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专题3.3 平面直角坐标系（知识讲解）
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
特别说明：：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电
影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x
轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 y轴或纵轴，取向上方向为正方向，
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b
分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图
2.
特别说明：：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意
一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有
序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
特别说明：：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，
第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、
第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没
有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
特别说明：：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标
平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、写出平面直角坐标系中点的坐标
1．在平面直角坐标系中，已知点 ，试分别根据下列条件，求
出点 的坐标．
（1）点 在 轴上；
（2）点 横坐标比纵坐标大3；
（3）点 在过 点，且与 轴平行的直线上．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）让纵坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；
（2）让横坐标-纵坐标=3得m的值，代入点P的坐标即可求解；
（3）让横坐标为-5求得m的值，代入点P的坐标即可求解．
解：（1）∵点 在 轴上，
∴令2m+4=0，解得m=-2，
则 P点的坐标为（-3，0）；
（2）∵点 横坐标比纵坐标大3，
∴令m-1-（2m+4）=3，解得m=-8，
则P点的坐标为（-9，-12）；
（3）∵点 在过 点，且与 轴平行的直线上，
∴令m-1=-5，解得m=-4．
则 P点的坐标为（-5，-4）．
本题考查了点的坐标，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；平行于y轴的直线
上的点的横坐标相等．
举一反三：
【变式1】已知点M(2a﹣5,a﹣1),分别根据下列条件求出点M的坐标.
(1)点N的坐标是(1,6),并且直线MN∥y轴；
(2)点M在第二象限,横坐标和纵坐标互为相反数.【答案】(1) (1,2)；(2) (﹣1,1).
【分析】
（1）根据直线MN∥y轴，可知MN的横坐标相同，即可列出方程解出a的值；
（2）点M横坐标和纵坐标互为相反数，故相加为0，即可求出a的值，即得M的坐
标.
解：(1)∵直线MN∥y轴,
∴2a﹣5=1,
解得a=3,
∴a﹣1=3﹣1=2,
∴点M的坐标为(1,2)；
(2)∵横坐标和纵坐标互为相反数,
∴2a﹣5+a﹣1=0,
解得a=2,
∴2a﹣5=2×2﹣5=﹣1,
a﹣1=2﹣1=1,
∴点M的坐标为(﹣1,1).
【点拨】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，熟知坐标系内的坐标特点是解题的关
键.
【变式2】如图，△ABC在正方形网格中，若A（0，3），按要求回答下列问题
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出B和C的坐标；
（3）计算△ABC的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）B（﹣3，﹣1）C（1，1）；（3）5.【分析】
（1）根据点A的坐标为（0，3）进而得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐
标系；（2）根据坐标系直接得出点B和点C的坐标；（3）△ABC的面积等于长为4，宽
为4的正方形的面积减去直角边长为4，2的直角三角形的面积，减去直角边长为3，4的
直角三角形的面积，减去直角边长为1，2的直角三角形的面积.
解：（1）所建立的平面直角坐标系如图所示：
（2）点B和点C的坐标分别为：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3） ．
类型二、求点到坐标轴的距离
2．已知点 ，解答下列各题．
（1）点 在 轴上，求出点 的坐标．
（2）若点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等，求 的值．
【答案】（1）P（-12，0）；(2) ．
【分析】
（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据点P到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，由点 在第二象限，
，化去绝对值得 解方程求出 ，再代入求代数
值可得．解：（1）点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
P（-12，0）；
(2) 点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等， ，
， ，
，
，
．
【点拨】本题考查了点的坐标与象限，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐
标等于零；点在象限注意横纵坐标的符号，利用到 轴、 轴的距离相等构造方程是解题
关键．
举一反三：
【变式1】已知点 ，解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标．（2）点Q的坐标为 ，直线 轴；求出点P的坐标．
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）2021
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征：纵坐标为0，列出方程即可求出结论；
（2）根据与y轴平行的直线上两点坐标关系：横坐标相等、纵坐标不相等即可求出结
论；
（3）根据题意可得：点P的横纵坐标互为相反数，从而求出a的值，即可求出结论．
解：（1）若点P在x轴上，
∴a＋5=0
解得：a=-5
∴ ；
（2）∵点Q的坐标为 ，直线 轴
∴
解得：a=3
∴ ；
（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等
∴
解得：a=-1
∴ = =2021
【点拨】此题考查的是根据题意，求点的坐标，掌握x轴上点的坐标特征、与y轴平
行的直线上两点坐标关系和点到x轴、y轴的距离与坐标关系是解题关键．
【变式2】如果点B 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求点B的坐
标．
【答案】点B的坐标为（-4，-4）或（-2，2）．【分析】根据点B 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，坐标平面内的
点到两轴的距离实际上就是该点两坐标的绝对值即可得出答案．
解：根据题意得，m-1=3m+5或m-1=-（3m+5），
解m-1=3m+5，得m=-3，
∴m-1=-4，点B的坐标为（-4，-4），
解m-1=-（3m+5），得m=-1，
∴m-1=-2，点B的坐标为（-2，2），
∴点B的坐标为（-4，-4）或（-2，2）．
【点拨】本题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到
y轴的距离是横坐标的绝对值．
类型三、判断点所在的象限
3 请说出以下几个点在坐标轴的哪部分上.(2, 0)、(0, 4)、(1, 0)、(0,3)
【分析】在横轴上的点纵坐标等于0，在纵轴上的点横坐标等于0.
解：因为，在横轴上的点纵坐标等于0，在纵轴上的点横坐标等于0.
所以，(2, 0)在x轴负半轴，(0, 4)在y轴正半轴，(1, 0)在x轴正半轴，(0,3)在y轴负
半轴．
【点拨】熟悉坐标轴上点的坐标特点.
【变式1】在给出的平面直角坐标系中描出点A(－3，4)，B(－3，－3)，C (3，－3)，
D(3，4)，并连接 AB ，BC，CD ，AD．
【分析】A点在第二象限，B点在第三象限，C点在第四象限，D点在第一象限，然
后逐次连接四个顶点即可．
解：根据题意，得出下图：．
【点拨】本题考察了根据坐标，在平面直角坐标系中画点，掌握四个象限的点的坐标
特征是本题的关键．
【变式2】如果│3x+3│+│x+3y－2│＝0，那么点P(x，y)在第几象限?
【答案】二
解：试题分析：由题意分析可知，│3x+3│+│x+3y－2│＝0，则需要满足
位于第一象限的点，纵横坐标都是正数；第二象限，横坐标为负，纵坐标为正；第三
象限，纵横坐标都是负，第四象限，横坐标为正，纵坐标为负．所以该点在第二象限
考点：象限坐标
点评：本题属于对各个象限的基本坐标公式的理解和运用
类型四、已知点的象限求参数
4．已知点 在 轴上，求 的值以及点 的坐标．
【答案】 ， 或
【分析】根据x轴上点纵坐标等于零，可得答案．
解：∵点 在 轴上，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，∴ 点的坐标为 ；
当 时， ，
∴ 点的坐标为 ．
即 ．点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了点的坐标，利用x轴上点纵坐标等于零得出方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(2a＋6，a－3)．
(1)当点P的坐标为(4，－4)时，求a的值；
(2)若点P在第四象限，求a的取值范围．
【答案】(1) a＝－1；（2）－3＜a＜3.
整体分析：
（1）由点P的坐标为(4，－4)，列方程求解；（2）根据第四象限内的点的横坐标为
正，纵坐标为负列不等式组求a的范围.
解：(1)∵点P的坐标为(4，－4)，
∴2a＋6=4
解得a＝－1.
(2)∵点P(2a＋6，a－3)在第四象限，
∴
解得－3＜a＜3.
【变式2】已知点P（a+1，2a﹣1）在第四象限，求a的取值范围．
【答案】﹣1＜a< ．
【分析】根据点在第四象限内的特点：横坐标为正，纵坐标为负，可得出关于a的不
等式组，求出不等式组的解集即可得到答案.
解： ∵点P(a+1，2a﹣1)在第四象限，∴ ，
解得：﹣1＜a＜ ，
即a的取值范围是﹣1＜a＜ ．
【点拨】本题考查点(x，y)在每个象限内x，y的取值范围.
（1）当点(x，y)在第一象限时，x＞0，y＞0；
（2）当点(x，y)在第二象限时，x＜0，y＞0；
（3）当点(x，y)在第三象限时，x＜0，y＜0；
（4）当点(x，y)在第四象限时，x＞0，y＜0.
类型五、坐标系中描点
5．在平面直角坐标系中，A、B点的位置如图所示；
（1）写出点A、B两点的坐标；
（2）若C(-3，-4)、D(3，-3)，请在图示坐标系中标出C、D两点；
（3）求出A、B、C、D四点所形成的四边形面积
【答案】（1）A(1，2)，B(-3，2)；（2）见解析；（3）28
【分析】
（1）根据点的坐标的定义直接得出答案即可；（2）根据点的坐标的定义，在平面直角坐标系内画出点C，D即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去两个直角三角形的面积可计算出四边形ABCD的面
积．
解：（1）A（1，2）、B（-3，2）；
（2）如图所示；
（3）四边形ABCD的面积=6 28；
【点拨】本题考查了点的坐标以及点的意义，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的
位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．
(1,1)，(3,1)，(1,3)，(1,1)；
(－1,3)，(－1,5)，(－3,3)，(－1,3)；
(－5,1)，(－3，－1)，(－3,1)，(－5,1)；
(－1，－1)，(1，－1)，(－1，－3)，(－1，－1)．
(1)观察所得的图形，你觉得它像什么？
(2)求出这四个图形的面积和．
【答案】画图见解析； (1)风车； (2)8.
【分析】
1)先描出相应的点，再连接成图形，根据连接的图象就可以得出结论．
(2)根据三角形的面积公式就可以求出每个三角形的面积．就可以得出结论．
解：(1)由题意画出图形，得
通过观察图形可以得出这是四个全等的等腰直角三角形，它们绕(－1,1)这点顺时针旋
转90°，180°，270°形成的图形．
(2)由题意，得4×[ ×(2×2)]＝8.
答：这四个图形的面积和为8.
【点拨】此题主要考查直角坐标系的描点与面积求解，解题的关键是正确描出各点.
【变式2】如图，（1）写出平面直角坐标系中，点M、N、L、O、P的坐标；
（2）在图中画出点A（0，4），B（4，2），C（—3.5，0），D（—2，—3.5）．【答案】（1）M（2，3），N（—3，2），L（0，—2），O（0，0），P（2，—
2.5）；（2）详见解析.
【分析】
（1）依据平面直角坐标系中各点的位置，即可得到点M、N、L、O、P的坐标．
（2）根据点的坐标描出各点即可；
解：（1）M（2，3），N（—3，2），L（0，—2），O（0，0），P（2，—2.5）；
（2）A、B、C、D的位置如图所示．
【点拨】本题考查了点的坐标，正确的在平面直角坐标系中描出个点，利用点的坐标
表示方法：（横前，纵后）是解题的关键．
类型六、坐标与图形
6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点
是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（ ，5），（ ，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
⑶写出点B′的坐标．【答案】⑴⑵如图，⑶B′(2,1)
【分析】
（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
解：（1）如图；（2）如图；
（3）点B′的坐标为（2，1）．举一反三：
【变式1】如图，已知在平面直角坐标系中，S =24，OA=OB，BC =12，求三
三角形ABC
角形ABC三个顶点的坐标.
【答案】A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【分析】
首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后
写坐标的时候注意点的位置．
解：
∴OC=8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【点拨】写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（﹣1，
2），且 ．
（1）求a，b的值；
（2）y轴上是否存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求点M的坐
标．【答案】（1）a=－2，b=3；（2）M(0，－5)或M(0，5)．
【分析】
（1）根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据点A、B的坐标求出
AB，再根据点C的坐标求出CT、CS，然后根据三角形的面积求出OM，再写出点M的坐
标即可．
解：（1）∵ ，
又∵|2a＋b＋1|≥0，（a＋2b−4）2≥0，
∴|2a＋b＋1|＝0且（a＋2b−4）2＝0，
∴ ，
解得 ，
即a＝−2，b＝3；
（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．
∵A（−2，0），B（3，0），
∴AB＝5，
∵C（−1，2），
∴CT＝2，CS＝1，
∵△ABC的面积＝ AB•CT＝5，
∴要使△COM的面积＝ △ABC的面积，则△COM的面积＝ ，
即 OM•CS＝ ，
∴OM＝5，
所以M的坐标为（0，5）或(0，-5)．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解二元一次方程组，（1）熟练
掌握非负数的性质列出方程组是解题的关键，（2）列方程求出OM的长是解题的关键．
类型七、点坐标的规律
6．已知点 ．
（1）当点 在 轴上时，点 的坐标为；
（2）点 的坐标为 ，且直线 轴，求点 的坐标．
（3）点 到 轴、 轴的距离相等，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3）点 的坐标为 或
【分析】
（1）根据在x轴上的点，纵坐标为0，可以求出a的值，进而求出点M的坐标；
（2）根据直线 MN//x 轴，得到纵坐标相等，可以求出a的值，进而求出点M的坐标；
（3）点 到x轴、y 轴的距离相等，得到点M的横坐标，纵坐标相等，或者互为相反
数，可以求出a的值，进而求出点M的坐标．
解：（1）∵点M在x轴上
∴a+6= 0
∴a=-6，3a-2= -18-2=-20，
∴点M的坐标是(- 20，0)；
(2)∵直线MN // x轴，a+6= 5，
解得a=-1，3a-2=3×(-1)- 2=-5，
所以，点M的坐标为(-5，5).
（3）∵点 到 轴、 轴的距离相等．∴ 或 ，
解得 或 ．
∴ 或 ， ．
∴点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是
熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距
离相等的点的坐标特征．
举一反三：
【变式1】如图，在直角坐标系中，长方形 的三个顶点的坐标为 ，
， ，且 轴，点 是长方形内一点（不含边界）.
（1）求 ， 的取值范围.
（2）若将点 向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点 ，若点 恰好与点
关于 轴对称，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据A,B两点的坐标可以确定P点横坐标的取值范围，根据A,D两点坐标可以确定P点纵坐标的取值范围，从而 ， 的取值范围可求.
（2）根据点P的坐标和平移得到Q的坐标，根据矩形得到C的坐标，然后利用点
恰好与点 关于 轴对称时横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求出答案.
解：（1）∵ ， ， ，且 是长方形 内一点，
∴ ， .
∴ .
（2）由题意可得，点 的坐标为 .
∵点C的横坐标与B相同，纵坐标与D相同
∴
∵点 与点 关于y轴对称，
∴ ， .
∴ .
∴ ， .
【点拨】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，掌握坐标系中点的坐标的特征是解题
的关键.
【变式2】已知点M的坐标为(a-6，3a+1)，请分别根据下列条件，求出点M坐标
