专题 3.6 导数的综合应用
【新高考专用】
题型一 导数中的函数零点（方程根）问题
1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数sgn(x)=¿，则函数f(x)=sgn(lnx)−xlnx零点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数f (x)=¿，若方程f (x)+ex=0存在三个不相等的实根，则实数a的取
值范围是（ ）
A．(−∞,e) B．(−∞,−e) C．(−∞,−2e) D．(−∞,2e)
3．（2024·广东梅州·三模）已知函数f (x)=ex−ax2，a∈R，f′(x)为函数f (x)的导函数.
(1)讨论函数f′(x)的单调性；
(2)若方程f (x)+f′(x)=2−ax2在(0,1)上有实根，求a的取值范围.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
f(x)=xe
1
x−a(x>0)
，且 f(x) 有两个相异零点x
1
,x
2
．
(1)求实数a的取值范围．
2a
(2)证明：x +x > ．
1 2 e
题型二 利用导数证明不等式5．（2024·浙江温州·模拟预测）已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x−lnx>y−ln y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·安徽·三模）已知实数
x ,x ,x
满足 x
1 =e
x
2
2
−1=
x
3 =
1 ，则（ ）
1 2 3 2−x √1+x +1 20
1 3
A．x <x <x B．x <x <x
1 2 3 1 3 2
C．x <x <x D．x <x <x
2 3 1 2 1 3
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数f (x)=ex−kx2−x.
1
(1)若k= ，求证：当x>0时，f (x)>1；
2
(2)若x=0是f (x)的极大值点，求k的取值范围.
a
8．（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)=lnx+ x2−x+2(a∈R).
2
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ；求证： 4ex−2；
a=0 f(x)<
x2
( 1)
(3)设x ，x (x <x )是函数f(x)的两个极值点，求证：f (x )−f (x )< a− (x −x ).
1 2 1 2 1 2 2 1 2
题型三 利用导数研究不等式恒成立问题
ex−e
9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ≥e+lnax在x∈(0,+∞)上恒成立，则a的最大值为（ ）
a
e2−e
1 1
A． B．
2e2
−e C．e1−e D．
e
1+
e
−e
210．（2024·湖北武汉·二模）已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．(−∞,1] D．[1,+∞)
11．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
f (x)=ex−2elnx+ax+lna(a>0)
3
(1)若a=1，证明：f (x)> x；
2
(2)若f (x)≥2e+1恒成立，求实数a的取值范围．
12．（2024·湖南衡阳·一模）已知函数f(x)=sinx−aln(b+x)
(1)若f(x)在x=π处的切线方程为2x+ y+2π(ln2π−1)=0，求a、b的值；
π
(2)若b=1时，在(−1, ]上f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
2
题型四 利用导数研究存在性问题
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ex+(e+1)x−a (a∈R),g(x)=x2+2x．若存在x∈[0,1]，
使得f (x)=g(x)成立，则实数a的最大值是（ ）
A．2e−2 B．e−2 C．e+1 D．2e+1
2a
14．（2024·四川乐山·二模）若存在x ∈[−1,2]，使不等式x +(e2−1)lna≥ +e2x −2成立，则a的
0 0 ex
0
0
取值范围是（ ）
A．[ 1 ,e2 ] B．[ 1 ,e2 ] C．[ 1 ,e4 ] D．[1 ,e4 ]
2e e2 e2 e
15．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 ，若存在唯一的负整数 ，使得 ，
f (x)=ex(x+2)−ax x f (x )<0
0 0则实数a的取值范围是 ．
16．（2024·浙江·三模）已知函数f (x)=(x−2)ex+lnx，g(x)=ax+b，对任意a∈(−∞,1]，存在
x∈(0,1)使得不等式f (x)≥g(x)成立，则满足条件的b的最大整数为 .
题型五 利用导数研究双变量问题
17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数 ，若 ，且 ， ，
f (x)=(x−2)ex f (x )=f (x ) x ≠x x ⋅x >0
1 2 1 2 1 2
则（ ）
1 3
A．x > B．x < C．x x >1 D．x +x <2
1 2 2 2 1 2 1 2
18．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数f (x)=ex+ax有两个零点x ,x ，且x >x ，则下列说法
1 2 1 2
不正确的是（ ）
A． B．
a<−e x +x >ln(x x )+2
1 2 1 2
C．x x >1 D．f (x)有极小值点
1 2
19．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数 ．
f(x)=x2−ax+2lnx,a∈R
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)已知f(x)有两个极值点x ,x ，且x <x ，
1 2 1 2
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求 的最小值．
2f (x )−f (x )
1 2
1
20．（2024·广东佛山·二模）已知f (x)=− e2x+4ex−ax−5.
2
(1)当a=3时，求f (x)的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
f (x) x x f (x )+f (x )+x +x <0
1 2 1 2 1 2题型六 导数中的极值偏移问题
21．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x ,x ，且x <x ，则下列命题正
1 2 1 2
确的是（ ）
2
A．a>1 B．x +x <
1 2 a
1
C．x ⋅x <1 D．x −x > −1
1 2 2 1 a
22．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x 、x ，且x <x ，则下列命
1 2 1 2
题正确的个数是（ ）
2 1
①0<a<1；②x +x < ；③x ⋅x >1；④x −x > −1；
1 2 a 1 2 2 1 a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
f (x)
23．（2024·江西南昌·二模）已知函数f (x)=x(lnx−a)，g(x)= +a−ax．
x
(1)当x≥1时，f (x)≥−lnx−2恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
g(x) x x x x >e2
1 2 1 2
24．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
f (x)=(x−2)(ex−ax)(a∈R)
(1)若a=2，讨论f (x)的单调性．
(2)已知关于x的方程f (x)=(x−3)ex+2ax恰有2个不同的正实数根x ,x ．
1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：x +x >4．
1 2题型七 导数在实际问题中的应用
25．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个
体积为27cm3的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A．4cm3 B．8cm3 C．12cm3 D．16cm3
26．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款x(0<x≤10)万元全部用于某产品的加工与销售，
12
据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y=lnx−x− +9，要使年利润最大，小李应向银
x
行贷款（ ）
A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元
27．（2024·广东茂名·二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1
百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，
为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且
BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小
岛上再修建栈道M´E、D´N以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.
28．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，从边长为100米的等边三角形花园ABC的点A沿直线修一条路
到边BC上的点D，再从D沿直线修一条路到边AC上的点E，且DE//AB，若路AD每米的造价是路DE
每米造价的√13倍，则当BD= 米时，修筑这两条路的总造价最低．题型八 导数中的新定义问题
29．（2024·青海西宁·二模）定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，若函数
f(x)=f′ (x) x f(x)
0
， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
g(x)=e2x+1 ℎ(x)=lnx φ(x)=x3−1 a b c a b c
（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a
30．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数f (x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可
导，则称
f (x)
在D上存在二阶导数，记
f″(x)=(f′(x))
′.若
f″(x)<0
在D上恒成立，则称
f (x)
在D上为凸函
π
( )
数.以下四个函数在 0, 上不是是凸函数的是（ ）
2
A．f (x)=sinx+cosx B．f (x)=lnx−2x
C．f (x)=−x3+2x−1 D．f (x)=−xe−x
31．（2024·河南·三模）设函数f (x)的导函数为f′(x),f′(x)的导函数为f″(x),f″(x)的导函数为f′′′(x).若
f″ (x )=0
，且
f′′′ (x )≠0
，则
(x ,f (x ))
为曲线
y=f (x)
的拐点.
0 0 0 0
(1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若(√2 (√2))为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
f (x)=ax5−5x3 ,f y=f (x) f (x)
2 2
32．（2024·湖南湘西·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．
给定自然数m，n，我们定义函数 f (x) 在 x=0 处的 [m,n] 阶帕德近似为 R(x)=
a
0
+a
1
x+⋯+a
m
xm
，该函
1+b x+⋯+b xn
1 n数满足 ．
f(0)=R(0),f′ (0)=R′ (0),f″ (0)=R″ (0),⋯,f(m+n)(0)=R(m+n)(0)
注： f″ (x)=[f′ (x)] ′ ,f(3)(x)=[f″ (x)] ′ ,⋯,f(n)(x)=[f(n−1)(x)] ′．
设函数 在 处的 阶帕德近似为 ．
f(x)=ex x=0 [0,1] R(x)
(1)求R(x)的解析式；
(2)证明：当x<1时，f(x)≤R(x)；
1
(3)设函数g(x)=ex− ，若x=0是g(x)的极大值点，求k的取值范围．
1−x+kx2
一、单选题
a
1．（2024·陕西·二模）∀x∈[1,2]，有lnx+ −1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
x2
A．[e,+∞) B．[1,+∞) C．
[e
,+∞ ) D．[2e,+∞)
2
2．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为144πcm2的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆
锥体积的最大值为（ ）
32 256π
A． πcm3 B．16πcm3 C． cm3 D．32πcm3
3 3
3．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线y=f(x)，其在点
|f″ (x )|
(x
0
,f(x
0
))处的曲率
K= 0
3
，其中f′ (x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′ (x)的导函数．则抛物
{1+[f′ (x )] 2 }2
0
线 上的各点处的曲率最大值为（ ）
x2=2py(p>0)
1 2
A．2p B．p C． D．
p pe
4．（2024·江西·模拟预测）已知x(aex+1)>ln 有解，则实数a的取值范围为（ ）
x
A．( − 1 ,+∞ ) B． ( − 1 ,+∞ )
e2 e
( 1)
C．(−1,+∞) D． −∞,
e
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f (x)+2t=0有3个不同的
实数根，则实数t的取值范围为（ ）
( 1) ( 1 ) [ 1 ]
A． −∞,− B． − ,0 C． − ,1 D．(−e,2)
e e e
6．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的个数为（ ）
①log a+log b≥−2 ②2a+2b≥2√2 ③a+lnb<0
2 2
A．0 B．1 C．2 D．3
ea eb
7．（2024·江西·模拟预测）已知a>b，c>d， = =1.01，(1−c)ec=(1−d)ed=0.99，则（ ）
a+1 b+1
A．a+b<0 B．c+d>0 C．a+d>0 D．b+c>0
| 2 |
8．（2024·四川南充·一模）已知函数f(x)= lnx− +2 −m（0<m<3）有两个不同的零点x ，x （
x 1 2
x <x ），下列关于x ，x 的说法正确的有（ ）个
1 2 1 2
①x ② 2 ③
2<e2m x > x x >1
x 1 m+2 1 2
1
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．（2024·湖北·二模）已知x>y>0，则下列不等式正确的有（ ）
A．ex−ey>x−y B．lnx−ln y>x−y
1 ex ey
C．lnx≥1− D． >
x y x
sinx
10．（2024·新疆·二模）设函数f(x)= ，则（ ）
x+cosx
[ π] 2
A．f(x)在 0, 上单调递减 B．f(x)在[0,+∞)上的最大值为
2 π
[ π ] 1
C．方程f (x)=1只有一个实根 D．∀x∈ 0, ，都有f(x)≥ x成立
3 211．（2024·广西来宾·模拟预测）下列关于函数f (x)=x−xlnx的说法，正确的有（ ）
A．x=1是f (x)的极大值点
B．函数f˙(x)有两个零点
C．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x >e
1 2 1 2
D．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x <e
1 2 1 2
三、填空题
1
12．（2024·陕西商洛·一模）已知函数f(x)=lnx−aeax，若对任意的x≥ ,f(x)≤0成立，则正数a的取
e
值范围是 .
13．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影
部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿MN，NP，PQ，QM折起，得到一个无盖长方体，则该
长方体体积的最大值为 ．
| m|
14．（2024·四川德阳·一模）若关于x的方程lnx+ 1+ =1有且仅有两个实根，则实数m的取值范围为
x
．
四、解答题
15．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=ex−ax+1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
∀x≥0,f(x)≥x2+2
16．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为a的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．
(1)试把无盖纸盒的容积V表示成裁去边长x的函数；
(2)当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）
lnx−ax e+2
17．（2024·青海·二模）已知函数f(x)= ，曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为 .
x2ex e2
(1)求a的值：
(2)证明：当x>0时，f(x)<1.
18．（2024·四川德阳·二模）已知函数f (x)=lnx+x2−2ax,a∈R，
(1)当a>0时，讨论f (x)的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
f (x) x ,x (x <x ) 2f (x )−f (x )
1 2 1 2 1 2
19．（2024·甘肃白银·一模）已知函数f (x)=tx2−2lnx−1.
(1)若曲线y=f (x)在x=2处的切线的斜率为3，求t.
(2)已知 恰有两个零点 .
f (x) x ,x (x <x )
1 2 1 2
①求t的取值范围；②证明：x x 2−2lnt.
1+ 2<
x x t
2 1
