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专题3.34 圆的综合题-圆与四边形（专项练习）
◆中考动态
纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相
似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较
大。
◆知识点
圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及
其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆
及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质
定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。
◆解题策略及方法
虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线
的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性
质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先
分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件
常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股
定理或锐角三角函数进行计算:
②利用圆周角相等转移角的等量关系;
③利用直径构造直角三角形;
④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;
⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。
1．如图， 是半圆的直径，弦 ，过 点作圆 的切线 ，与 延长线相交
于点 ，连接 、 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时，求围成阴影部分图形的周长．
2．已知：如图，四边形 内接于圆，延长 、 相交于点 ，点 是 的延长线上的点，且 平分 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
3．已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、
CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．
（1）求证： ；
（2）联结EG，如果 ，求证： ．
4．如图，四边形 中， ，以A为圆心，
为半径作圆，延长 交 于点F，延长 交 于点E，连结 ，交 于点G．
（1）求证： 为 的切线；
（2）求 的值；
（3）求线段 的长．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心 ；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心 ．
6．若四边形的一组对角α，β，满足∠α ∠β＝180°，我们把这个四边形称为可衍生四边
形，∠β为二倍角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠A＝130°，当四边形ABCD为可衍生四边形，
且∠C为二倍角时，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点E是圆上一点，连结并延长CE，AD交于点
F，延长CD，BA交于点G，CD•DG＝AD•DF，求证：四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，EG，若CD是⊙O的直径，AF⊥EG，AG＝
5AB，求sin∠FAG的值．
7．已知：如图，四边形 内接于圆， 交 延长线于 ．求证：
．8．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线
上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
9．问题背景：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90，AD=BD，探究线段BC、
CD之间的数量关系．
小亮同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处．点B、C分
别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角
三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD．
简单应用：
（1）在图1中，若AC=2 ，BC=4 ，则CD=______；
（2）如图3，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，弧AD等于弧BD，若AB=13，
BC=12，求弦CD的长；
拓展延伸：
（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用
含m，n的代数式表示）．
10．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美
角．
（1）如图1，若四边形 是圆美四边形，求美角 的度数．
（2）在（1）的条件下，若 的半径为 ．①求 的长．
②如图2，在四边形 中，若 平分 ，则 的最大值是________．
（4）在（1）的条件下，如图3，若 是 的直径，请用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．
11．如图， 是 的直径， 是圆上不与点 、 重合的动点，连接 并延长 到点
，使 ，连接 ， 是 的中点，连接 、 、 ．
（1）求证： ．
（2）填空：
①若 ，当 ___________时，四边形 是菱形；
②当 ___________ 时，四边形 是正方形．
12．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学
家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古
塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角
线交点的直线平分对边”．
任务：
（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________
求证：_________________
证明：（2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是
上的点， 于 于H，当M是 中点时，直接写出四边形 是怎
样的特殊四边形：__________．
13．如图，已知扇形 的半径 ， ，点 、 分别在半径 、 上
（点 不与点 重合），联结 ．点 是弧 上一点， ．
（1）当 ，以 为半径的圆 与圆 相切时，求 的长；
（2）当点 与点 重合，点 为弧 的中点时，求 的度数；
（3）如果 ，且四边形 是梯形，求 的值．
14．如图，在四边形 中， ，过 三点的圆交 边于点
E．
（1）求证：E是 的中点；
（2）若 ，求证： ．15．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做友好四边形．
（1）如图1，在友好四边形 中， // ，且 ，求 的度数．
（2）如图2，四边形 内接于圆O，连结 交 于点E（不与点O重合），若E
是 的中点，求证：四边形 是友好四边形．
（3）在（2）的条件下，
①如图3，连结 交 于点K，若 ， ， ，求友好四边
形 的面积．
②如图4，若延长 交 于点F，交圆O于点G，若 ， ，
，求 的长．
③如图5，延长 至Q，使得 ，若友好四边形 中有一组对边平行，且
，求 的正弦值．16．如图 ， ， ，点 从点 出发，以 的速
度向点 运动同时点 从点 出发，以 的速度向点 运动，当点 到达点 时， 、
两点停止运动．运动时间为 秒．
（1）如图1，用含 的式子表示 的面积求出 的最大面积；
（2）如图1， 的面积与四边形 的面积能否相等如果能，求 的值，如果不能
说明理由．
（3）如图2，点 为圆心，PQ为半径作圆，点 、 在运动过程中，当 为何值时，直线
与 相切直接写出 的值．17．如图，已知矩形 中， ，点E在边 上， 的垂直平分线分别
与边 、 相交于点F、G．
（1）若四边形 能够成为菱形，则a必须满足的条件是_________；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若经过点D、E、F的圆能够与直线 、 同时相切，求a的值．
18．问题提出
（1）已知，如图①在 ABC中，AB＝4，AC＝3，sinA＝ ，则 ．
（2）已知，如图②四边形ABCD中，两条对角线AC＝m，BD＝n．AC与BD的夹角为θ
（0＜θ≤90）．求四边形ABCD的面积（用含m、n、θ的式子表示S ）．
四边形ABCD
问题解决
（3）课外活动小组在研究圆内接四边形时提出以下问题：若线段AB、CD是半径为2的
⊙O的两条弦，且AB＝2 ，CD＝2 ，你认为在以点A、B、C、D为顶点的四边形中，
是否存在面积最大的四边形？请利用图③说明理由，若存在，请求出面积最大值．19．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一个圆上，另一个圆的圆心在AB边上，且该圆
与四边形ABCD的其余三条边相切．求证： ．
20．在平面直角坐标系xOy中，作⊙O分别交x轴y轴于点A、B，点C在第三象限且在圆
上，D是弦AB的中点，OD的长为 ．
（1）如图1所示，求半径的长度；
（2）如图1所示，若圆心O到弦BC的距离OE= ，求C点的坐标；
（3）如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得∠BPC：
∠BOC=1：2，四边形OBPC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P
点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（1）如图①，在△ABC中， ，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交 于
点 ，那么点 到 的距离为 ．（2）如图②，四边形 内接于 ， 为直径，点B是半圆 的三等分点（弧
弧 ），连接 ，若 平分 ，且 ，求四边形 的面积．
（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，
其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其
余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且
AD+DC=10（其中 ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面
积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在
请说明理由．
22．（1）（学习心得）小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果
添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在 中，
， ， 是 外一点，且 ，求 的度数．若以点 为
圆心， 为半径作辅助 ，则点 、 必在 上， 是 的圆心角，而
是圆周角，从而可容易得到 ______ ．
（2）（问题解决）如图2，在四边形 中， ， ，求
的度数．（3）（问题拓展）如图3，如图， ， 是正方形 的边 上两个动点，满足
．连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．若正方形的边长为 ，则线段
长度的最小值是______．
23．（问题提出）
如图1， 为 的一条弦，点 在弦 所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们
知道 的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段 的长度已知， 的
大小确定，那么点 是不是在某个确定的圆上运动呢？
（问题探究）
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若 ，线段 上
方一点 满足 ，为了画出点 所在的圆，小芳以 为底边构造了一个
，再以点 为圆心， 为半径画圆，则点 在 上．后来小芳通过逆向思维
及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段 的长度已知， 的大小确定，则
点 一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦
定角”模型．
（模型应用）
（1）若 ，平面内一点 满足 ，若点 所在圆的圆心为 ，则
________，半径 的长为________．
（2）如图3，已知正方形 以 为腰向正方形内部作等腰 ，其中 ，过点 作 于点 ，若点 是 的内心．
①求 的度数；
②连接 ，若正方形 的边长为 ，求 的最小值．
24．如图，已知 为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以 为
一组邻边作 ，连接 ，设 的中点分别为 ，连接 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒 的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时
间为 ．
①是否存在这样的 ，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，
请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形 的面积取得最大值？并判断此时直线 与半圆O
的位置关系（需说明理由）．
25．如图， 为 的弦，弧 ＝弧 ，连接 的延长线交 于点 ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， 于点 交 于点 ，连接 交 于点 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下， 的延长线交 于点 ，求 的长．
26．在平面中，对于 以及它的弦 ，若存在正方形 ，使点 在弦 上，点
在 上，则称正方形 是 关于弦 的一个“联络正方形”
下图中的正方形 即为 关于弦 的一个“联络正方形”
在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为圆
心， 为半径的圆与 轴的另一个交点为 ．
（1）当 时，判断 关于弦 的“联络正方形”是否存在（直接回答）；
（2）当 时， 关于弦 的“联络正方形”为 ，求点 的坐标；
（3）当 关于弦 的“联络正方形”为 存在，且点 在抛物线 上时，
直接写出此时点 的坐标．
27．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、
BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝ ，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说
明理由．28．已知AB、CD为 的两条弦， ．
（1）如图1，求证弧 弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点
E，连接BE，使 ，若 ，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与 相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交
CH于点H， ， ，求CH长．
29．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求 的值．30．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；
（2）如图1，在等腰 中， ，经过点A、B的⊙O交 边于点D，交
于点E，连结 ．若四边形 为圆美四边形，求 的值；
（3）如图2，在 中，经过A、B的⊙O交 边于点D，交 于点E，连结 ，
交于点F．若在四边形 的内部存在一点P．使得 ，连结 交
于点G，连结 ，若 ， ．
①求证：四边形 为圆美四边形；
②若 ， ， ，求 的最小值．参考答案
1．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质、平行四边形
的判定定理证明结论；
（2）根据弧长公式求出 的长，结合图形计算，得到答案．
解：（1）证明：连接 ，
是圆 的切线，
，
由圆周角定理得， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2） ，
， ，
，
的长 ，
围成阴影部分图形的周长 ．【点拨】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是
解题的关键．
2．（1）见解析；（2） cm．
【分析】
（1）由圆内接四边形的性质得出 ，由 平分 ，根据角平分线的定义
可得 ，再由圆周角定理及对顶角的性质可得 ， ，所以 ，
由此可得 ；
（2）首先证明 ，通过相似三角形的性质即可求解．
解：（1）证明： ，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题综合考查了角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性
质等，灵活运用所学知识，学会正确寻找相似三角形解决问题是关键．
3．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，则
∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；
（2）联结EG，EG∥AB，又AD∥BC，四边形ABGE是平行四边形，则AE=BG=BD，由
（1）得△BDE∽△ADB，得到 ，即BD2=AD•DE，则可得出结论．
解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，
又在圆B中，BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∴∠ADB=∠ABD=∠BED，
∴△BDE∽△ADB；
（2）如图，
∵EG∥AB，又AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE=BG，
∵BG=BD，
∴AE=BD，
又由（1）得△BDE∽△ADB，
∴ ，∴BD2=AD•DE，
又在菱形ABCD中，AD=BC，
∴AE2=DE•CB．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定
等内容，熟知各种判定定理是解题基础．
4．（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据平行线的性质，证明∠ABC=90°即可；
（2）根据平行线的性质，得∠EDF=∠BCD，过点D作DH⊥BC，垂足为H，在直角三角形
CDH中，根据三角函数的定义计算即可；
（3）过A作 于点J，证明 ，后利用勾股定理计算即可
解：（1）证明：∵ ，
∴
∵
∴ 是 的切线
（2）过D作 于H,
∵
∴
∴四边形 为平行四边形
∴在 中，
∴ ,
∴ ,
∴
（3）过A作 于点J,
∴
在 中，
∴
∴
∴
∵
∵
∴
∴ ，
∴中，
∴ .
【点拨】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判
定，灵活运用勾股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键.
5．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，
连接BH交AC于O即可．
解：（1）如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心 ； 由已知可
得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A,故∠EBA +∠DBA=90°，DE为直径；
（2）如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG
交DA于H，连接BH交AC于O．点 即为所求．说明：由已知可得，△ADB为等边三角
形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，
BH⊥AD，BH过圆心；【点拨】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行
作图．
6．（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由定义以及四边形内角和定理可得∠B的度数；
（2）根据圆内接四边形的一个外角等于内对角，再证明 可得
，进而可得 ，结合定义即可得证；
（3）连接 ，设 交 于点 ，证明 ，进而证明
，求得 ，进而证明 ，再证明
，求得 ，根据正弦的定义即可求得
解：（1） 四边形 为可衍生四边形，∠C为二倍角，∠A＝130°，AD⊥CD，
, ，
，
，
（2） ，
即 ，
，
，
，四边形 是圆 的内接四边形，
，
，
，
，
，
四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）连接 ，设 交 于点 ，如图，
CD是⊙O的直径，
，
由（2）可知 ，
，
，
又 , ，
，
，
，
四边形 是圆 的内接四边形，
，
，
，，
，
，
AF⊥EG，
，
又 ，
，
，
．
【点拨】本题考查了新定义四边形，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是90°，全
等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义，综合运用以上
知识是解题的关键．
7．见解析
【分析】
连接 ，由同弧所对的圆周角相等可得 ，然后结合平行线的性质求得
，再根据圆内接四边形对角互补和邻补角的定义求得 ，从
而可证 ，最后根据相似三角形的性质进行证明．
解：证明：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．【点拨】本题考查同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的判定和
性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
8．（1）见解析；（2） cm
【分析】
（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC
＝∠4，由此得证．
（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应边成比例，即可求出AE及DE的值．
解：（1）证明：如图：
∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴ ，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝ ，
∴DE＝ （cm）．【点拨】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常
规题目．
9．（1）6；（2） ；（3）
【分析】
（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路
即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D，由（2）问题可知：AC+BC=
1
CD；又因为CD=DD，所以利用勾股定理即可求出CD的长度.
1 1 1
解：(1)由题意知：AC+BC= CD，
∴2 +4 = CD，
∴CD=6；
故答案为： ；
(2)如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90∘，
∵ = ，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC= CD，5+12= CD，∴CD= .
(3)以AB为直径作⊙O,连接DO并延长交⊙O于点D，
1
连接DA、DB、DC、CD,如图4,
1 1 1
由(2)得：AC+BC= DC，
1
∴DC= ，
1
∵DD是⊙O的直径，
1
∴∠DCD=90∘，
1
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，
∴DD2=AB2=m2+n2，
1
∵DC2+DC2=DD2，
1 1
∴CD2=m2+n2− = ,
∵m
