专题3.8函数与方程2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题 3.8 函数与方程 练基础 1．（2021·浙江高一期末）方程 （其中 ）的根所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由函数 的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间． 【详解】 函数 在 上为增函数， 由 ， （1） ， （1） 结合函数零点存在定理可得方程的解在 ， 内． 故选： ． 2．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数 在区间（－1，1）上有两个不 同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2） 【答案】B 【解析】 根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】 因为 为开口向上的抛物线，且对称轴为 ，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以 ，即 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是 . 故选：B 3．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数 ，若函数 ，仅有1个零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令 ，故 ，然后作出函数图像，求出函数在 处 的切线的斜率可得答案 【详解】 令 ，故 ，作出函数 的大致图像如图所示，观察可 知，临界状态为直线 与曲线 在 处的切线， 当 时， ，则 ，所以切线的斜率为 ， 所以 ， 故选：A.4．（2021·全国高三其他模拟）已知 ，有下列四个命题： ： 是 的零点； ： 是 的零点； ： 的两个零点之和为1 ： 有两个异号零点 若只有一个假命题，则该命题是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 首先假设 ， 是真命题，则 ， 均为假命题，不合题意，故 ， 中必有一个假命题.然后分情 况讨论 是假命题和 是假命题的两种情况，推出合理或者矛盾. 【详解】 由题意，若 ， 是真命题，则 ， 均为假命题，不合题意，故 ， 中必有一个假命题.若 是假命题， ， 是真命题，则 的另一个零点为 ，此时 为真命题，符合题意； 若 是假命题， ， 是真命题，则 的另一个零点为 ，此时 为假命题，不符合题意. 故选:A. 5.（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数 是定义在区间 上的偶函数，且当 时， ，则方程 根的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】 将问题转化为 与 的交点个数，由解析式画出在 上的图象，再结合偶函数的对称性 即可知定义域上的交点个数. 【详解】 要求方程 根的个数，即为求 与 的交点个数， 由题设知，在 上的图象如下图示， ∴由图知：有3个交点，又由 在 上是偶函数，∴在 上也有3个交点，故一共有6个交点. 故选：D. 6．【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数 一定 存在零点的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 本题首先可通过求导得出函数 在 上是增函数、在 上是减函数以及 ， 然后通过函数 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果. 【详解】 ， ， 当 时， ，函数 在 上是增函数； 当 时， ，函数 在 上是减函数， ， A项： ， ， 因为 ，所以函数 在 内存在零点，A正确； B项： ， ， 因为 ， ，所以函数 在 内存在零点，B正确； C项： ， ， ，因为 ，所以函数 在 内不存在零点，C错误； D项： ， ， ， 则函数 在 内存在零点，D正确， 故选：ABD. 7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知定义域为 的函数 满足 是奇函数， 为 偶函数，当 ， ，则（ ） A． 是偶函数 B． 的图象关于 对称 C． 在 上有3个实数根 D． 【答案】BC 【解析】 由 为偶函数，得到 的图象关于 对称，可判定B正确；由 是奇函数，得到函 数 关于点 对称，得到 和 ，根据题意，求得 ，可判定D不正确；由 ，可判定A不正确；由 ，可判定C正确. 【详解】 根据题意，可得函数 的定义域为 ， 由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称， 即 ，所以B正确；由函数 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称， 即 ，可得 ， 则 ，即函数 是以8为周期的周期函数， 当 时， ，可得 ， 即 ，所以D不正确； 由函数 是以8为周期的周期函数，可得 ， 因为 ，令 ，可得 ， 所以 ，所以函数 一定不是偶函数，所以A不正确； 当 时， ，所以 ， 由 ，可得 ，又由 ，所以C正确. 故选：BC. 8．（2020·全国高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______． 【答案】2 【解析】 令 ，得到 ，将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们 的交点个数，即得到 的零点个数. 【详解】 函数 的定义域为 ， 画出两个函数 ， 的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2． 故答案为2．9.（湖南高考真题）若函数f(x)=|2x−2|−b有两个零点，则实数b的取值范围是_____. 【答案】0n，根据韦达定理，可得 ， 的表 达式，根据 有四个不同的根 ，可得以 对应的根为 ， 对应的根为 ，根据韦达定理，可得 ， ， ， 表达式，根据题 意，计算化简，可得m，n的关系，代入 ，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】 设 的两个不同零点为m，n，且m>n， 所以 ， ，且 ， 又因为 有四个不同的根 ， 所以 对应的根为 ， 对应的根为 ， 所以 ， ， 所以 ， 同理 ， 因为 成等差数列， 所以 ，则 所以 ，解得 ， 因为m>n，所以 ，解得 ，所以 ， 所以当 时， 有最大值 ， 所以 不可能为3. 故选：D 4．（2021·浙江湖州市·高三二模）“关于 的方程 有解”的一个必要不充分条 件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 数形结合，探讨出“关于 的方程 有解”的充要条件，再由必要不充分条件的意 义即可得解. 【详解】 关于 的方程 有解， 等价于函数 与 的图象有公共点，函数 的图象是以原点为圆心， 1为半径的上半圆，y=|x-m|的图象是以点(m，0)为端点， 斜率为 且在x轴上方的两条射线，如图： y=x-m与半圆 相切时，点(m，0)在B处， ，y=-x+m与半圆 相切时，点(m，0)在A处， ， 当y=|x-m|的图象的顶点(m，0)在线段AB上移动时，两个函数图象均有公共点， 所以“关于 的方程 有解”的充要条件是 ，B不正确； 因 ， ， 即 是 的必要不充分条件，A正确； ， ， 即 是 的充分不必要条件，C不正确； ， ， 即 是 的不充分不必要条件，C不正确. 故选：A. 5．（2021·辽宁高三月考）已知 的定义域为 ，且满足 ，若 ，则 在 内的零点个数为（ ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】 求出函数 在区间 值域及单调性，由此可得出结论. 【详解】 当 时， ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 以此类推，当 时， ， 且函数 在区间 上为增函数， ，所以，函数 在区间 上有且只有一个零点，且 ， 因此， 在 内的零点个数为 . 故选：B. 6．（2021·浙江高三其他模拟）设 是常数，若函数 不可能有两个零点，则 b的取值情况不可能为（ ） A． 或 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 令 ，易知 是 的一个零点. 只需讨论 的情况：分为b=0和b≠0分类讨论.在b≠0时，根据判别式讨论根的情况即可. 【详解】 令 ，即 或 . 显然 是 的一个零点. 下面讨论 的根的情况： （1）b=0时， .不符合题意. （2）b≠0时， ①若 时，有 或 ，此时 没有实数根，符合题意； ②若 时，有 或 ， 若 ， 的根为 ，所以 有一个零点，符合题意； 若 ， 的根为 ，所以 有两个零点，不符合题意； ③若 时，有 或 ，此时 有实数根，要使函数 不可能有两个零点，只需 不是 的根，所以 ，即 ， 符合题意； 故选：D 7．（2021·江西抚州市·高三其他模拟（文））若函数f(x)满足 ，当 时， ．若在区间 内 有两个零点则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 由题设可得 ，由 内 有两个零点，可知 内 与 有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范围即可. 【详解】 由题意，若 ，则 ，则 ， ∴ 时， ， ∴ ， 在 内 有两个零点，即 内 与 有两个交点，且 过定点 ，∴ 时，显然图象只有一个交点，即 仅有一个零点， 时，在 右半支上，当 过 时 ，要使 上图象有两个交点，则 ， 当 时，在 左半支上，当 与 相切时只有一个交点，此时 ，得 ，则 ， ∴ ，整理得 ，可得 ， ∴要使 上图象有两个交点，则 . 综上， . 故选：A 8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数 是 上的奇函数，且满足 ，当 时， ．则下列四个命题中正确的是（ ） A．函数 为奇函数 B．函数 为偶函数 C．函数 的周期为8 D．函数 在区间 上有4个零点 【答案】BC【解析】 先利用条件中的等式得到 ，再利用函数的奇偶性得到 ，然后结合条件中的等式逐个 对选项进行分析判断即可． 【详解】 令 ，得 ，故 ，又 是 上的奇函数，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以函数 的周期为 8，选项C正确． 因为 ，所以 ，又 是 上的奇函数，所以 ，即 ，故 ，所以函数 的图象 关于直线 对称，所以 为偶函数，选项B正确． 是 上的奇函数，则 ，又 ，且当 时， ，所以当 时， 只有2个根．又函数 的图象关于直线 对称，所以当 时，只有 ，故当 时， 只有2个根，由对称性知，当 时， 只有2个根，所以函数 在区间 上有5个零点，故选项D错误 若函数 为奇函数，则 ，令 ，则 ，又 ，所以 ．又函数 的图象关于直线 对称，所以 ，故 ，与当 时， 矛盾，故选项A错误． 故选：BC． 9．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号" "表示一种运算，即，若 ，函数 的图象关于直线 对称，则 ___________. 【答案】1 【解析】 根据新运算的定义，得到函数解析式为 ，再根据函数图象关于直线 对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】 由题意可得： ， ， 则函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ， 因为函数 的图象关于直线 对称， 所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称， 所以 ，解得 故答案为：1. 10．（2021·上海格致中学高三三模）已知函数 的定义域是 ，满足 且 ，若存在实数k，使函数 在区间 上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【答案】 【解析】 方程 在 上恰有2021个零点，等价于存在 ，使 在 上恰有2021个交点，作出函数 的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在 之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围. 【详解】 由函数在 上的解析式作出如图所示图像， 由 知，函数 是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数， 若使 时，存在 ，方程 在 上恰有2021个零点，等价于 在 上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即 时满 足条件，且必须每个周期内均应使 处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当 时，需使最后一个完整周期 中的极小值 ， 即 ，解得 ，即当 时，需使最后一个极大值 ， 即 ，解得 ，即 ， 综上所述， 故答案为： 练真题 TIDHNE 1.（2018·全国高考真题（理））已知函数f(x)=¿ g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a 的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数f(x)的图像，y=ex在y轴右侧的去掉， 再画出直线y=−x，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程f(x)=−x−a有两个解， 也就是函数g(x)有两个零点， 此时满足−a≤1，即a≥−1，故选C.2.（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则 ___________. 【答案】2 【解析】 由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值. 【详解】 ，故 ， 故答案为：2. 3.（安徽高考真题）在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图像只有一个交点， 则 的值为 . 1  【答案】 2 【解析】 y  xa 1 y  xa 1 a,1 xa 时 取得最小值1．即函数 的图像的最低点为 ． y  xa 1 a0 y2a 当 时，由数形结合可知此时直线 与 的图像必有两个交点，故舍； y  xa 1 a,1 a0 y2a y2a 当 时，要使直线 与 的图像只有一个交点，则有直线 必过点 ， 1 a  即2a 1，解得 2． 1 a  综上可得 2． 4.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=¿，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________． 若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】 由题意得¿或¿，所以2≤x<4或14 f(x)=x−4>0 f(x)=x2−4x+3=0,x=1,3 (−∞,λ) λ≤4 ，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围 f(x)=x−4=0,x=4 f(x)=x2−4x+3 (−∞,λ) 1<λ≤3 λ 为(1,3]∪(4,+∞). 5.（2018·天津高考真题（理））已知a>0，函数f(x)=¿若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解， 则a的取值范围是______________. 【答案】(4 ，8) 【解析】 分类讨论：当x≤0时，方程f (x)=ax即x2+2ax+a=ax， 整理可得： ， x2=−a(x+1) x2 很明显x=−1不是方程的实数解，则a=− ， x+1 当x>0时，方程f (x)=ax即−x2+2ax−2a=ax， 整理可得： ， x2=a(x−2) x2 很明显x=2不是方程的实数解，则a= ， x−2 令g(x)=¿， 其中 x2 ( 1 )， x2 4 − =− x+1+ −2 =x−2+ +4 x+1 x+1 x−2 x−2 原问题等价于函数g(x)与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g(x)的图象， 同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件， 结合a>0观察可得，实数a的取值范围是(4,8).f(x),g(x) R f(x) g(x) 6.（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期 k(x2),0 x1  g(x) 1 为2，且 是奇函数.当 时， ，  ,1 x2 ，其中 . f(x) x(0,2] f(x) 1(x1)2   2 k 0 (0，9] x f(x) g(x) k 若在区间 上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____. 1 2   ,  【答案】 . 3 4   【解析】 当x0,2 时， f(x) 1x12 ,即 x12  y2 1,y0. f(x) 4 f(x) g(x) 又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使f(x) g(x) 0,9 8 8 在 上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可. 1 g(x) 当 2时，函数 f(x)与 g(x) 的图象有2个交点； g(x)k(x2) g(x) 2,0 f(x) g(x) 6 当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当 k2k 2 1 f(x) 与g(x)图象相切时，圆心1,0到直线kx y2k 0的距离为 1 ，即 1k2 ，得 k  4 ，函 f(x) g(x) 3 g(x)k(x2) （1,1） f(x) g(x) 6 数 与 的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点， 1 k  此时13k，得 3. 1 2   ，  综上可知，满足 f(x) g(x) 在0,9上有 8 个实根的 k 的取值范围为  3 4   .