以
DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在 上运动，再由图形得出
，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；
（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角 ，以点N为圆心，以2
为半径作 ，说明点M在 上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于
于点 ，可得出 即 ，再求出直
线 的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA∥BC，
∵ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的
速度向点C运动，∴设时间为m，则 ，
∴ ，
设直线PQ的解析式为 ，
代入解得 ，
设直线OB的解析式为 ，
代入点B的坐标，求得 ，
联立 ，
解得 ，
故点D的坐标为 ，
故答案为 ；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，
∵点D（3,2），点 ，
∴点M的坐标为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点H在 上运动，
连接HM，
由图可知，
，
当三点共线时，取得最小值，
即 ，
故OH的最小值为 ；
（3）存在，理由如下，
连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角 ，以点N为圆心，以2为半径
作 ，则 在圆上， 与 轴相切，
∵ ，
∴点M在 上，
∵ 与 轴相切， 在 上，
∴
连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于 于点 ，∴
∴
∴ ，
连接 交x轴于点 ,交于BC与点 ，
设直线 的解析式为 ,
代入点 ， ，
解得直线 的解析式为 ，
∴当 时， ,
∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．
【点拨】本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三
角形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解．
21．（1）DE＝13；（2）见解析；（3） ﹣2 ≤AP≤ +2
【分析】（1）借助三角形全等，求线段的长度．
（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形．将AG转化为GM；
（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹．
解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
又∵ ,
∴BD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBE＝∠ADB＝90°，
在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝13；
（2）如图2，
连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，
∵AD∥BC，
∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，
又DK＝KE，
∴△BEK≌△MDK（AAS），
∴DK＝KE，
又∵BH＝GH，∴KH∥ GM，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴DB＝DA，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE
∵∠DAG＝∠DFG＝45°，
∴A、F、G、D四点共圆，
∴∠DGE＝∠DAF＝90°，
在Rt△DGE中，K是DE的中点，
∴GK＝ DE，
在Rt△DKE 中，
同理可得：KB＝ DE，
∴GK＝KB，
又∵BH＝GH，
∴KH⊥BG，
∵KH∥MG，
∴MG⊥AB，
∴∠AGM＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠AMG＝∠BAD＝45°，
∴AG＝GM，
∴KH＝ GM＝ AG．
（3）作EN⊥AB于N，在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，
∴EN＝BN＝ ，
在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3 ，EN＝ ，
∴GE＝2 ，
∴DE＝ GE＝2 ，
在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2 ，
∴BD＝6，
∴AB＝ BD＝6 ，
∴AG＝AB﹣BG＝4
连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，
∵P是MK的中点，
∴PI＝ ＝2 ，
∴点P在以I为圆心，半径为2 的⊙I上运动
由（2）知：KH＝ AG＝2 ，
∵IQ是△KGH的中位线，
∴IQ＝ KH＝ ，在Rt△AIQ 中，AQ＝AG+GQ＝4 + ＝ ，IQ＝ KH= ，
∴AI＝ ，
∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，
∴ ﹣2 ≤AP≤ +2 ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和
圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思
想和创新意识．
22．（1） ；（2）AP的最小值为 ；（3）存在，BD的最大值为6 +6
【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；
（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹
在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值
即可；
（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=
CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点
的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．
解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，
∴AC= AB，AF= AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴ ，
又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴ ，
故答案为 ；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，
以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，
∴OB=OC= BC= ×4=2 ，∠OBC=45°，
∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，∴BE=OE= OB= ×2 =2，
又∵AB=3，
∴AE=AB+BE=3+2=5，
∴ ，
∵OP=OB=2 ，
∴AP=AO-OP= -2 ，
即AP的最小值为 -2 ；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，
则∠EAB=45°， ，
∵AC=AD，∠ACD=90°，
∴DAC=45°， ，
∴ ，∠DAB=∠CAE=45°，
∴△DAB∽△CAE，
∴ ，
∴BD= CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E=OE+OC'，
∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE=AB=6，OC'=OA= AB=3 ，
∴CE的最大值为6+3 ，
∵BD= CE，
∴BD的最大值为 ×（6+3 ）=6 +6．
【点拨】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，
圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．
23．（1） ；（2）①点O在△APE的外接圆上，见解析；② ；（3）2，1
解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP，
∴ ，即 ，
解得：AE ；
故答案为： ；
（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ PE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQ PE，
∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，
∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC 4 ，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA AC＝2 ，
即点O经过的路径长为2 ；
（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴ ，
∴ ，
∴AE （x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，
即当AP＝2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
24．（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得 ，
再根据勾股定理可求得 ，由此即可求得答案；
（2）在（1）的辅助线的基础上过点E作EG⊥BD交BC于点G，先证明 ，
由此可得 ，再证明 ，由此可得 ，最后再根据三角形的中
位线定理即可得证；
（3）先根据已知条件求得 ， ，然后取 的中点O，连接OP，根
据三角形的中位线定理可得 ，进而可得点P在以点O为圆心，2为半径的圆
上，如图所示，由此可得当点P在线段OB上时，BP取的最小值，由此再计算 的面
积即可．
解：（1）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，DH⊥AC， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，过点E作EG⊥BD交BC于点G，
∵ ， ，
∴ ，
又∵EG⊥BD，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即： ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点H、D分别为AC、AB的中点，
∴HD为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∵将 绕点 逆时针旋转 （ ）得到 ，
∴ ，
如图，取 的中点O，连接OP，
∵点O、P分别为 、 的中点，
∴ ，
∴点P在以点O为圆心，2为半径的圆上，如图所示，
∴当点P在线段OB上时，BP取的最小值，
∵点O为 的中点，
∴ ， ，∵在 中， ，
∴设点C到直线OB的距离为h，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴当 最小时， 的面积为 ．
【点拨】本题是一道三角形的综合题，有一定的难度，综合考查了等腰直角三角形的性质，
勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，圆的性质等相关知识，
熟练掌握相关图形的性质并能灵活运用是解决本题的关键．
