专题 3.7 函数的图象及零点问题
题型一 函数图象的识别
题型二 函数图象的变换
题型三 利用函数图象解决不等式
题型四 确定零点所在区间
题型五 零点存在定理判断零点个数
题型六 利用图象交点的个数判断零点个数
题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围
题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围
题型九 求零点的和
题型十 镶嵌函数的零点问题
题型一 函数图象的识别
例1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）（多选）如图所示的四个容器高
度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图
象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，
再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断.
【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数 的大致图
象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数 为非奇非偶函数，排除A；易知当
时， ，故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当 时，
的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果.
【详解】解：易知函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为非奇非偶函数，排除A；
易知当 时， ，故排除C；
因为 ， ，所以 ，所以排除D．
故选：B．
练习1．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数，则 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.
【详解】 ， ， ，
排除选项ABD.
故选：C.
练习2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.
【详解】由 ，排除A，D．当 时， ，所以 ，排除C．
故选：B．
练习3．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形 的边 ， ， 是
的中点，点 沿着边 ， 与 运动，记 .将动 到 、 两点距离之和表
示为 的函数 ，则 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出分段函数的解析式，根据函数图像，利用排除法进行求解即可.
【详解】由已知得,当点P在BC边上运动时,即 时, ；
当点P在CD边上运动时,即 时,
,当 时, ；
当点P在AD边上运动时,即 时, .
从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线 对称,且 ,且轨迹非线型，对
照四个选项，排除A、C、D，只有B符合.
故选：B.
练习4．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某
个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC；利用导数和零点的存在性定理研
究函数的单调性，结合图形即可判断D.
【详解】A：设 ，由 得 ，
则 ，结合图形，不符合题意，故A错误；
B：设 ，则 ，结合图形，不符合题意，故B错误；
C：设 ，当 时， ， ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，结合图形，不符合题意，故C错误；
D：设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
故存在 ，使得 ，
所以当 时 ，即 ，当 时 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，结合图形，符合题意，故D正
确.
故选：D.
练习5．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得
出合适的选项.
【详解】对于函数 ，有 ，可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
， ，
所以，函数 为偶函数，排除AB选项；
当 时， ，则 ，
此时 ，排除D选项.
故选：C.
题型二 函数图象的变换
例3．（2022·全国·高三专题练习）把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移3个
单位，则平移后抛物线的表达式为___________
【答案】
【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案.
【详解】把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，
则平移后抛物线的解析式为： .
故答案为： .例4．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）先作出函数 的图象，根据函数图象变换可作出函数 的图象；
（2）先作出函数 的图象，根据函数图象变换可作出函数 的图
象；
（3）先作出函数 的图象，根据函数图象变换可作出函数 的图象.
(1)
解：作函数 的图象关于 轴对称的图象，得到函数 的图象，
再将所得图象向上平移 个单位，可得函数 的图象，如下图所示：
(2)
解：因为 ，
所以可以先将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，
再作所得图象关于 轴对称的图象，得函数 的图象，
最后将所得图象向下平移 个单位，得函数 的图象，即为函数 的图象，如下图所示：
(3)
解：作函数 的图象关于 轴对称的图象，得函数 的图象，
再把所得图象在 轴下方的部分翻折到 轴上方，可得到函数 的图象，如下
图所示：
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取
值范围为____________．
【答案】
【分析】先画出函数 ，再根据函数在 上单调递减求解.【详解】解：因为函数 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位后，再把
位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在 上单调递减，所以k的取值范围是 ．
故答案为：
练习7．（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象
(1)
(2)
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图像即可画出函数图像；（2）根据函数图像
的平移和翻折结合对数函数图像即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以函数为偶函数，关于 轴对称，
因此只需要画 时的函数图形即可，
，
再利用对称性即可得解.（2）将函数 的图象向左平移 1个单位, 再将 轴下方的部分沿 轴翻折上
去, 即可得到函数 的图象,
如图所示.
练习8．（2023秋·四川资阳·高三校考期末）已知函数 ，若方程
恰好有三个实数根，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数 与 的图象有三个交点时，求数
的取值范围的问题，数形结合即可得出.
【详解】
函数 的图象如图所示，
因为 恰好有三个实数根，
即函数 与 的图象有三个交点，
由图象可知，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习9．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数 的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线 关于直线 对称，则
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，再利用函数平移
变换法则求出函数 的解析式，进而可得答案.
【详解】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
将 的图象向下平移4个单位长度得到 的图象，
再将 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象，
即 ，故 .
故选:D.
练习10．（2023秋·重庆·高三校联考期末）函数 若 ,且
,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式画出图象,由 判断 的范围,再由
得出 的关系,由 ,及 的范围,将 化为关于 的式子,
将上述等式代入 中得到关于 的二次函数,根据 的范围求值域即可.
【详解】解:由题知 ,所以 ,
画出 图象如下:由图象可知: ,
且有 即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
由 可得 ,
即 ,所以 ,
即 .
故选:B
题型三 利用函数图象解决不等式
例5．设奇函数 的定义域为 ，且 ，若当 时，f(x)的图像如图，
则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质可知，图像关于原点对称，利用图像法解不等式，即可得答案．【详解】当 时，由图像可得： 的解集为 ；
当 时，则 .
因为函数 为奇函数，所以 .
所以 可化为： ，即 ，
对照图像可得： ，解得：
综上所述： 的解集为 .
故选：D．
例6．（2023·江西·高一统考期中）已知函数 ， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论.
【详解】由题知 在同一坐标系下
画出 ， 图象如下所示：
由图可知 的解集为 .
故选：A.
练习11．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）研究表明在受噪声干扰的信道中，在信
通带宽不变时，最大信息传递速率C（单位： ）取决于平均信号功率 （单位： ）与
平均噪声功率 （单位： ）.在一定条件下，当 一定时， 随 增大而减小；当 一
定时， 随 增大而增大.下图描述了 与 及 的关系，则下列说法正确的是（ ）A． 时，
B． 时，
C． 时，
D． 时，
【答案】B
【分析】根据选项中限定的横纵坐标 的关系，结合图中的点，验证点是否符合选项的
结论.
【详解】如下图：
对于A，由 时，图中存在点满足 ，故A错误；
对于B，由 时，图中所有点满足 ，故B正确；
对于C，由 时，图中存在点满足 ，故C错误；
对于D，由 时，当 时，取 ， ，此时 ，故D错误.
故选：B.
练习12．（2023·北京·高一统考学业考试）已知 是定义在区间 上的偶函数，
其部分图像如图所示．(1)求 的值；
(2)补全 的图像，并写出不等式 的解集．
【答案】(1)1
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据偶函数的性质计算；
（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.
【详解】（1）由图可知， ，
因为 是偶函数，所以 ；
（2）
的图像如上图，不等式 的解集为 ；
综上， ， 的解集为 .
练习13．（2023·江西赣州·统考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，得到 ，画出图象，数形结合
得到答案.
【详解】令 ，则 ，
，其中 ，
在同一坐标系内画出 ，故
故选：D
练习14．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，
且对任意 且 ，都有 ，若 ，则不等式
的解集为________.
【答案】
【分析】根据函数为奇函数又已知得函数 在 上单调递减，可得函数 在
上单调递减，又 ，可得函数大致图象，结合图象解不等式
即可得解集.
【详解】解：已知 是定义在 上的奇函数，则 ，且
又对任意 且 ，都有 ，不妨设 ，则
，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，则函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
则函数 的大致图象如下图：根据图象可得不等式 的解集为： .
故答案为： .
练习15．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）设函数 的定义域为 ，
满足 ，且当 时， ，若对任意 ，都有
，则m的取值范围是________.
【答案】
【分析】由 ，得 ，分段求解析式，结合图象可得m的取值
范围．
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 时， ，
当 ， 时， ，
；
观察图象可得，当 ， 时，不存在 ， ，
当 时， ，
观察图象可得，不存在 ，满足 ，
所以 ， 时，
，
；
当 时，即 时， ，
令 ，可得 或 ，
观察图象可得，若对任意 ，都有 ，则 ．
所以m的取值范围是
故答案为 ．题型四 确定零点所在区间
a ,b>0
例7．（2021秋·高三课时练习）函数 的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 的单调性，结合 ，由零点的存在性定理，即可求解.
a ,b>0
【详解】由函数 在 上单调递增，
又由 ，
即 ，
a ,b>0
所以根据零点存在性定理可知，函数 的零点所在的区间为 .
故选：D.
例8．（2023秋·吉林·高三长春市第二实验中学校联考期末）已知函数 的零点
在区间 内， ，则 ______．
【答案】
【分析】利用零点存在定理可得答案.
【详解】明显函数 在 上单调递增，且为连续函数，
又 ， ，
由零点存在定理得函数 的零点在区间 内，
故 .
故答案为： .练习16．（2021秋·高三课时练习）函数 的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为函数 在 上是连续的曲线，且 ， ，
所以，函数 的零点所在的区间为 .
故选：B.
练习17．（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程 在 内的近似
解，已知 判断，方程的根应落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理及 的单调性可得 在 上有唯一零点，从而得到
方程的根应落在 上.
【详解】令 ，
因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
，
所以 在 上有唯一零点 ，即 ，故 ，
所以方程的根落在区间 上，
故选：B.
练习18．（2023春·天津河北·高二统考期中）设函数 ，则 （ ）
A．在区间 内有零点，在 内无零点
B．在区间 ， 内均有零点
C．在区间 ， 内均无零点
D．在区间 ， 内均有零点【答案】D
【分析】利用导函数讨论函数的单调性，并根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
且 ，
所以函数在区间 ， 内均有零点，
,则 在区间 无零点，
故选:D.
练习19．（2023秋·安徽马鞍山·高三统考期末）已知函数 ， ，
的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，得 ；根据函数的单调性及零点存在定理可得 ，
，即可得答案.
【详解】解：令 ，得 ，即 ；
因为 ，易知 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ；
，易知 在 上单调递增，
又因为 ， ，所以 ；
所以 .
故选：B.
练习20．（2023秋·云南·高三校联考期末）设方程 ， ，的实数根分别为 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理分别求出根的范围即可判断．
【详解】构建 ，可知 在定义域内单调递增，且
，
所以 的实数根 ，
构建 ，可知 在定义域内单调递增，且 ，
所以 的实数根 ，
构建 ，可知 在定义域内单调递增，且 ，
所以 的实数根 ，
.
故选：A.
题型五 零点存在定理判断零点个数
例9．（2022秋·高一课时练习）已知函数 的图像是连续的，根据如下对应值表：函
数在区间 上的零点至少有（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
23 9 11
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据零点存在定理判断，即可得答案.
【详解】由表中数据可知 ，
故在 内函数至少各有一个零点，
故选：C
例10．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）（多选）已知 为 上的奇函数，且在 上单调递增， ，则下列命题中一定正确的是
（ ）
A． B． 有3个零点
C． D．
【答案】AB
【分析】根据奇函数，结合单调性可以判断A,C,D选项，根据零点存在定理判断零点个数
即可判断B选项.
【详解】由已知函数 在 上单调递增，在 上也单调递增， ，
由 ，得 .
对于A，因为 在 上单调递增，所以 ，A正确；
对于B， 在 上单调递增，且 ， ，故在 上有且只有一
个 ，使 ，
同理 在 上单调递增，且 ， ，故在 上有且只有一个
，
使 ，又 ，所以 有3个零点，B正确；
对于C，因为 在 上单调递增， ，C错误；
对于D， ， ，易知 与 无法比较大小，D不
一定正确.
故选：AB.
练习21．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知函数 在区
间 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
设函数 在区间 上零点的个数为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点.【详解】由零点存在性定理，在 上至少各有一个零点，在区间 上零点
至少3个.
故选:.B
练习22．（2023·高三课时练习）已知函数 的图象是连续不断的，有如下的x，y
对应表：
x 0 1 2 3
2.5 0.8 0.7
则函数 在区间 上的零点至少有______个．
【答案】3
【分析】利用零点存在定理去判断函数 在区间 上的零点个数即可解决
【详解】函数 的图象是连续不断的，
由 ，可得函数 在区间 上至少有1个零点；
由 ，可得函数 在区间 上至少有1个零点；
由 ，可得函数 在区间 上至少有1个零点.
综上，函数 在区间 上的零点至少有3个
故答案为：3
练习23．（2022秋·广西南宁·高二统考开学考试）已知函数 ，则方程
在 内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由 变形，可设 ，则 ，分别在
与 用定义法求出 的单调性，结合零点存在定理判断即可
【详解】由 得： ，令 ，则
，
设 ，则 ，
当 时， ，则 ，故 在 内单调递减，
又 ，故 在 内只有一个零点；
当 时， ， ，故 在 内单调递增，
又 ，故 在 内只有一个零点；
综上， 在 内有两个零点，即方程 在 内有两个实数解.故选：C
练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，其中 ， 为
实数，则下列条件能使函数 仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】ACD
【分析】将 的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存
在性定理，判断零点个数.
【详解】由已知可得 的定义域为 .
对于A、当 时， ，
则 .
当 或 时， ;当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
因为 且 的图象连续不断，故 的图象与 轴有且只有一个交点，
故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于B、当 时， ，则 .
当 或 时， ;当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有两个交点，
故此时 有且只有两个零点，故该选项不合题意.
对于C、当 时， ，则 在 上恒成立，当且仅当 时
取等号，故 在 上单调递增，
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有一个交点，故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题
意.
对于D、当 时， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有一个交点，
故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题意.故选:ACD.
练习25．（2022秋·陕西宝鸡·高三统考期末）已知函数 的图像是一条连续不断的
曲线，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5 6
100 20 -5 8 -60 -200
则函数 在区间 上的零点至少有___________个．
【答案】3
【分析】计算 ， ， ，根据零点存在定理得到答
案.
【详解】根据表格知：
， ， ，
故函数至少在区间 上有1个零点，故至少有3个零点.
故答案为：
题型六 利用图象交点的个数判断零点个数
例11．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数
的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，分析可知函数 的零点个数即为函数 与
的图象的交点个数，数形结合可得出结果.
【详解】由 可得 ，作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，函数 与 的图象的交点个数为 ，
故函数 的零点个数为 .
故选：C.
例12．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程有__________个根.
【答案】
【分析】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后可得答案
【详解】 与 在同一直角坐标系中的图像如下：
所以方程 有 个根，
故答案为：
练习26．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知函数 ，若实数
，则函数 的零点个数为（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【答案】D
【分析】转化为 与 的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得
到答案.
【详解】函数 的零点个数即函数 与 的函数图象交点个数问
题，
画出 的图象与 ， 的图象，如下：
故函数 的零点个数为2或3.
故选：D练习27．（2023春·江西赣州·高三校考期中）函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】画出函数 和 的图象，根据函数图象得到答案.
【详解】画出函数 和 的图象，其中 ，如图,
由图可知，
当 时， ，两函数图象没有交点；
当 时，两函数图象有3个交点；
当 时， ，两函数图象没有交点，
综上，函数 和 的图象有3个交点，
所以，函数 零点的个数为3．
故选：C.
练习28．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数 的周期为2，当
时， ．如果 ，那么 的零点个数是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将问题 的零点问题转化为函数 与 的交点，分析出
的值域，由此判断出零点个数．
【详解】函数 的零点个数为函数 与 的图象的交
点的个数，
因为函数 的定义域为 ，
所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
当 时， ，
所以当 时， ．
又函数 的周期为2，所以 ．
当 时， ，所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
作函数 和函数 在区间 上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点,
所以函数 的零点个数为5.
故选：C.
练习29．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）已知函数 是 上的
偶函数，且满足 ，当 时， ，函数
，则关于 的方程 在区间 上的
实数根的个数为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2023
【答案】A
【分析】由 ，可得 ，进而得到 是周期为2的周期函
数，结合图象，可知 与 在 上有2个交点，进而得到在 上有
个交点，进而求解.
【详解】由函数 满足 ，可得 ，
所以 是周期为2的周期函数，
作出 的部分图象如图所示，
则关于 的方程 在区间 上的实数根的个数，
即 的图象在 上的交点个数，
由图可知 与 在 上有2个交点，
在 上有 个交点，
所以 与 在 上的交点的个数为2022个.
故选：A.练习30．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）（多选）设函数 ，则
（ ）
A．
B．当 时，
C．方程 只有一个实数根
D．方程 有 个不等的实数根
【答案】BCD
【分析】根据解析式可推导求得 ，知A错误；利用 可求得
时的解析式，知B正确；当 可知 是 的实数根，当 时，结
合周期性和 的解析式可知 无解，由此可知C正确；作出 与
的图象，由交点个数可确定方程根的个数，知D正确.
【详解】对于A， ，A错误；
对于B，当 时， ， ，B正确；
对于C，当 时，令 ，解得： ；
由B知：当 时， ，
由 解析式知：当 时， 的周期为 ， 当 时， ；
综上所述：方程 只有一个实数根 ，C正确；
对于D，当 时， ，则当 时， 恒成立；
作出 与 图象如下图所示，结合图象可知： 与 共有 个交点，
方程 有 个不等的实数根，D正确.
故选：BCD.
题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围
例13．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知幂函数 在 上单调递
增．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组求得 ，从而得到 ；
（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式求得结果.
【详解】（1） 为幂函数，且在 上单调递增， ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ， 在 上连续且单调递增，
，解得： ，
即 的取值范围为 .
例14．（2023春·上海青浦·高三统考开学考试）若关于 的方程 在 上
有解，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先将题意转化为函数 与 在 有交点，即可得到答案.
【详解】方程 在 上有解，等价于函数 与 在 有交点，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
练习31．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）已知函数 ，若
有两个零点，且 在 上单调递增，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据函数有两个零点得出 的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.
【详解】因为 有两个零点，所以 ，解得 或 ；
因为 在 上单调递增，所以 ；
综上可得实数m的取值范围为 .
故答案为： .
练习32．（2021秋·高三课时练习）若函数 的零点在区间(1,+∞)上，则
实数a的取值范围是____.
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合条件即得.
【详解】由题可知函数 在定义域上单调递增，
又函数 的零点在区间(1,+∞)上，
∴ ，即 .
故答案为： .
练习33．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）若方程 的一个根小于
1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________.【答案】
【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得.
【详解】∵方程 的一个根小于1，另一个根大于1，
令 ，则 ，
解得 ，所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
练习34．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）设常数 ，函数
，若函数 在 时有零点，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】令 ，方程转化为于 在 时有解，结合二次函数的性质可
求.
【详解】依题意有 在 时有实数根，
当 时显然不成立，故 ，
设 ，由 得 ，
方程等价于 在 时有解，
结合二次函数的性质可知 在 上单调递增，值域为 ，
所以 ，解得
则实数 的取值范围是 ·
故答案为：
练习35．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知方程 的两根
都大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．C． D． 或
【答案】B
【分析】根据方程的两根都大于2，分析 的图象特征列出不等式组
求解即可.
【详解】方程 的两根都大于2，则二次函数
的图象与 轴的两个交点都在 的右侧，
根据图象得：方程的判别式 ；当 时函数值 ；函数对称轴 .
即 ，解得 .
故选：B.
题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围
例15．（2023春·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期中）（多选）已知函数
有两个零点 ，则以下结论中正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．函数 有四个零点
【答案】BC
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断A；利用韦达定理计算判断B；利用二次函数
对称性判断C；举例判断D作答.
【详解】函数 对应的二次方程根的判别式 ， ，A错误；
由韦达定理知 ， ，显然 ，则 ，B正确；
因为 图象的对称轴为直线 ，则点 ， 关于该直线对称，C正确；
取 时，方程 的根为 ，此时 只有两个零点，D错误．
故选：BC
例16．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知 ，若
有三个不同的解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】探讨函数 的性质，求出 的取值范围，再结合方程解的意义把 表
示成 的函数，求出函数的值域作答.
【详解】当 时， 在 上单调递增，函数 的取值集合为 ，
当 时， ， ，当 时， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此函数 在 上单调
递增，在 上单调递减，
，于是当 时，函数 的取值集合为 ，且当 时，恒有 ，
由 有三个不同的解 ，且 ，得 ，且 ， 是方程
的不等实根，
由 得： ，则有 ，而
因此 ，由对勾函数知函数 在
上单调递减，
即有 ，所以 的取值范围是 .
故选：D练习36．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数 ，
若 有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知 时，函数 至多有一个零点，进而可得 时，要使
得 有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.
【详解】当 时， 单调递增且 ，此时 至
多有一个零点，
若 有三个零点，则 时，函数有两个零点；
当 时， ，故 ；
当 时，要使 有两个零点，
则 ，
所以 ，又 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
练习37．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知 ，则“ ”是“
有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据函数有2个零点，求参数 的取值范围，再判断充分，必要条件.【详解】若 有两个不同的零点，则 ，解得 或 ，所以“
”是“ 有两个不同的零点”的充分不必要条件.
故选：A
练习38．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ， ，若
存在2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目转化为函数 的图像与直线 有2个交点，画出图像，根据图
像知 ，解得答案.
【详解】 存在2个零点，故函数 的图像与直线 有2个
交点，
画出函数图像，如图，平移直线 ，可以看出当且仅当 ，即 时，
直线 与函数 的图像有2个交点.
故选：D
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有3个不同的零点
分别为 ，且 成等比数列，则实数a的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】利用三次函数的性质及等比中项，结合函数值的定义即可求解.
【详解】设 ，则常数项为： ，
因为 成等比数列，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
把 代入 ，所以 ，解得 ．
故选：D.
练习40．（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（多选）已知函数
，若函数 恰有3个零点，则实数 的值可以为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【分析】将问题转化为方程 恰有3个实数根，再讨论 时可得有1个根，进而
当 时，方程 有2个实数根，再构造函数 ，求导分析单调
性与最值即可.
【详解】令 ，解得 ，故问题转化为方程 恰有3个实数
根.
当 时，令 ，解得 ，
故当 时，方程 有2个实数根.
令 ，即 ，显然 不是该方程的根，
.令 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故当 时， 有极小值6，而 时， ，当 ，且 时，
，
故实数 的取值范围为 .
故选：CD
题型九 求零点的和
例17．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，
且当 时， ，则函数 的所有零点之和为______.【答案】18
【分析】判断出 的对称性、周期性，画出 与 的图象，结合图象
求得 的所有零点之和.
【详解】∵ 满足 ，则 关于直线 对称，
又∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
∴ 是以4为周期的周期函数，
对 ，可得 ，则 ，
∴ 关于点 对称，
令 ，则 ，
可知： 与 均关于点 对称，如图所示：
设 与 的交点横坐标依次为 ，
则 ，
故函数 的所有零点之和为 .
故答案为：18.
例18．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则函数 的所有零点之和为___________．
【答案】
【分析】画出函数 与 图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.【详解】令 ，即 ，故函数 的零点就是函数 与 图
象交点的横坐标，
当 时， ，函数 与 在 上图象如图所示：
设 与 图象交点的横坐标分别为 ，
由对称性可知， ， .
由 ，结合奇偶性得出 ，即
解得 ，即 .
故答案为：
练习41．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）函数 ，则函数
的所有零点之和为（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
【答案】D
【分析】令 ，根据 ，求得 或 ，再根据 和 ，结合
分段函数的解析式，即可求解.
【详解】令 ，
由 得 或 ，所以 或 ，
当 时， 或 ，
当 时，则 或 ，解得 ，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：D.
练习42．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）定义在R上的奇函数 ，当 时，
，则关于x的函数 的所有零点之
和为________．（结果用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】利用奇函数的性质画出 的图象，函数 的所有零
点之和可以转化 与 图象的交点的横坐标之和，利用函数的对称性和对数函
数的运算性质，求解即可.
【详解】由奇函数的性质，画出 的图象如下图，
令 可得
函数 的所有零点之和可以转化 与 图象的交点的
横坐标之和，
因为 ，所以 ，
由图可知， ，
当 时， ，
所以当 时， ， ，
又因为 是奇函数，所以当 时， .
所以 ，解得： ，
所以函数 的所有零点之和为：.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题关键点是先根据解析式作出函数 的图象，函数
的零点转化为函数 与 的交点，由对称性可得交
点之和.
练习43．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期末）设方程
的实根 ，其中k为正整数，则所有实根的和为______．
【答案】4
【分析】画出 的图象，由图象的特征可求.
【详解】令 ， ，
所以函数 图象关于 轴对称，
令 ，则 的图象关于直线 对称，
因为方程 的实根，可以看作函数 的图象与直
线 的交点横坐标.
由图可知方程 有4个实根，且关于直线 对称.
所以 .
故答案为：4.
练习44．（2023·江西宜春·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，满足
，当 时， ，则 在区间
上所有零点之和为__________.
【答案】4044
【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由 时函数的解析式可作出函数
的图象，原问题可转化为 与 交点横坐标问题，由对称性求和即可.【详解】由 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，
所以 ，则 的周期是2，
且 得 是其中一条对称轴，
又 时 ，于是 图象如图所示，
又函数 零点，即为 与 的交点的横坐标，
由图知：交点关于 对称，每个周期都有2个交点，
所以 、 各有 个周期，故各有 个交点，它们两两关于 对称，
所以零点之和为 .
故答案为：
练习45．（2023秋·福建宁德·高三统考期末）若 ，则 的值域
为______，关于x的方程 恰有4个不同的解a，b，c，d，则 的取值
范围为______.
【答案】
【分析】先根据函数单调性得到 的值域，画出 的图像，不妨设
，列出方程，求出 ， ，由基本不等式求出 和 的取
值范围，进而求出答案.
【详解】当 时， .当 时， .
∴ 的值域为 .画出 的图象，如下：
故当 时， 恰有4个不同的解，
不妨设
由 可得：
，
∴ ， ，
∵ ，
，
当且仅当 ， 时取等号，
∵ ，故两个不等式等号均取不到，
∴ ，
∴ .
故答案为： ， .
题型十 镶嵌函数的零点问题
例19．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若
有6个不同的零点分别为 ， ， ， ， ， ，且
， ，若 ，则m的取值范围是______；
若 ，则 的取值范围是______；【答案】
【分析】画出函数 的图象，由图象得出 且 ，讨论 ，
，结合图象求解即可.
【详解】当 时， ，由对勾函数的单调性可知，函数 在
上单调递减，在 上单调递增，且 .
函数 的图象如下图所示：
因为 有6个不同的零点，所以
有6个不同的实数根，解得 或 .
因为 ，所以 且
若 ，则 ，
，联立解得 .
若 时，
联立解得 ，
则 .
故答案为： ；
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由 ，结合图象，确定 且 ，再由 的值域
确定 的范围.
例20．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）已知函数 ，若关
于 的函数 有6个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的图象判断 的解的情况，从而得出关于 的方程 的
根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组解出 的范围.
【详解】作出 的函数图象如下：
设 ，
则当 或 时，方程 只有1解，
当 时，方程 有2解，
当 时，方程 有3解，
当 时，方程 无解.
因为关于 的函数 有6个不同的零点，
所以关于 的方程 在 上有两解，
所以 ，解得 .
故选：B．
练习46．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则方程 的
实根个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题意画出函数 的图象，由方程 ，得 或
，再数形结合即可求解．
【详解】由 ，
则可作出函数 的图象如下：
由方程 ，得 或 ，
所以方程 的实根个数为3．
故选：A．
练习47．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，关于 的方程
有 个不等实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为 在 上有两个不同
的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果.【详解】作出函数 的图象如图所示，
函数 的图象与函数 的图象最多三个交点，且 有 个实数根时，
，
有 个不等实数根等价于一元二次方程
在 上有两个不同的实数根，
，解得： 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
练习48．（2021秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）设定义域为 的函数
则关于 的函数 的零点的个数为__.
【答案】7
【分析】令 解得 或 ，作出 的简图，由数形结合判
断即可.
【详解】令 ，得 或 .
作出 的简图， ，由图象得当 或 时，分别有3个和4个交点，
故关于 的函数 的零点的个数为 7.
故答案为：7.练习49．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数 ，则方程
的实数解的个数至多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据复合方程问题，换元 ，作函数图象分别看内外层分别讨论方程
根的个数情况，即可得答案.
【详解】设 ，则 化为 ，
又 ，所以 ， ，
如图为函数 的大致图象：
由图可得，当 时， 有两个根 ，即 或 ，此
时方程 最多有5个根；
当 时， 有三个根 ，即 或
或 ，此时方程 最多有6个根；
当 时， 有两个根 ，即 或 ，此时方程
有4个根；当 时， 有一个根 ，即 ，此时方程 有2个根；
综上，方程 的实数解的个数至多是6个.
故选：B.
练习50．（2023·天津·校联考二模）已知函数 ，
，若函数 至少有4个不同的零点，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】换元 ， ，由 得 ，因为函数有四
个零点，所以方程 有且仅有两个不相等的根 ，且 ，因为方程
的-个解为 ，故按照 与 的大小关系，分三种情况讨论得出 的取值范
围即可.
【详解】设 ，因为 至少有4个不同的零点，所以方程 有且仅有
两个不相等的根 ，且由 得 ，故 .
当 时，由 得 .
①若 ，则 ，此时 有3根 ，
共5个零点，故 有5个零点，满足题意；
②若 ，则 ，所以 ，方程 有且仅有一个正根 与一个
负根 ，此时 共4个零点，故 有4个零点，满足题意；
③若 ，则 ，此时 必有两正根 ，且 ，此时满足 ，即 ，
解得 .
综上有 .
故答案为：
