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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.3垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•临沭县模拟）如图 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ，且 ， ，则
的半径为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，根据垂径定理得到
，再利用勾股定理得到 ，然后解方程即可．
【解析】连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，
，
，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径为 ．故选： ．
2．（2021•碑林区校级模拟）如图， 经过圆心 ， 于 ，若 ， ，则 所
在圆的半径为
A．3 B．4 C． D．
【分析】连接 ，设弧 所在圆的半径为 ，则 ， ，根据垂径定理求出 ，
再在 中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解析】如图，连接 ，
设弧 所在圆的半径为 ，则 ， ，
经过圆心 ， 于 ， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
故选： ．3．（2021秋•惠城区校级期中）如图， 的直径 垂直弦 于点 ，且 ， ，则 的
长为
A． B．4 C．6 D．
【分析】根据勾股定理求出 ，再根据垂径定理解答即可．
【解析】 ， ，
，
在 中， ，
，
，
故选： ．
4．（2021秋•江汉区期中）如图， 的半径为5，弦 长为8， 为弦 上动点，则线段 长的取
值范围是
A． B． C． D．【分析】过点 作 于 ，连接 ，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 ，根据题意
解答即可．
【解析】过点 作 于 ，连接 ，
则 ，
在 中， ，
线段 长的取值范围是 ，
故选： ．
5．（2021•邛崃市模拟）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ．若 ， 的半径是
5，则弦 的长是
A．8 B．4 C．10 D．
【分析】连接 ，由垂径定理得 ，再由勾股定理得 ，即可求解．
【解析】连接 ，如图所示：
是 的直径，弦 ，
，
的半径是5，
，
，
，
故选： ．6．如图，在圆 中，弦 ，点 在 上移动，连接 ，过点 做 交圆 于点 ，则
的最大值为
A． B．2 C． D．
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 ，利用垂线段最短得到当 时， 最小，根据垂径定
理计算即可．
【解析】如图，连接 ，
，
，
，
当 的值最小时， 的值最大，
时， 最小，此时 、 两点重合，
，
即 的最大值为2，
故选： ．7．（2020秋•喀什地区期末）如图， 的半径为13，弦 ， 是弦 上的一个动点，不在
取值范围内的是
A．4 B．5 C．12 D．13
【分析】过 点作 于 ，连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，则利用勾股定理
可计算出 ，然后利用垂线段最短得到 的范围，从而可对各选项进行判断．
【解析】过 点作 于 ，连接 ，如图，
，
，
在 中， ，
是弦 上的一个动点，
．
故选： ．
8．（2021•许昌二模）在 中，直径 ，弦 于点 ，若 ，则 的周长
为A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理求出 ，根据垂径定理求出 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
的周长 ，
故选： ．
9．（2021•郧西县模拟）如图， 是 的直径，弦 于 ，连接 ，过点 作 于 ，
若 ， ，则 的长度是
A． B． C． D．
【分析】连接 、 ，根据垂径定理求出 ，根据三角形中位线定理求出 ，根据勾股定理求出
，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】连接 、 ，
， ，，
，
，
， ，
，
由勾股定理得： ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
故选： ．
10．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图
画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2．已知圆心
在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则
点 到弦 所在直线的距离是A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
【分析】连接 交 于 ，连接 ，根据垂径定理得到 ，根据勾股定理求出 ，结合图
形计算，得到答案．
【解析】连接 交 于 ，连接 ，
点 为运行轨道的最低点，
，
（米 ，
在 中， （米 ，
点 到弦 所在直线的距离 米，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•如皋市二模）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ．若 ， ，
则 的半径长为 1 3 ．
【分析】连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ，先根据垂径定理得到 ，再利
用勾股定理得到 ，然后解方程即可．【解析】连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ，
，
，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径长为13．
故答案为13．
12．（2021•薛城区模拟）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度
为 ，水面宽 为 ，则输水管的半径为 5 ．
【分析】由垂径定理可知 ，设 ，则 ，在 中，再利用勾股定理即可
求出 的值．
【解析】由题意得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
即输水管的半径为 ，
故答案为：5．
13．（2019秋•秦淮区期末）如图， 是一个油罐的截面图．已知 的直径为 ，油的最大深度
，则油面宽度 为 4 ．
【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．
【解析】连接 ，
由题意得， ， ，
，
，
，
故答案为：4．
14．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让
小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端 ，量的弧 的中心 到 的距离 ，
，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 ．【分析】先根据垂径定理的推论得到 过圆心， ，设圆心为 ，连接 ，如图，设
的半径为 ，则 ，利用勾股定理得到 ，然后解方程即可．
【解析】 点是 的中点， ，
过圆心， ，
设圆心为 ，连接 ，如图，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，解得 ，
所以圆形瓦片所在圆的半径为 ．
故答案为4．
15．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图， 的半径为 ，点 固定在 上，连
杆 定长，点 随着 的转动在射线 上运动．在一个停止状态时， 与 交于点 ，测得
， ，此时 长为 ．
【分析】作 于 ，连接 ，根据垂径定理得到 ，即可得到 ，利用
勾股定理即可求得结果．
【解析】作 于 ，连接 ，
，，
，
；
故答案为 ．
方法二：
解：延长 交圆于 ；
， ，
；
由割线定理，得： ；
设点 到圆心的距离是 ，则有：
，
解得 ．
故 长为 ．
故答案为 ．
16．（2020秋•南平期末）如图， 是 的直径，弦 于点 ，且 ，则 的半径为 ．
【分析】根据垂径定理得出 ，再由勾股定理得出 ，代入求解即可．
【解析】 ，
，
，
，
， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即： ，
解得： ，
的半径为： ，
故答案为： ．
17．（2021•盐池县一模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，
如图1，点 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心，
为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的
最大深度为 2 ．【分析】过 点作半径 于 ，如图，由垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，
然后即可计算出 的长．
【解析】过 点作半径 于 ，如图，
，
在 中， ，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ．
18．（2021•永嘉县模拟）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由 和 围成，
且点 也在 所在的圆上，已知 ，隧道的最高点 离路面 的距离 ，则该道路的路
面宽 ， ；在 上，离地面相同高度的两点 ， 装有两排照明灯，若 是 的中
点，则这两排照明灯离地面的高度是 ．【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到 ，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求
得 ，进而求得 ，根据勾股定理求得 ，从而以及垂径定理求得 ，利用勾股定理求得 ，通
过证得 求得 ，进一步即可求得 ．
【解析】作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，则 是圆心，连接 ，
，
，
圆的半径为 ，
，
，
连接 、 交于 ，作 于 ， 于 ，
， ，
，
，
，
是 的中点，
垂直平分 ，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为 ， ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•防城港期末）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．截面圆的直径为 ，若油
面的宽 ，求油槽中油的最大深度．
【分析】连接 ，过点 作 交 于点 交 于 ，由垂径定理求出 的长，再根据勾股
定理求出 的长，进而可得出 的长．【解析】过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ．
中， ，
，
，
油槽中油的最大深度 ．
20．（2020秋•房县期中）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽 40米，拱高10米，
今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
【分析】设桥拱所在的圆心为 ，正常水位时的水面为 ，上涨后的水面为 ，过 作 于 ，
交 于 ．连接 、 ，则 ，先由垂径定理得 （米 ， ，设
米，则 米，再根据勾股定理得 ，解得： ，则 米，在
中， （米 ，由勾股定理求出 （米 ，则 （米 ．
【解析】如图，设桥拱所在的圆心为 ，正常水位时的水面为 ，上涨后的水面为 ，
过 作 于 ，交 于 ．连接 、 ，
则 ，（米 ， ，
设 米，则 米，
在 中，根据勾股定理得 ，
解得： ，则 米，
在 中， （米 ，
（米 ，
（米 ，
即水位到达警戒水位时水面宽30米．
21．（2020秋•玄武区期中）如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度 为 ，点 是 所在圆的
圆心， 的半径为 ，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
【分析】由垂径定理得 ，设 ，则 ，在 中，根据
勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】如图所示：过 作 交 于 ，垂足为 ，则 ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
即桥拱的高度为 ．
22．（2019秋•东城区校级期中）“两龙“高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，
是一个单心圆曲隧道的截面，若路面 宽为8米，净高 为8米，求此隧道单心圆的半径 ．
【分析】因为 为高，根据垂径定理， 平分 ，则 ，在 中，有
，进而可求得半径 ．
【解析】 为高，
根据垂径定理： 平分 ，
又 路面 宽为8米，
则有： 米．
设圆的半径是 米，
在 中，有 ，
即： ，
解得： ，
即此隧道单心圆的半径 的长度是5米．23．（2021•和平区一模）如图一面墙上有一个矩形门 现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门，
在圆内接矩形 中， ， ．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少 ？
（2）求要打掉墙体的面积是多少 ？
， ，结果精确到
【分析】（1）先证得 是直径，利用勾股定理求出 的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积 ，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．
【解析】（1）连接 ，如图所示：
四边形 是矩形，
， ，
是直径， ，
圆弧形门所在圆的半径为 ；
（2）取圆心 ，连接 ，
由（1）可知， ，
是正三角形，
， ，，
要打掉墙体的面积
，
要打掉墙体的面积约为 ．
24．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度 米，拱高 米
为 的中点， 为弧 的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩 支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧 所在的圆心为 ， 为弧 的中点， 于 ，延长 经过 点，设
的半径为 ，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出 的长，再求出 的长即可．
【解析】（1）设弧 所在的圆心为 ， 为弧 的中点， 于 ，延长 经过 点，设
的半径为 ，在 中， ，
，
解得 ；
（2） 于 ，则 ， ，
在 中， ，
， （米 ，
在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
