文档内容
专题3.3 图形的旋转（知识讲解）
【学习目标】
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与
旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.
【要点梳理】
要点一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋
转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如
果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这
个旋转的对应点.
特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ ).
特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形
全等。
要点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【典型例题】
类型一、生活中的旋转1．你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？
【答案】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象．
【分析】将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动
叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此
解答即可．
解：(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象．
【点拨】本题是考查平移、旋转的意义．平移与旋转的相同点是图形的大小、形状不
变，不同点是平移不改变图形的方向，旋转改变图形的方向．
举一反三：
【变式1】下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼 D．小明在荡秋千
【答案】D
【分析】旋转定义：物体围绕一个点或一个轴作圆周运动，根据旋转定义对各选项进行一一分析即
可．
解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度
是解题关键．
【变式2】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；
④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋
转的有_______.（填序号）【答案】②④⑥
解：①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调
钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移
运动，
故答案为②④⑥.
类型二、旋转中心、旋转角、对应点
2．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合．
旋转中心是点________，旋转了________度；
如果 ， ，求：四边形 的面积．
【答案】（1） , ；（2）详见解析.
【分析】(1)根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90 ,则根据旋转的定义得到△ADE
绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合;
(2)根据旋转的性质得BF=DE, = ,利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8,再加上
CE=CD-DE=BC-DE=4,于是可计算出BC=6,所以 = =36.
解：解:(1) 四边形ABCD为正方形,
AB=AD,∠BAD=90 ,
△ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合,
即旋转中心是点A,旋转了90度;
故答案为A,90;
(2) △ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合,
BF=DE, = ,
而CF=CB+BF=8,
BC+DE=8,CE=CD-DE=BC-DE=4,
BC=6,
= =6 =36
【点拨】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.旋转有三要素:旋转中心; 旋转方向; 旋转角
度.也考查了正方形的性质.
举一反三：
【变式1】如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕
点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45°
C．90° D．135°
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解.
解：设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2= =16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
【点拨】考点：勾股定理逆定理.
【变式2】如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕
点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为_____°．【答案】82°
【分析】设∠B=x，根据旋转的旋转得CB=CD，∠CDE=∠B=x，∠A=∠E=33°，
∠BCD的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得∠BCD=x+33°，接着证明
∠CDB=∠B=x，则利用三角形内角和得到x+x+33°+x=180°，然后求出x后计算x+33°即可
得到旋转角的度数．
解：设∠B=x，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与 EDC重合，
∴CB=CD，∠CDE=∠B=x，∠A=∠E=33°，△∠BCD的度数等于旋转角的度数，
∴∠BCD=∠CDE+∠E=x+33°，
在 BCD中，∵CB=CD，
∴∠△CDB=x，
∴x+x+33°+x=180°，解得x=49°，
∴旋转角的度数为49°+33°=82°．
故答案为82°．
【点拨】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
类型三、旋转中心的个数
3．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且
DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证： ADE≌△ABF．
（2）填空：△ABF可以由 ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转
度得到． △ △【答案】（1）证明见解析；（2）A；90
解：整体分析：
（1）根据正方形的性质，用SAS证明△ADE≌△ABF；（2）△ADE与△ABF的公共
顶点是旋转中心，对应线段的夹角是旋转角.
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转90度得到．
故答案为A，90．
举一反三：
【变式1】如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平
面内，可作为旋转中心的点个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
解：可以绕点D,点C,线段CD的中点旋转，
故选C.
【变式2】如图，正方形 旋转后能与正方形 重合，那么点 ， ， ，
中，可以作为旋转中心的有______个．【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点
D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心
所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
类型四、旋转的规律问题
4．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高
度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，
请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ )
【答案】B
【分析】根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可.
解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每 循环一次，五边形中心的变化每 循环一次，六边形中心的变化每 循环一次，用量角器量得图2中一
个弧所对的圆心角为 ，故该轨迹对应的车轮为正方形的.
故答案为B
【点拨】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题
的关键.
举一反三：
【变式1】如图，正方形 的边长为 一个边长为 的小正方形沿着正方形
的边 连续翻转(小正方形起始位置在 边上)，当这个小正方
形翻转到 边的终点位置时，它的方向是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出小正方形连续翻转后的草图，由此即可解答．
解：根据题意画出小正方形沿着正方形 的边 ，连续地翻
转到 边的终点位置时的图形（如图），由此可得，小正方形回到 边的终点位置时它
的方向是向下．
故选C．【点拨】本题主要考查了生活中的旋转现象，根据题意画出小正方形连续翻转后的草
图是解决问题的关键．
【变式2】如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，
将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P，此时AP ＝2；将位置①的三角形绕点P
1 1 1
顺时针旋转到位置②，可得到点P，此时AP ＝2+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋
2 2 2
转到位置③，可得到点P，此时AP ＝3+ ；…按此规律继续旋转，直到点P 为止，则
3 3 2020
AP 等于_______．
2020
【答案】
【分析】根据题意，发现将Rt ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依
△
次增加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC＝ ，
∴将Rt ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2， ，1，且三
△
次一循环，
∵2020÷3＝673…1，∴AP ＝673（2＋ ＋1）＋2＝2021＋673 ，
2020
故答案为：2021＋673 .
【点拨】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的
长度依次增加2， ，1，且三次一循环是解题的关键．
类型五、由旋转的性质求解
5．如图， 中， ，把 绕着 点逆时针旋转，得到
，点 在 上.
（1）若 ，求得 度数；
（2）若 ， ，求 中 边上的高.
【答案】（1）∠BAC =50°；（2）
解：(1) 由旋转得△ACB≌△DEB
∴BD = BA
∴∠BAD =∠BDA =
∴∠ABD =
∴∠ABC =∠ABD =
∵∠C =
∴∠BAC =
(2) ∵BC = 8，AC = 6，∠C =
∴
∵∠DEB =∠C = 且BE = BC = 8，DE =AC= 6∴AE =" AB" – BE = 2
在Rt△DEA中，
设AD边上的高为h
∴
∴
举一反三：
【变式1】如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到
．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和
定理进行求解，即可求出答案．
解：设 =x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠ = x°， =AC, =AB.
∴∠ =∠B.
∵ ，∴∠C=∠CA =x°.
∴∠ =∠C+∠CA =2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°， ，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴ 的度数为24°.
故选：C.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.【变式2】如图，在 ABC中，∠BAC＝33°，将 ABC绕点A按顺时针方向旋转
50°，对应得到 AB′C′，△则∠B′AC的度数为____． △
△
【答案】17°
解：∵∠BAC=33 ,将 ABC绕点A按顺时针方向旋转50 ,对应得到 AB′C′，
∴∠B′AC′=33 ,∠BA° B′=△50 ， ° △
∴∠B′AC的度°数=50 −33 °=17 .
故答案为17 . ° ° °
类型六、由°旋转的性质说明线段和角的关系
6．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到
线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得
∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出 ≌ ，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得 为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由
（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
解：（1）∵ 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴ 为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得 ≌ ，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点拨】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的
性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题
的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在 中， ,将 绕点 逆时针旋转,使
点 落在线段 上的点 处,点 落在点 处，则 两点间的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；
解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
在Rt△DBE中，BD= ，
故选A.
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心
所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得
到△ADE，则∠BAE＝_____．
【答案】100°
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进
行计算即可得解．
解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
【点拨】考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得
的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都
等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
类型七、旋转的性质辨析
7．如图 所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图 中，把 ， ， 三个
菱形通过一种或几种变换，使之变为与图 一样的图案：
（1）请你在图 中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；
（2）你所用的变换方法是________（在以下变换方法中，选择一种正
确的填到横线上，也可以用自己的话表述）．
①将菱形 向上平移；
②将菱形 绕点 旋转 ；
③将菱形 绕点 旋转 ．
【答案】（1）详见解析；（2）③．
【分析】首先分析①②的不同,变化前后,A、C的位置不变,只有B的位置由O的下方变
为0的上方,据此即可作出判断.
解：(1)观察分析②的不同,变化前后,A、C的位置不变,而B的位置由由O的下方变为
O的上方,进而可得两者对应点的连线交于点O,即进行了中心对称变化,变换方法是将菱形B
绕点O旋转180,可作图得:
(2)变换方法是将菱形B绕点O旋转180°,即③.故答案为:③.
【点拨】本题考查几何变化的运用与作图，注意观察时要紧扣图形变换特点，认真判
断其几何变化类型.举一反三：
【变式1】一个图形旋转后得到的图形与原来的图形有如下的关系
（1）对应角相等；（2）对应线段相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）
连接对应点所成的线段相等；（5）每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等
于旋转角；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】一个图形旋转后得到的图形和原图像全等，对应点到旋转中心的距离相等，
连接对应点所成的线段不一定相等，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都
等于旋转角，由此可判断.
解：一个图形旋转后得到的图形和原图像全等，故对应角相等，对应线段相等，一个
图形绕某个点旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，每对对应点与旋转中心连线所成的
角都相等，它们都等于旋转角，但是连接对应点所成的线段不一定相等，故选B.
【点拨】此题主要考察旋转的性质.
【变式2】如图,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则线段BC与EF的关系是
___________.
【答案】平行且相等
【分析】根据 ABC与 DEF关于O点成中心对称，得出对应边之间的关系即可得出
答案． △ △
解：∵ ABC与 DEF关于O点成中心对称.
∴线段△BC与EF△的关系是：平行且相等.
故答案为平行且相等.
【点拨】考查了中心对称的性质，熟记中心对称对应边的关系是解决问题的关键.
类型八、旋转的作图
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣
3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△AB C ；
1 1 1
（2）写出点A、B 、C 的坐标．
1 1 1
【答案】（1）见解析；（2）A（5，3）、B （1，2）、C （3，1）．
1 1 1
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置进而得出答案；
(2)直接利用（1）中所求进而得出答案.
解：（1）如图所示：△AB C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：A（5，3）、B （1，2）、C （3，1）．
1 1 1
【点拨】本题主要考查图形旋转具有的性质.
举一反三：
【变式1】如图在边长为1的小正方形组成的网格中， OAB的顶点都在格点上．
△（1）请作出 OAB关于直线CD对称的 OAB；
1 1 1
（2）请将 O△AB绕点B顺时针旋转90°，△画出旋转后的 BO
2
A
2
．
【答案】(1△)见解析；（2）见解析． △
【分析】（1） OAB关于直线CD对称的 OAB 在CD的右侧，对应点到CD的距
1 1 1
离相等； △ △
（2）将 OAB的三个顶点分别绕点B顺时针旋转90°，再顺次连接所得的三个顶点可
得旋转后的 △BOA．
2 2
解：（△1）如图所示， O
1
A
1
B
1
即为所求；
（2）如图所示， BO△2 A
2
即为所求．
△
【点拨】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图
形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些
特殊的对称点开始．
【变式2】将如图所示的图形按逆时针方向旋转90º后得到图形是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的定义，观察图形即可解答.
解：根据旋转的定义，图片按逆时针方向旋转90°，箭头竖直向下，从而可确定为A
图．
故选A．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，熟知性质是解题的关键.
类型九、旋转图形的识别
9．如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A．
考点：旋转的特征
举一反三：
【变式1】下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．即：如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个
图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这
个点叫做旋转中心．
解：A.绕中心旋转60°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
B.是轴对称图形，不是旋转对称图形，故本选项正确；
C.绕中心旋转72°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
D.绕中心旋转120°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误．
故选B．
【变式2】下列图形既是旋转对称图形又是中心对称图形的一共有____个.
【答案】1
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念并结合各个选项图形的特点进行判断
求解即可．
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故答案为1
【点拨】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于识别图形.
类型十、求旋转图形中的旋转角
10．如图，把一副三角板如图甲放置，其中
，斜边 ，把三角板 绕
点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，则 的度数为________________.
【答案】
【分析】根据题意∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以可得∠OFE′=∠B+∠1=45°
+75°=120°.
解：如图,由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°.
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.
【点拨】本题考查图形的旋转，解题的关键是知道旋转的性质.
举一反三：
【变式1】如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与
原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．108°
【答案】C
解：由题意得360º÷5=72º.
故选C.
【变式2】如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶
点．若 COD是由 AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
【答案】90
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可
知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点拨】本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺
时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
类型十一、求坐标系中以原点为旋转中心转动90度的坐标
11．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个
单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△ABC ；
1 1 1
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△ABC ；
2 2
（3）直接写出点B，C 的坐标．
2 2【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B （4，－2），C （1，－
2 2
3）．
解：试题分析：（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A、B、C 的坐标，
1 1 1
然后描点即可得到 ABC ；
1 1 1
（2）利用网格△特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B
2
、C
2
，从而得到 AB
2
C
2
，再
写出点B、C 的坐标． △
2 2
试题解析：解：（1）如图， ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图， AB
2
C
2
即为所求△，点B
2
（4，﹣2），C
2
（1，﹣3）．
△
举一反三：
【变式1】如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上，
， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作 轴于 ．解直角三角形求出 ， 即可．
解：如图，作 轴于 ．
由题意： ， ，
，
， ，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O
逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__________．
【答案】（﹣4，3）．
解：试题分析：
解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，
∴点A′的坐标为（﹣4，3）．
故答案为（﹣4，3）．
考点：坐标与图形变化-旋转
类型十二、求坐标系中非原点为旋转中心转动90度的坐标
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标
为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△AB C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 1
（2）画出△AB C 绕原点O旋转180°后得到的△AB C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
【答案】解：（1）如图所示：点A 的坐标（2，﹣4）．
1
（2）如图所示，点A 的坐标（﹣2，4）．
2解：试题分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后
根据图形写出A点坐标．
（2）将△AB C 中的各点A、B 、C 绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A、
1 1 1 1 1 1 2
B 、C ，连接各对应点即得△AB C ．
2 2 2 2 2
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，
得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（-3，-4）
【答案】B
【分析】如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由点A坐标则可得
OC=3，AC=4，再根据把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，可得△AOC≌△OBD，根
据全等三角形对应边相等则可得OD=AC=4，BD=OC=3，由此即可得点B坐标.
解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（3，4），
∴OC=3，AC=4，
∵把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
在△AOC和△OBD中
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OD=AC=4，BD=OC=3，
∴B（-4，3），
故选B．
【点拨】考查了图形的旋转，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
类型十三、求坐标系中某个点为旋转中心转动一定角度的坐标
13．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，
ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
△ （1）①作出 ABC向左平移4个单位长度后得到的 A 1 B 1 C 1 ， 并写出点C 1 的坐标；
②作出 ABC△关于原点O对称的 A
2
B
2
C
2
， 并写出点△ C
2
的坐标；
（2）已△知 ABC关于直线l对称△的 A
3
B
3
C
3
的顶点A
3
的坐标为（－4，－2），请直接
写出直线l的函△数解析式. △
【答案】(1)作图见解析，C 的坐标C （-1,2）, C 的坐标C （-3,-2）；（2）y=-x.
1 1 2 2
解：分析：（1）①利用正方形网格特征和平移的性质写出A、B、C对应点A、B 、
1 1
C 的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到 AB C .
1 1 1 1
②根据关于原点对称的点的特征得出A
2
、B
2
、C
2
的△坐标，然后在平面直角坐标系中描
点连线即可得到 AB C .
2 2 2
△（2）根据A与A 的点的特征得出直线l解析式.
3
详解：（1）如图所示， C 的坐标C （-1,2）, C 的坐标C （-3,-2）
1 1 2 2
（2）解：∵A（2,4），A（-4，-2），
3
∴直线l的函数解析式：y=-x.
点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，
对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对
应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．
举一反三：
【变式】如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的
对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【答案】B
解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90 得到线段A′B′，
∴ ABO≌ A′B′O′,∠AOA′=90 ， °
∴△AO=A′O△. °
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90 .
∵∠COC′=90 ， °
∴∠AOA′−∠C°OA′=∠COC′−∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′.
在 ACO和 A′C′O中，
△ △
，
∴ ACO≌ A′C′O(AAS)，
∴△AC=A′C△′,CO=C′O.
∵A(−2,5)，
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2,OC′=5，
∴A′(5,2).
故选B.
类型十四、坐标旋转中规律问题
14．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，
点 与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪
些特征；
若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 、 的
值．【答案】（1）见解析；（2） ； ；
【分析】(1)在坐标系中直接读出点的坐标即可，再由所读数值发现坐标之间的特征；
(2)由上问所得结论可求解a、b的值.
解： 由图象可知，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，
点 ；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
由 可知， ， ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查了图形在坐标系中的旋转，根据坐标系中点的坐标确定旋转特点，
从而确定旋转前后对应坐标之间的关系是解题关键.
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为
△
．已知 ，作点N关于点A的对称点N ，点 关于点B的
1
对称点 ，点 关于点C的对称点 点 关于点A的对称点 ，点 关于点B的对
称点 ，…，依此类推，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．（5，4）
【答案】A
【分析】先求出N 至N 点的坐标，找出其循环的规律即可求解．
1 6
解：由题意作出如下图形：
N点坐标为（-1，0），
N点关于A点对称的N 点的坐标为（-3，0），
1
N 点关于B点对称的N 点的坐标为（5，4），
1 2
N 点关于C点对称的N 点的坐标为（-3，-8），
2 3
N 点关于A点对称的N 点的坐标为（-1，8），
3 4
N 点关于B点对称的N 点的坐标为（3，-4），
4 5
N 点关于C点对称的N 点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
5 6
∴其每6个点循环一次，
∴2020÷6=336……4，
即循环了336次后余下4，
故N 的坐标与N 点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．
2020 4
故选：A．【点拨】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关
键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ，若将
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标为________．
【答案】
【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，
可把Rt BAC绕点B顺时针旋转90°得到 BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，
A′C′=AC△=2，于是可得到点A′的坐标． △
解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（-1，0），
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt BAC绕点B顺时针旋转90°得到 BA′C′，如图，
∴BC′△=BC=4，A′C′=AC=2， △
∴点A′的坐标为（1，-4）．
故答案为（1，-4）．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图
形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，
90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转．
类型十五、旋转综合题（旋转变换）15．如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝ ，
AC、BD交于M
（1）如图1，当 ＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当 ＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与 是否存在着确定的数量关系？
如果存在，请你用 表示∠AMD，不用证明；若不确定，说明理由．
【答案】（1）90；（2）120°；（3）存在，∠AMD＝180°﹣
【分析】（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出
∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，得∠AMK=∠BOK=90°可得结论．
（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，
由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°可得结论．
（3）如图3中，设OB交AC于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，
由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α；
解：（1）如图1中，设OA交BD于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKM=∠BKO，
∴∠AMK=∠BOK=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°．
故答案为90．
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKM=∠BKO，
∴∠AMK=∠BOK=60°，
∴∠AMD=180°-60°=120°，
（3）如图3中，设OB交AC于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKO=∠BKM，
∴∠AOK=∠BMK=α．
∴∠AMD=180°-α．
【点拨】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等．
举一反三：
【变式1】如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方形
ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 ，则第70次旋转结束时，点D的坐标
为（ ）
A． B． C． ） D．
【答案】D
【分析】先求出 ，再利用正方形的性质确定 ，由于 ，
所以第70次旋转结束时，相当于 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，
每次旋转 ，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特
征可出旋转后的点D的坐标．
解： ， ，
，
四边形ABCD为正方形，，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于 与正方形ABCD组成的图形绕
点O顺时针旋转2次，每次旋转 ，
点D的坐标为 ．
故选D．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和
图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ，
， ．
【变式2】如图，在 ABC中，AB=AC=4，将 ABC绕点A顺时针旋转30°，得到
ACD，延长AD交BC的△延长线于点E，则DE的长△为__________
△
【答案】
【分析】过点C作CH⊥AE于H点，利用旋转的性质可得∠E＝45°，再利用等腰直角
三角形的性质和勾股定理求出HD＝4﹣2 和EH＝CH＝2，即可解答.
解：根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．
∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．
∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．
∴∠E＝75°﹣30°＝45°．
过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt ACH中，CH＝ AC＝2，AH＝2 ．
△∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2 ．
在Rt CHE中，∵∠E＝45°，
∴EH＝△CH＝2．
∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2 ）＝2 ﹣2．
故答案为2 ﹣2．
【点拨】此题考查旋转的性质、等腰三角形的性质以及含特殊角的直角三角形的性质，
解题关键在于做出辅助线.
