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专题3.8 函数与方程
新课程考试要求 理解函数零点的概念.
培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例3.4.5等）、逻辑推理（例5.6）、数据分
核心素养
析（例3.4）、直观想象（例2.7--11）等核心数学素养.
1．分段函数与函数方程结合；
2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.
考向预测
3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，
或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.
【知识清单】
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连
续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
【考点分类剖析】
考点一：求函数的零点
【典例1】（2021·全国高三其他模拟）设 ，定义符号函数 ，则方程
的解是（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或 或【答案】C
【解析】
根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.
【详解】
解：当 时，方程 可化为 ，
化简得 ，解得 ；
当 时，方程 可化为 ，无解；
当 时，方程 可化为 ，
化简得 ，解得 （舍去）或 ；
综上，方程 的解是1或 .
故选：C.
x ,x�1
f(x)
【典例2】（2020·上海高三三模）函数 (x2)2,x1 ，如果方程
f(x)b
有四个不同的实数解
x x x x x x x x
1、 2、 3、 4，则 1 2 3 4 ．
【答案】4
【解析】
x ,x�1
f(x)
作出函数 (x2)2,x1 的图象，
f(x)b
方程 有四个不同的实数解，
y f(x) y b
等价为 和 的图象有4个交点，
x x x x
不妨设它们交点的横坐标为 1、 2、 3、 4，
x 2 f(x)=2−|x|=2+x f(2−x)=x2
1+√5
f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=− ;当0≤x≤2时
2
f(x)=2−|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,
, ,函数 大于2
f(x)=(x−2) 2 f(2−x)=2−|2−x|=4−x f(x)−g(x)=(x−2) 2+4−x−3=x2−5x+5
5+√5
的零点为x= ,综上可得函数y=f(x)−g(x)的零点的个数为2.故选A.
2
f x f x
【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数 的定义域为R， 是周期为2的y f x 1,1 f x 0,2020
奇函数， 在区间 上恰有5个零点，则 在区间 上的零点个数为（ ）
A．5050 B．4041 C．4040 D．2020
【答案】B
【解析】
f x f 00
由函数 的定义域为R上的奇函数，可得 ，
y f x 1,1
又由 在区间 上恰有5个零点，
f x [1,0) (0,1]
可得函数 在区间 和 内各有2个零点，
f x (1,2] f(2)0
因为 是周期为2，所以区间 内有两个零点，且 ，
f x (0,2]
即函数 在区间 内有4个零点，
2020
f x 0,2020 414041
所以 在区间 上的零点个数为 2 个零点.
故选：B.
【规律方法】
判断函数零点个数的方法：
1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；
2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，
还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)
的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就
是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.
4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
【变式探究】
1.（2020·开原市第二高级中学高三月考）函数 ， 的零点个数是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A【解析】
根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.
【详解】
由于 ， ，
因此不存在 使得 ，
因此函数没有零点.
故选： .
[t] t [1.3]2 [2.6]2
2.（2020·江苏省高三其他）设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数
f(x) 2x1x
的零点个数为_______.
【答案】2
【解析】
f(x) 2x1x 2x1 x
函数 的零点即方程 的根，
f x 2x1 x
函数 的零点个数，即方程 的根的个数.
2x1 0,x0,x0
.
1
当 时， x0,2x1 0,x .
0 x1 2
x1 x1,2x1 1,2x11 2x11,x1 x0
当 时， 或 或 （舍）.
x1 2x1 2x1xx 2x1 x
当 时， ， 方程 无解.
1
综上，方程 2x1 x的根为 ，1.
2
2x1 x f(x) 2x1x
所以方程 有2个根，即函数 有2个零点.
故答案为：2.
考点四：函数零点的应用x2 3x2,xm
f x
【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数 x3,xm ，若 f x恰好
m
有2个零点，则 的取值范围是（ ）
2,3 2,3
A． B．
1,2
3, 1,2
3,
C． D．
【答案】C
【解析】
y x2 3x2,y x3 x2 3x20 x 1,x 2
令 1 2 ，因为方程 的两根为 1 2 ，
y x2 3x2,y x3
所以在同一直角坐标系下作出函数 1 2 的图象如图所示：
f x
由图可知，当1m2时，函数 恰有两个零点，图象如图所示：
f x
m3
当 时，函数 恰有两个零点，图象如图所示：
m
1,2
3,
综上可知，所求实数 的取值范围为 .
故选：C
【典例8】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数 .若关于 的方程
恰有两个不同的实根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
首先讨论 ，在 时，利用分离参数的思想，画出 的图像，利用数形结合判断出答
案.
【详解】
当 时， ，故 不是方程 的根，
当 时，由 得， ，
方程 恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数 的图像有两个不同的交点，
作出函数 的大致图像如图所示，由图可知， 或 .
故选：C.
【典例9】（2021·全国高三其他模拟）若函数 存在2个零点，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分段函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且有一个零点，在(-∞，1]上用数形结合法探讨有一个零点即可得解.
【详解】
因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，
函数 存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，
x≤1时， ，即函数 在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，
在同一坐标系内作出直线y=m和函数 的图象，如图：而 在(-∞，1]上单调递减，且有 ，则直线y=m和函数 的图象有一个公
共点， .
故选：A
【典例10】（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知函数 若方程
的实根之和为6，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作出 图象，求方程 的实根之和为6，即求 与 图象交点横坐标之和为6，
分别讨论a=1、 、a=2、 、 和a=4时 图象与 图象交点个数及性
质，数形结合，即可得答案.
【详解】
作出 图象，如图所示求方程 的实根之和为6，即求 与 图象交点横坐标之和为6，
当a=1时， 图象与 图象只有一个交点（3,1），不满足题意；
当 时， 图象与 图象有2个交点，且从左至右设为 ，
由图象可得 关于x=3对称，所以 ，即 ，满足题意；
当a=2时， 图象与 图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，
设 与 图象另外两个交点为 ，由图象可得 关于x=3对称，
所以 ，即 ，满足题意；
当 时， 图象与 图象有4个交点，从左至右设为 ， ，由图象可得
关于x=0对称，所以 ，
关于x=3对称，所以 ，即 ，满足题意；
当 时， 图象与 图象有3个交点，由图象可得不满足题意；
当a=4时， 图象与 图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上： 的取值范围为 .
故选：A
【典例11】【多选题】（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知 ，若函数 有两个
零点 ， 有两个零点 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C错误，利用作差
法得到选出D错误.
【详解】
因为函数 有两个零点 ，
所以 ，所以 ，
令 =0，所 有两个零点 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以选项A正确；
因为 ，
所以 因为 ，
所以 ，所以选项B正确；
因为 ，所以选项C错误；
，
所以 ，所以选项D错误.
故选：AB
【规律方法】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式探究】
1.（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数 若函数 有且只
有两个不同的零点，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
作出函数 的图象如下图所示，将原问题转化为函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
根据图示可得实数 的取值范围.
【详解】作出函数 的图象如下图所示，令 ，即 ，
所以要使函数 有且只有两个不同的零点，则需函数 的图象与直线 有两
个不同的交点，
根据图示可得实数 的取值范围为 ，
故选：B.
2. （2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（理））已知函数 是定义在 上的奇函数，当
时， ，给出下列命题：
①当 时， ；
②函数 有2个零点；
③ 的解集为 ；
④ ， ，都有 .
其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【解析】
对于①，利用奇偶性求 时的解析式即可判断；对于②，直接求出零点即可判断；对于③，直接解不等式，得到解集即可判断；对于④，用导数判断单调性，结合图象求出 的值域即可判断.
【详解】
解：函数 定义在 上的奇函数，当 时， ，下面逐一判断：
对于①，当 时，则 ，所以 ，
整理得 ，故①正确；
对于②，当 时，由 可得 ，即 ，故 ，又函数
在 处有定义，故 ，故函数 有3个零点，故②错误；
对于③，当 时，则 的解集为 ；当 时， 的解集
为 ；当 时， 成立.
故 的解集为 ，故③错误；
对于④，当 时， ，
所以 时，有 ， 时，有 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 取得最小值 ，且 时， ，
时，所以 ，即 ，
可作大致图象如下，再根据对称性作 时的大致图象，综上 时， 值域为 ，当 时， 值域为 ，而
所以 的值域为 .
故 ， ，都有 ，即
，故 ，即④正确.
故选：A.
3.【多选题】（2021·湖南雅礼中学高三二模）关于函数 ，下列描述正确的有（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 的图象关于直线 对称
C．若 ，但 ，则
D．函数 有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】
画出函数的图像，根据图像分析判断即可
【详解】
函数 的图像如图所示：
由图可得：函数 在区间 上单调递增，故 正确；
函数 的图像关于直线 对称，故 正确；若 ，但 ，则当 时， ，故 错误；
函数 的图像与 轴有且仅有两个交点，故 正确.
故选 .
4.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数 ，若方程
有四个不同的根 ， ， ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
设 < < < ，由 ， ，则问题转化为
，根据 ，求得范围即可.
【详解】
设 < < < ，则 ，由图知 ， ，
当 时， 或4，则
故 ，易知其在 单减，
故
故答案为：
【总结提升】
函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范
围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍
是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．
