专题3.3两点间的距离问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 3.3 两点间的距离问题 【例题精讲】 【例1】阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 ， 、 ， ，那么 、 两点的距离 ，则 ． 例如： 若点 ， ，则 ， 若点 ， ，且 ，则 ． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的 的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点 ， ，则 、 两点间的距离是 ． （2）若点 ，点 在 轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2）设 ， 点 在轴上， ， ， ，且 、 两点间的距离是5，， 整理得 ， ， 或 ， 或 ， 或 ． 【题组训练】 1．先阅读下列一段文字，再解答问题 已 知 在 平 面 内 有 两 点 ， ， ， ， 其 两 点 间 的 距 离 公 式 为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或 垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 （1）已知点 ， ，试求 ， 两点间的距离； （2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试 求 ， 两点间的距离； （3）已知点 ， ， ， ，判断线段 ， ， 中哪两条是相等的？ 并说明理由． 【解答】解：（1）依据两点间的距离公式，可得 ； （2）当点 ， 在平行于 轴的直线上时， ； （3） 与 相等．理由： ；； ． ． 2．阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 ， 、 ， ，那么 、 两点 的距离 ．则 ． 例如：若点 ， ，则 ， 根据上面材料完成下列各题： （1）若点 ， ，则 、 两点间的距离是 ． （2）若点 ，点 在坐标轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标． （3）若点 ， ，且 、 两点间的距离是5，求 的值． 【解答】解：（1） 点 ， ， ； 故答案为 ； （2）当 点在 轴上，设 ， 而点 ， 、 两点间的距离是5， ，解得 或 ， 此时 点坐标为 或 ； 当 点在 轴上，设 ，而点 ， 、 两点间的距离是5， ，解得 或 ， 此时 点坐标为 或 ； 综上所述， 点坐标为 或 或 或 ； （3） 点 ， ，且 、 两点间的距离是5， ， 整理得 ， 解得 ， ， 即 的值为 或6． 3．先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标 ， ， ， ， 其两点间距离公式为 ，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平 行于 轴或垂直于 轴时，两点间距离公式可化简为 或 ． （1）已知 ， ，则 、 两点间的距离为 ； （2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，则 ， 两点间的距离为 ； （3）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的横坐标为5．且 ， 两点间的距离为 3，则点 的横坐标为 ； （4）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，请判定此三角形的形状， 并说明理由． 【解答】解：（1）根据两点间距离公式可得： ；（2）由题意可得： ； （3）点 的横坐标为 或 ； （4）由两点间距离公式可得： ， ， ， ， 是等腰三角形． 4．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 对于平面直角坐标系中的任意两点 ， 、 ， ，其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于 坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． （1）若 、 ，试求 、 两点间的距离； （2）若 、 都在平行于 轴的同一条直线上，点 的横坐标为3，点 的横坐标为 ， 试求 、 两点间的距离． （3）若已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的 形状吗？请说明理由． 【解答】解：（1） 、 ， ； （2） 、 都在平行于 轴的同一条直线上，点 的横坐标为3，点 的横坐标为 ， ；（3） 为等腰直角三角形，理由为： 、 、 ， ， ， （2） ， ， 则 为等腰直角三角形． 5．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已 知 在 平 面 内 两 点 坐 标 ， ， ， ， 其 两 点 间 距 离 公 式 为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于 轴或垂直于 轴，距离公式可简化成 或 ． （1）已知 ， ，试求 ， 两点的距离； （2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 ， 两点的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，你能断定此三角形的形状 吗？说明理由． 【解答】解：（1） 、 ， ； （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ； （3） 为等腰三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 6．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题． 已 知 在 平 面 内 两 点 ， 、 ， ， 其 两 点 间 的 距 离 公 式 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于 坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． （1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离； （2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 、 两点间的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的形状 吗？说明理由． 【解答】解：（1） 、 ， ，即 、 两点间的距离是13； （2） 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ， ，即 、 两点间的距离是6； （3） 是等腰三角形，理由如下： 一个三角形各顶点坐标为 、 、 ， ， ， ，， 是等腰三角形． 7．阅读下列一段文字，然后回答下列问题： 已知平面内两点 ， 、 ， ，则这两点间的距离可用下列公式计算： ． 例如：已知 、 ，则这两点的距离 ． 特别地，如果两点 ， 、 ， 所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂 直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为 或 ． （1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离； （2）已知 、 在平行于 轴的同一条直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 试求 、 两点间的距离； （3）已知 的顶点坐标分别为 、 、 ，你能判定 的形状吗？ 请说明理由． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） 为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， 为直角三角形． 8．先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标 ， ， ， ，其两点间距离公式为 ，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平 行于 轴或垂直于 轴时，两点间距离公式可化简为 或 ． （1）已知 、 ，则 ， 两点间的距离为 ； （2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，则 ， 两点间的距离为 ； （3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，请判定此三角形的形状， 并说明理由． 【解答】解：（1） 、 ， ． 故答案为： ． （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ． 故答案为：6． （3） 为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 9．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为 ， ， ， ，则该两点间距离公式为 ．同时，当两点在同一坐标轴上或 所在直线平行于 轴、垂直于 轴时，两点间的距离公式可化简成 或 ． （1）若已知两点 ， ，试求 ， 两点间的距离； （2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ， 试求 ， 两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ，你能判定此三角形的形 状吗？试说明理由． 【解答】解：（1） 点 ， ， ， 即 ， 两点间的距离是 ； （2） 点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ， ， 即 ， 两点间的距离是9； （3）该三角形为等腰直角三角形． 理由： 一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该三角形为等腰直角三角形．10．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点 ， ， ， ，这两点间的距离 ， 同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式 可简化为 或 ． （1）已知 ， ，试求 ， 两点间的距离； （2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 ， 两点间的距离． 【解答】解：（1） ， 两点间的距离 ； （2） ， 两点间的距离 ． 11．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点 ， ， ， ，其两点间的距离 ，同时，当两点所在的直线在坐 标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． （1）已知 ， ，试求 ， 两点间的距离； （2）已知线段 轴， ，若点 的坐标为 ，试求点 的坐标； （3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，你能判定此三角形的形状 吗？说明理由． 【解答】解：（1） ， 两点间的距离 ； （2） 线段 轴， 、 的横坐标相同，设 ， ，解得 或 ， 点坐标为 或 ； （3） 为等腰三角形． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 12．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点 ， 、 ， ， 其两点间的距离 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于 坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． （1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离； （2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为4，点 的纵坐标为 ，试求 、 两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的形状 吗？说明理由． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） 是等腰三角形， 理 由 如 下 ： ， ，， 则 ， 是等腰三角形． 13．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为 ， ， ， ，则该两点间距离公式为 ，同时，当两点在同一坐标轴上 或所在直线平行于 轴、平行于 轴时，两点间的距离公式可化简成 和 ． （1）若已知两点 ， ，试求 ， 两点间的距离； （2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ， 试求 ， 两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ， ， ，你能判定这三 点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积． 【解答】解：（1） 点 ， ， ， 即 ， 两点间的距离是 ； （2） 点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ， ， 即 ， 两点间的距离是9； （3）这三点不共线， 该三角形为直角三角形． 理由： 一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， ．