文档内容
专题 3.8 抽象函数问题
题型一 抽象函数的定义域
题型二 抽象函数的值域
题型三 求抽象函数的解析式
题型四 抽象函数的奇偶性
题型五 抽象函数的周期性
题型六 抽象函数求解不等式
题型一 抽象函数的定义域
例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数 的定义
域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ，则函
数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数 的定义域为 ，设函数
，则函数 的定义域是______.
练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为____________.
练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型二 抽象函数的值域
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对任意 ，都有 ，当
， 时， ，则函数 在 ， 上的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
例4．（2021·全国·高一专题练习）函数 的定义域为 ，且对任意 ， 都
有 ，且 ，当 时，有 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断 的单调性并加以证明；
（3）求 在 ， 上的值域.
练习6．（2022·全国·高三专题练习） 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则 的值域为_____________．
练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数 的定义域是 ，值
域为 ，则值域也为 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
练习8．（2022·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，值域为R，则（ ）
A．函数 的定义域为R
B．函数 的值域为R
C．函数 的定义域和值域都是R
D．函数 的定义域和值域都是R
练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数
的定义域是 ，值域为 ，则下列四个函数① ；② ；
③ ；④ ，其中值域也为 的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数 的值域是
，则函数 的值域是________.
题型三 求抽象函数的解析式
例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为______.
例6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
练习11．（2023秋·江苏南京·高三统考期末）（多选）已知函数 ，对于任意
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
练习12．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 满足以下条件：①在区间
上单调递增；②对任意 ， ，均有 ，则 的一个解
析式为______．
练习13．（2019秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数 满足：
①对任意的 ，都有 ；
②当 时， .
（1）求证： ；
（2）求证：对任意的 ，都有 ；
练习14．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足 ，则f（x）可以
是___．（举出一个即可）
练习15．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件
“①函数 为增函数，② ”的一个函数 _____．题型四 抽象函数的奇偶性
例7．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知 是定义域为 的奇函数，
是定义域为 的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数 ，满足 ，
都有 ．则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 为偶函数
练习16．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数 对任意实数 ， 都满足
，且 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D．
练习17．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知定义在 上的
函数 满足 ， ， ，且当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数但不是偶函数 B． 是偶函数但不是奇函数
C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既不是奇函数也不是偶函数
练习18．（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在 上的非常数函数
满足 ，则（ ）
A． B． 为奇函数 C． 是增函数 D． 是周期函数练习19．（2022秋·高三单元测试）若定义在R上的函数 满足：对任意 ，有
，则下列说法中：① 为奇函数；② 为偶函数；
③ 为奇函数；④ 为偶函数.一定正确的是_________________.
练习20.（2023春·广东广州·高三统考开学考试）（多选）若定义在 上的函
数 满足： ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 抽象函数的周期性
例9．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若定义 上的函
数 满足：对任意 有 若 的最
大值和最小值分别为 ，则 的值为（ ）
A．2022 B．2018 C．4036 D．4044
例10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）（多选）已知定义域为 的函数 对任意
实数 都有 ，且 ，则以下结论一定正确的有
（ ）
A． B． 是偶函数
C． 关于 中心对称 D．
练习16．（2023·河南开封·统考三模）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习17．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 ________．
练习18．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若
为偶函数且 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
练习19．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数
满足 ，且函数 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
练习20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对
任意x，y满足 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
题型六 抽象函数求解不等式
例11．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知定义在 上的函数 不恒等于零，
同时满足 ，且当 时， ，那么当 时，下列结论不
正确的为（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·高三课时练习）已知 是定义在 上的减函数，且对 ，
，若 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
练习21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知函数
的图象如图所示，则不等式 的解集为______．
练习22．（2022秋·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为
．若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为_________．
练习23．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知定义域为R的奇函
数 在区间 上为严格减函数，且 ，则不等式 的解集为
___________.
练习24．（2022秋·甘肃兰州·高三西北师大附中校考期中）已知偶函数 在 上
单调递减，若 ，则实数 的取值范围为___________.
练习25．（2022秋·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）若定义域为 的奇函数 在
上单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
