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专题 7.4 数列求和
题型一 倒序相加法
题型二 分组求和法
题型三 并项求和法
题型四 奇偶数列求和
题型五 裂项相消法
题型六 含绝对值数列求和
题型七 数列求和与不等式
题型一 倒序相加法
例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算 可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当 时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1） ；
（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 ，
又 不符合 ，所以 .
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ，则 __________；
数列 满足 ，则这个数列的前2015项的和等于__________.
【答案】 /1007.5
【分析】根据 ，化简 即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【详解】由 ，
得 ，所以 ，
设数列 前 项之和为 ，
则 ，
，
两式相加得 ，所以 ，
即这个数列的前2015项的和等于 .
故答案为： ； .
练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数
，数列 满足 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得 ，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．令 ，
则 ，两式相加得 ，
∴ ．
故选:A
练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数 ，则
________.
【答案】 /
【分析】可令 ， ，利用倒序相
加法，将角度之和为 的两项结合（如 化简整理即可．
【详解】解： ，
，
令 ，①
，②
① ②得： ，
，即 ．
故答案为： .
练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 ，
则 ___________.
【答案】【分析】根据已知条件得 ，再利用倒序相加法即可求解.
【详解】由 ，得
，
所以 ，
设 ,
,
由 ，得
即 ，于是有 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______.
【答案】4042
【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..
【详解】由 ，令 可得， ，
且 ，
则，
所以，函数 关于点 对称，即
由已知， ，
又两式相加可得，
所以， .
故答案为：4042.
练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．求数列 的通项公式．
【答案】
【分析】通过 ，将已知 倒序相加得出 的式子，注意 是否满足即可.
【详解】 ；
时， ，
，
相加得 ，
所以 ，又 ，
所以对一切正整数 ，有 ；
题型二 分组求和法
例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列 的
各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于 的方程组，然后解出即可得答案；（2）利用分组求和法求出答案即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，解得 ，∴ ；
（2）由题可知 ，∴ ，
∴ ，
例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列 满足
， ．
(1)①求公差 ；
②求数列 的通项公式；
③设数列 的前 项和为 ，求使得 最小的 的值；
(2)若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
①求数列 的通项公式；
②求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)① ；② ；③ ，当 时， 取最小值
(2)① ；②
【分析】（1）①根据 直接求解；
②根据等差数列的通项公式可求得 的表达式；
③根据等差数列的求和公式可求得 ，利用二次函数的基本性质可求得当 取最小值时
的值；
（2）①求出数列 的通项公式，结合数列 的通项公式可求得数列 的通项公
式；
②利用分组求和法可求得 .
【详解】（1）解：①因为 ， ，则 ；
② ；
③ ，由二次函数的基本性质可知，当 时， 取最小值.
（2）解：①因为数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
所以， ；
②
.
练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列 的前 项和为 ，
公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解： ，解得 ，
；
（2）
.
练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线
段 ， ， 的中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ，
的中点，记 的面积为 ；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为
．(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得 ，即可求解通项，
（2）先利用并项求和法求得 为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，
然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知 , ，...，
由此可知 ，故 是以公比为 的等比数列，所以 .
（2）由 得 ， ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，
故 .
练习8．（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列 的前n项和为
，且 ， ，则使得 成立的n的最小值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
【答案】D
【分析】分 为奇数和 为偶数两种情况，得到 的通项公式，进而分 为奇数和 为偶数两种情况求和，解不等式，求出答案.
【详解】 ①，
当 时， ②，
两式相减得 ，
当 为奇数时， 为等差数列，首项为4，公差为4，
所以 ，
中，令 得 ，故 ，
故当 为偶数时， 为等差数列，首项为2，公差为4，
所以 ，
所以当 为奇数时，
，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时，令 ，解得 ，
当 为偶数时，令 ，解得 ，
所以 成立的n的最小值为 .
故选：D
练习9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)令 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算 ，确定 ，得到证明.
（2）计算 ，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.
【详解】（1） ，则 ，，
故 是以首项为3，公比为3的等比数列．
（2） ，故 ，
.
练习10．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足： ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1) ；
(2)1024144.
【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论求出 的通项公式.
（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）数列 满足： ， ， ，
当 时， ，数列 是首项 ，公差为2的等差数列，
因此 ，即当 为偶数时， ，
当 时， ，即 ，由 ，得
，
因此 ，即当 为奇数时， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知，
.
题型三 并项求和法
例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知公差不为零的等差数列 的首项为1，
且 是一个等比数列的前三项，记数列 的前 项和为 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前20项的和．
【答案】(1) ，
(2)210
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；
（2）利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，又 ，所以 ．
因为 是一个等比数列的前三项，所以 ．
即 又 ，所以
所以数列 的通项公式为 ，
（2）由（1）知数列 的前 项和
所以 ，数列 的前20项的和为
例6．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和 ；
（2）根据数列 的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可知，
即
解得 ，所以 ；
（2）由（1）可知， ，对于任意 ，有 ，
所以 ，
故数列 的前2023项和为
.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）设 是数列 的前n项和，已知 ，
.
(1)求 ， ；
(2)令 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，
（2）根据偶数项和奇数项的关系可得 ，进而根据分组求和即可.
【详解】（1）由 得 即
，即 ，又 ，所以 ，
（2）当 时， ，
当 时， ，
两式相加可得 ，得 ，
由于 ，所以
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，…， 是以
1为首项，1为公差的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 前2n项的和 ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意和等差数列前n项求和公式可得当 时， ，验证
符合该式即可；
（2）由（1）可得 ， ，结合等差数列前n项求和
公式计算即可求解.
【详解】（1）当 时，
，
又 ，符合上式，
∴ ；
（2）由（1）知， ，
，
∴
.
练习13．（2023·全国·模拟预测）记 为正项数列 的前 项和，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，由 可得出 的值，当 时，由
可得 ，两式作差可推导出数列 为等差数列，
确定该数列的首项和公差，即可求得数列 的通项公式；
（2）求得 ，计算出 ，然后分 为偶数、 为奇数两种情况讨论，利用分组求和法可求得 的表达式.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
整理得 ，
对任意的 ， ，则 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
故
（2）由（1）可知， ，则 ，
所以，对任意的 ， ，
当 为偶数时，设 ，
则 ；
当 为奇数时，设 ，则 ，
.
综上所述， .
练习14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足 ，其中 是数列 的前 项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前100项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 与 关系得数列 为等差数列，进而结合通项公式求解即可；
（2）结合题意得 ， ，进而
，再求和即可.【详解】（1）解：当 时， ， , ，
由 得当 时，递推得 ，
所以，两式作差得： ，即 ，
因为数列 各项均为正数，
所以 ，
又因为 ，
所以，数列 为等差数列，公差、首项均为 ，
所以 .
（2）解：由 得， ，
；
令 ，
则 .
练习15．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列 满足 （n≥2，
）， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）构造等比数列 ，再求其通项；
（2）利用等比数列求和公式以及分组求和法得出结果.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
所以 ，又 ，
∴ 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上 ．
题型四 奇偶数列求和
例7．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列 的前 项和为
，且 ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解，
（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由 ，得
所以数列 为等差数列．所以 ，得 ．
所以公差 ．所以 ．
（2）当 为奇数时， ．当 为偶数时 ．所以
例8．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比 ， ，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得 ，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为 是等比数列，公比为 ，则
，
所以 ，解得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，
当n为偶数时，
；当n为奇数时 ；
综上所述： .
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 求数列 的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，
然后两式相减得到 ，最后验证 时是否成立，即可得到 ；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最
后相加即可.
【详解】（1）当 时，可得 ，
当 时， ，
，
上述两式作差可得 ，
因为 满足 ，所以 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 ，
.所以数列 的前20项和为 .
练习17．（2023春·全国·高三期中）已知数列 满足 ，
，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由题意先求出 ，再根据 ，得 ，从而可得
，再利用构造法求出 的通项，从而可得 的通项公式；
（2）分 为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.
【详解】（1） ，得 ，
因为 ，即 ，解得 ，
由 ，得 ，
又 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
则 ，故 ，
所以 ；
（2）当 为偶数时，，
当 为奇数时，
，
综上所述， .
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且
，则 ______．
【答案】
【分析】令 ，然后由条件可得 ，然后求出数列的通
项公式，然后可算出答案.
【详解】令 ，
因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，所以数列 是首项为8，公比为2的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为：
练习19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列 的前 项和为
，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ，（ ）， ，（ ）
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前 项和公式，可求数列 的通项公式；
对于数列 ，当 时， ，先求出递推公式，从而得到 的通项公式；
（2）利用分组求和的方法可求数列 的前 项和 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得
，解得 ，所以 ，（ ）；
对于数列 ，由已知，当 时， ，得 ，
当 时， ， ，
两式相减，得 ，所以数列 为等比数列，
得 ，（ ）.
（2）由（1）可得设 ,
所以
练习20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列 满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出 ；B选项由
即可判断；C选项由 即可判
断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】 ，故选项A正确；
对于 ，有 ，
两式相加，得 ，则 ，故选项B正确；由 ，知 ，
则 ，故选项C错误；
由偶数项均为 ，可得 为偶数时， ，
则
，
则 ，故选项D正确.
故选：ABD.
题型五 裂项相消法
例9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列 前 项和为 ，
数列 前 项积为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）求得数列 的公差，由此求得 .利用 求得 .
（2）利用裂项相消求和法求得 .
【详解】（1） 是等差数列， ，
即： ，又 ，
，
.
又 ，
当 时， ，符合上式，
.
（2）由（1）可得： ，.
例10．（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等
差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）对 裂项，用累加法求数列 的通项公式.
【详解】（1）设 的公差为 ，首项为 ，因为
所以 解得
所以 .
（2）由题设 ，
所以当 时， ，
将上式累加可得： ，
又 ，则 .
又 ，也适合上式，故 .
练习21．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列
的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据裂项相消法求和即可.
【详解】因为 ，
所以数列 的前2022项的和为：
.
故选：D
练习22．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ .
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差得到
，当 时两边同除 ，即可得到 为常数数
列，从而求出 ，即可证明；
（2）设 的公差为 ，根据等比中项的性质得到方程，求出 ，即可求出 的通项，
再根据所选条件，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为 ，即 ，当 时 ，解得 ，
当 时 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
当 时上述式子恒成立，
当 时两边同除 可得 ，即 ，所以 为常数数列，即 ，
所以 ，即 ，
当 时上述 也成立，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ；
若选① ，则 ，
所以 .
若选② ，则
，
所以 .
若选③ ，则 ，
所以
.
练习23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得 ;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
（2） ,
所以
.
练习24．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 的前
n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 求通项公式；
（2）先根据 求出 ，再把 拆项为 ，然后求和．
【详解】（1）∵ ， ，当 时， ，∴ ．
由 ， ，两式相减可得： ．
∴ ，又 ．
∴ 是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴ ．
（2）因为 ，，
所以
.
练习25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列 ，其前 项
和为 ，且满足 ，数列 满足 ，其前 项和 ，设
，若 对任意 恒成立，则 的最小值是___________.
【答案】1
【分析】利用 ，得出 ，即可判断数列 是首项为3，公差
为2的等差数列，因此 ， ， ，
，根据 ，不等式 恒成立，转化为 ，不等式
且 恒成立，即可得出结论.
【详解】由题意知， ，且 ，
则当 时， ，
两式相减得 ，
所以 ，
而 ，即 ，
又 ，解得 ，
数列 是首项为3，公差为2的等差数列，因此 ，
则 ，
，，
数列 是单调递增的， ，
而数列 是单调递减的， ，
因为 ，不等式 恒成立，
则 ，不等式 且 恒成立，
因此 且 ，即有 ，
又 ，所以 的最小值是1.
故答案为：1
题型六 含绝对值数列求和
例11．（2023·河北·统考模拟预测）在正项数列 中， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意因式分解可得 ，即 ，再
根据等比数列的通项即可得解；
（2）分 和 两种情况去绝对值符号，再根据等比数列的前 项和公式即可得解.
【详解】（1）由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2） ，当 时， ，
当 时，
，
综上所述， .
例12．（2023·全国·高三对口高考）等差数列 中， 是它的前n项的和，且满足
.则 的最大值为__________；数列 的前n项和 __________.
【答案】
【分析】由已知得 ，进而求通项，根据 的正负，即可确定 取得最大值时 的值，
进而可求；由已知得 是首项为 ，公差为 的等差数列，由 ，得 时，
时， ，由此分类能求出数列 的前 项和.
【详解】∵ ，设等差数列 的公差为 ，
∴ ，∴ .
∴ ＝ .
∴当 时， ， 时， ，
∴当 时， 取得最大值，且最大值为 .
又因为等差数列 的前n项和为 ，
，
设 的前n项和为
当 时， ，
当 时，
因此故答案为： ； .
练习26．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列 的通项
公式为 ，那么满足 的整数k的个数为______．
【答案】2
【分析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对 进行讨论，进而求得
的表达式，解方程即可求得结果．
【详解】∵ ，
∴若 ，则 ，
∴ 与 矛盾，
∴ ，
∴
，
解得 或 ，
∴满足 的整数 ，5，即整数k的个数为2，
故答案为2．
【点睛】本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对
值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．
练习27．（2023春·高三课时练习）已知数列 的通项公式 ，则
（ ）
A．150 B．162 C．180 D．210
【答案】B
【分析】根据对勾函数性质得到数列单调性，再根据大小关系去掉绝对值符号得到答案.
【详解】由对勾函数的性质可知：
当 时，数列 为递减；当 时，数列 为递增.
所以
== = =162.
故选：B.
【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定数列单调
性是解题的关键.
练习28．（2022·高三课时练习）已知数列 是公比为3的等比数列，若 ，
则数列 的前100项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据数列 是公比为3的等比数列，求出 ，再判断出数列各项
符号后，去掉绝对值可求得结果.
【详解】∵ ，∴ .又∵数列 是公比为3的等比数列，
∴ ，可得 .
易得当 时， ，当 时， ，
∴数列 的前100项和
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据通项公式判断出各项符号，去掉绝对值符号求解是解题关键.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，设 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，证明数列 是首项为 ，公比为 的等比数列即可求解；
（2）结合（1）得 ，再分 和 两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：由 ，得 ，
两式相减，得 ，
所以 ，即 .
又因为 时， ，所以 ，
因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
（2）解：由（1）得 ，.
当 时， ，
当 时，
综上，
练习30．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和 ，
若 ，则 （ ）
A．578 B．579
C．580 D．581
【答案】B
【分析】由 的关系得出通项公式，再讨论 ， 两种情况，结合求和公式得出
.
【详解】当 时 ，
当 时， ，经检验 时，不成立.
故得到 .令 ，则 ，解得 ，且 ，
当 时，
，
当 时，
，
故： ， .
故选：B.
题型七 数列求和与不等式
例13．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知数列 满足
，设数列 满足： ，数列 的前
项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，
最后利用函数的单调性求出结果.
【详解】数列 满足 ，①
当 时， ，②
① ②得， ，故 ，
则 ，
则 ，
由于 恒成立，
故 ，整理得： ，
因 随 的增加而减小，
所以当 时， 最大，且为 ，
即 .
故选：D
例14．（河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数
学试题）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前 项和，则使不等
式 成立的最小正整数 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据等比数列得 ，利用裂项求和可得
，结合不等式的性质代入求解即可得答案.
【详解】因为数列 是首项和公比均为2的等比数列，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
不等式整理得 ，
当 时，左边 ，右边 ，显然不满足不等式；
当 时，左边 ，右边 ，显然满足不等式；
且当 时，左边 ，右边 ，则不等式恒成立；
故当不等式成立时 的最小值为9.
故选：B.
练习31．（2023春·北京·高三北京四中校考期中）已知数列 的前 项和
，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ；
(3)求使不等式 成立的最小正整数 的值.
【答案】(1) ，
(2)
(3)8
【分析】（1）根据 求出 ， 为公比为2的等比数列，由等
比数列的通项公式求出答案；
（2）利用错位相减法求和得到答案；
（3）在（2）的基础上，解不等式结合单调性得到答案.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
经检验， ，满足 ，
综上： ，
故 ，
因为 ①，当 时， ②，
两式相减得 ，即 ，
中，令 得， ，
故 为公比为2的等比数列，首项为1，
所以 ，
（2） ，
则 ，
两式相减得 ，
故 ；
（3） ，
因为当 时， ，又 单调递增，
故 在 单调递增，
又 ，又 ，
解得 ，故最小正整数 的值为8.
练习32．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及 的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得 ，在根据题意得 即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
∴ ，即 ，
∴当 时，
，
又 不满足上式，所以 .
（2）由（1）知 ，∴ ，
∴ ，①
，②
①−②得： ，
整理得 ，又因为对任意的正整数 ， 恒成立，所以 ，
∵ ，
∴ 在 上单调递增， ，
由 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
练习33．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知数列 的通项公
式为 ， 为数列 的前n项和.
(1)求 ；
(2)若对于 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用裂项相消法求和可得答案；
（2）根据 的表达式，求出 的范围，得到 的最大值，可得答案.
【详解】（1）因为 ，
所以
.
（2）当n为正奇数时， ，
且 随n的增大而增大，所以 ，所以 ，
当n为正偶数时， ，
且 随n的增大而减小，所以 ，所以 ，综上可得 且 ，则 ，
所以 的最大值为 （当且仅当 时取得）.
因为 恒成立，所以 恒成立，所以 ，
所以 的取值范围为 .
练习34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若
，求满足条件的最大整数 ．
【答案】2021
【分析】根据等比数列求和公式可得 ，结合 的取值
范围分析运算即可.
【详解】∵ ，
所以
，
因为 ，即 ，
∵ ，则 ，
故 ，则 ，
因为 为正整数，所以 的最大值为 .
练习35．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和 . 若存在
，使不等式 成立，求实数 的最大值.
【答案】【分析】利用裂项相消的方法得到 ，即可得到存在
，使 成立，然后根据函数 的单调性得到
，即可得到 .
【详解】解：因为一般项 ，所以
.
于是 ，即存在 ，使 成立.
因为 在 上单调递增，所以
，所以 ，
所以 .
故实数 的最大值是 .
