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北师大版七年级（下）期末数学试卷
一、选择题:(每道题只有一个正确选项,请将答题卡上的正确选项涂黑,每小题
3分,共30分)
1.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
称图形．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2.成人体内成熟的细胞的平均直径一般为0.00000073m，可以用科学记数法表示为
（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n由原数左边起第一个不为零的数字前面
的0的个数所决定．
【详解】0.00000073m＝7.3×10−7m；
故选：D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
4.下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则，合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】A． 无法计算，故此选项错误；
B． ，故此选项错误；
C． ，故此选项错误；
D． ，故此选项正确．
故选：D
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则，合并同类项法
则，正确掌握相关运算法则是解本题的关键．
5.在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C. D．
【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC于某点，因此只有C符
合条件，故选C．
6. 如图，直线a∥b，直线l与直线a相交于点O，与直线b相交于点P，OM⊥l于点O．
若∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据平行线的性质，垂线的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∵OM⊥l，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝35°，
故选：A．
7.如图，在 中， ， ，点 ， 分别是图中所作直线和射线与 ，
的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断
C、D．
【详解】
解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴ ， ；选项A、B正确；
∵ ，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵ ， ，∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴ ，选项D错误；
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是
解题的关键
8.如图，直线 ，点 是 上一点， 的角平分线交 于点 ，若 ，
，则 的大小为（ ）
A．136° B．148° C．146° D．138°
【答案】B
【解析】
【分析】
作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性
质可得结论．
【详解】
解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB=180°，∵∠2=116°，
∴∠MAB=180°-116°=64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB=∠BAC=64°，
△BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°，
∴∠ADC=180°-96°=84°，
△ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，
同旁内角互补．
9.若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（ ）
A．一定是负数 B．一定不是负数
C．一定是正数 D．N的取值与x、y的取值有关
【答案】B
【分析】
把N的式子进行化简，得出3（x-3）2+2（y+2）2，是两个非负数的和，所以N仍为非负数．
【详解】
】解：N=3x2+2y2-18x+8y+35，
=3x2-18x+2y2+8y+35
=3（x-3）2-27+2（y+2）2-8+35
=3（x-3）2+2（y+2）2≥0．
故选B．
10.如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于
E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，下列结论
正确的有( )个
① BF=AC
② AE= BF③ CE=BG
④△DGF 是等腰三角形
⑤S =S
四边形ADGE 四边形GHCE
A.2 B.3
C.4 D.5
【答案】B
【解析】三角形 BDC 为等腰 Rt△，BD=CD，∠DBF 和∠A 互
A
余，∠ ACD 和∠ A 互余，可知∠ DBF=∠ACD ，由此可证
△DBF≌△DCA（ASA）,故 BF=AC，①正确；BE 平分∠ABC， D
I
BE⊥AC，可知 E 为 AC 中点，故 ,故②正确； F E
G
连 接 GC ， 由 对 称 性 可 知 GC=BG ，
∠ECG=∠ECD+∠DCG=22.5°+22.5°=45°, 故 △ ECG 为 等
B H C
腰 Rt△ ， BG=GC=√2CE, 故 ③ 错 误 ；
∠DGF=∠DBG+∠BDG=67.5°,∠DFG=90°−22.5°=67.5°, 故 DG=DF ，
△DGF 是等腰三角形，故④正确；过点 G 作 GH⊥BD 交 BD 于点 H，则S =S ，
BGH BGI
则S >S ,而S =S ,相减可得：S <S ，故⑤错误。正确
BGD BGH ABE CBE 四边形ADGE 四边形GHCE
的为①②④，故选 B。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2021年中考山东济南卷）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若
往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______．
【答案】
【解析】
【详解】
解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中
的四等份，∴P =
（飞镖落在白色区域）
故答案为： ．
12.爸爸决定暑假带小明自驾去珠海长隆海洋王国，龙岗与珠海长隆海洋王国之间的距离大
约是210千米，若汽车以平均每小时70千米的速度从龙岗开往珠海长隆海洋王国，则
汽车距珠海长隆海洋王国的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系式可表示
为 ．
【分析】汽车距珠海长隆海洋王国的路程＝总路程﹣走过的路程，根据题意写出函数关
系式即可．
【解答】解：根据题意得：y＝210﹣70x．
故答案为：y＝210﹣70x．
13.若 ，则 ________．
【答案】47
【分析】
把 两边同时平方，可得 =7，两边再同时·平方即可得答案.
【详解】
∵ =3，
∴（ ）2=9，即 =7，
∴（ ）2=49，即 =47.
故答案为47
【点睛】
本题考查完全平方公式，（a+b）2=a2+2ab+b2，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关
键.
14.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，∠BAC＝60°，
∠EBC＝25°，则∠DAC＝ °．解：∵BE平分∠ABC，∠EBC＝25°，
∴∠ABC＝2∠EBC＝50°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
又∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E是BC边上两点，连接AD，以AD为腰作等腰直
角△ADF，∠ADF＝90°，作FE⊥BC于点E，FE＝CE，若BD＝2，CE＝5，则S CDF＝
△
___．
【答案】30
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥BC于H，得△ADH≌△DFE（AAS），得DH=EF=5，根据三角形面积公式即
可求得．
【详解】
解：过点A作AH⊥BC于H，
∴∠AHD=90°，
∵FE⊥BC，
∴∠DEF=90°，∵△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，
∠ADF=∠ADH+∠EDF=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠EDF=∠DAH，
在△ADH和△DFE中，
，
∴△ADH≌△DFE（AAS），
∴DH=EF，
∵CE=5，且FE＝CE，
∴DH=EF=5，
∴BH=CH=5+2=7（三线合一），
∴DC=DH+CH=12，
∴S CDF= DC×EF= ×12×5=30．
△
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的性质和判定，能证出△ADH≌△DFE是解题的
关键．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16.计算
（1） ．（2） ．
【答案】（1）3；（2）x
【解析】
【分析】
（1）先计算乘方运算，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，再根据积的乘方的逆运算计
算 ，再合并即可得到答案；
（2）先计算幂的乘方运算，单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案.
【详解】
解：（1）
；
（2）
原式
.
【点睛】
本题考查的是乘方运算，幂的乘方运算，负整数指数幂的运算，零次幂的含义，积的乘方
的逆运算，单项式乘以多项式，掌握以上运算的运算法则是解题的关键.
17.先化简，再求值
[（x﹣y）2+（2x+y）（x﹣y）]÷（3x），其中x＝1，y＝﹣2019
【答案】2020
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及多项式乘以多项式分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝＝
＝ ，
当x＝1，y＝﹣2019时，
原式=1-（-2019）=2020.
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确初中生每天睡眠
时间要达到9小时．为了解某校七年级学生的睡眠情况，小明等5名同学组成学习小组随
机抽查了该校七年级40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间（单位：小时）如下：
8；6.8；6.5；7.2；7.1；7.5；7.7；9 ；8.3；8
8.3；9 ；8.5； 8； 8.4 ；8 ；7.3 ；7.5； 7.3 ；9
8.3 ；6 ；7.5； 7.5 ；9 ；6.5； 6.6； 8.4 ；8.2 ；8.1
7 ；7.8； 8 ；9 ；7 ；9； 8 ；6.6； 7； 8.5
该小组将上面收集到的数据进行了整理，绘制成频数分布表和频数分布直方图．
平均每天睡眠时间频数分布表
分组 频数
1
7
6
13
2根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 ， ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校七年级共有360名学生，请你估算其中睡眠时间不少于9小时的学生约有多少人．
【答案】(1)5，6
(2)补全频数分布直方图见解析
(3)估计睡眠时间不少于9小时的学生约有54人
【解析】
【分析】
（1）统计出平均每天睡眠时间在 间的人数即可求得m的值；同理统计出平均每
天睡眠时间在 间的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）中求得的m与n的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用七年级的全部学生数乘所抽取的学生睡眠时间不少于9小时所占的百分比，即得七
年级学生睡眠时间不少于9小时的学生．
(1)
由题意知 的频数 ， 的频数 ，
故答案为：5、6；
(2)
补全频数分布直方图如下：(3)
估计睡眠时间不少于9小时的学生约有 （人 ．
【点睛】
本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本的率估计总体的率，用样本估计总体是本
题的难点．
19.疫情防控常态化后，防控部门根据疫情的变化，积极调配防疫资源．为了调配医疗物资，
甲、乙两辆汽车分别从A、B两个城市同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（v ＞v
甲
）前往B地、A地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往
乙
目的地，两车之间的距离s（km）和所用时间t（h）之间的关系的图象如图所示，请根据
图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）A、B两地相距 km；
（3）在如图中，x＝ ；
（4）甲车的速度为 km/h．【答案】（1）时间；两车之间的距离；（2）900；（3）12；（4）90
【解析】
【分析】
（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得A、B两地相距900km；
（3）根据“速度=路程÷时间”列方程解答即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可．
【详解】
解：（1）横轴是时间，纵轴是两车之间的距离，所以自变量是时间（或t），因变量是两
车之间的距离（或s）；
故答案为：时间；两车之间的距离；
（2）由图象可知，A、B两地相距900km；
故答案为：900；
（3）设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h，根据题意，得：
，
解得a=90，b=60且满足题意，
∴ ；
故答案为：12；
（4）由（3）可知，甲车的速度为90km/h．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
20.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，点 D 为 BC 的中点，
DE⊥AB，垂足为点 E，过点 B 作 BG∥AC 交 DE 的延长线于点 G，连接 CG（1）求证：△DBE≌△GBE
（2）求证：AD⊥CF C
（3）连接 AG，判断△ACG 的形状，并说明理由.
解：(1)证：∵三角形 ABC 中为等腰直角三角形 D
F
∴AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°
A B
∵BG∥AC E
∴∠CBG=90°
∴∠GBE=∠CBG−∠CBA=45°=∠DBE G
∵DE⊥AB
∴∠DEB=∠GEB=90°
在△DBE 和△GBE 中有：
{∠DEB=∠GEB
BE=BE
∠DBE=∠GBE
∴△DBE≌△GBE(ASA)
(2)证：∵△DBE≌△GBE
∴GB=BD
∵D 为 BC 的中点
∴CD=BD=BG
在△ACD 和△CBG 中有：
{
AC=BC
∠ACD=∠CBG
CD=BG
∴△ACD≌△CBG(SAS)
∴∠BCG=∠CAD
∴∠BCG+∠CDA=∠CAD+∠CDA=90°
∴∠CFD=90°
∴AD⊥CF
(3)△ACG 为等腰三角形。
∵△ACD≌△CBG
∴CG=AD
∵DE=EG,DG⊥AB
∴DG垂直平分 AB
∴AG=AD=CG
∴△ACG 为等腰三角形
21.阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据
图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为
a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出
图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；
（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3
＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【解析】
【分析】
(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形
的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形 ，再整体代入计算即可；(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答
案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝
10，进而拼图即可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【详解】
（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2） 图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为： ；
（3）利用（2）的结论，
可知 ，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5） （3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形
纸片，
画图如下：∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部
分的面积或体积与整体的关系得出答案．
22.如图，已知正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角），点E为边AB上异于点A、B
的一动点，EF∥AC，交BC于点F，点G为DA延长线上一定点，满足AG＝AD，GE的
延长线与DF交于点H，连接BH．
（1）判断△BEF是 三角形．
（2）求证：△AGE≌△CDF．
（3）探究∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定
值，请说明理由．解：（1）△BEF是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC∥EF，
∴△BEF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）证明：如图1，
∵△ABC和△BEF为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，即是AE＝FC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝AG，∠GAE＝∠DCF＝90°，
∴△AGE≌△CDF（SAS），
（3）∠EHB＝45°．
如图2，在GE上截取ME＝HF，∵△AGE≌△CDF，
∴∠AEG＝∠DFC
∴180﹣∠AEG＝180﹣∠DFC
即是∠MEB＝∠HFB，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BE＝BF，
∵BE＝BF，ME＝HF，∠MEB＝∠HFB，
∴△MEB≌△HFB（SAS），
∴∠MBE＝∠HBF，MB＝BH，
∵∠HBF+∠EBH＝90°，
∴∠MBE+∠EBH＝90°即是∠MBH＝90°
∴△MBH为等腰直角三角形，
∴∠EHB＝45°．
