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专题 7.5 数列的其他应用
题型一 分段递推数列求通项公式
题型二 公共项数列
题型三 插项数列
题型四 数列中的新定义问题
题型五 数列的结构不良
题型六 递推数列的实际应用
题型一 分段递推数列求通项公式
例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列 满足 ， 其中
，则数列 的前 项和 为______.
例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列 满足 ，
，则（ ）
A．
B．当 为偶数时，
C．
D．数列 的前 项和为
练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，
记 ，求数列 的通项公式．
练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列 满足，
， ，令 .
(1)写出 ， ，并求出数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前10项和.
练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列 的首项为
,数列 的前 项和小于实数 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列 满足：①
；② .则 的通项公式 ______；设 为 的前 项
和，则 ______.（结果用指数幂表示）
题型二 公共项数列
例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列 的通
项公式分别为 和 ，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合
中元素的个数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 是公差为3的等差数列，数列 是
公比为2的等比数列，且满足 ． 将数列 与 的公
共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列 ．
(1)证明：
(2)求数列 的前n项和 ．
练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列 与 的公共项
由小到大排列得到数列 ，则数列 的前n项的和为__________．
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，将数列 与数列 的公共项
从小到大排列得到新数列 ，则 __________.
练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列
的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 由 与 的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列 落在区间
内的项的个数．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）记 为公比不为1的等比数列 的前 项和，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若由 与 的公共项从小到大组成数列 ，求数列 的前 项
和 ．
练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数
学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几
何？”根据这一数学思想，所以被 除余 的自然数从小到大组成数列 ，所有被 除余的自然数从小到大组成数列 ，把 和 的公共项从小到大得到数列 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型三 插项数列
例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成
一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进
行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第
次得到数列1， ．记 ，若 成立，
则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列 的通项公式
，在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个4，使它们和
原数列的项构成一个新的数列 ，记新数列 的前n项和为 ，则 的值为______．
练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，
记数列 的前 项的和为 ，求 的值.练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值（用数字作答）．
练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记 为各项均为正数的等比数列 的前n
项和， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入n个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，求数列
的前n项和 .
练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ， ，且
.数列 满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 中的项按从小到大的顺序依次插入数列 中，在任意的 ， 之间插入
项，从而构成一个新数列 ，求数列 的前100项的和.
题型四 数列中的新定义问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列 ，定义 为数列 的一阶差分数列，
其中
(1)若数列 的通项公式 ，求 的通项公式；
(2)若数列 的首项是1，且满足 ，证明数列 为等差为数列.
例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，
例如 如何表示成两个整数的比值呢？ 代表了等比数列 的无限项求和，可通过计算该数列的前 项的和，再令 获得答案.此时
，当 时， ，即可得 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为无限循环小数
C． 为有限小数
D．数列 的无限项求和是有限小数
练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列 满足 ，则称数列
为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点 在函数 的
图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
(2)设 ，定义 ，且记 ，求数列 的前n
项和 ．
练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将 按照某种顺序排成一列得到数列 ，对
任意 ，如果 ，那么称数对 构成数列 的一个逆序对.若 ，则
恰有2个逆序对的数列 的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列 满足：对任意的 ，总存在
，使得 ，则称 为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若 ，则 为“回旋数列”；
②设 为等比数列，且公比q为有理数，则 为“回旋数列”；③设 为等差数列，当 ， 时，若 为“回旋数列”，则 ；
④若 为“回旋数列”，则对任意 ，总存在 ，使得 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列 中， （
， 为非零常数），则称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对
“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等差数列，又是等方差数列
练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列 满足：对任意的
，总存在 ，使 ，则称 是“ 数列”.
则下列数列是“ 数列”的有（ ）
A． B．
C． D．
题型五 数列的结构不良
例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设__________，求数列 的前 项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）
问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列 的前 项和为 ，在①，且 ；② ；③
， ，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列 是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求
的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，在①
且 ；② ；③ 且 ， ，这三
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列 满足______，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，记 为
的前 项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
① ；
② ；
③ .
(2)在（1）的条件下，若 ，求 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①
；② 这两组条件中任选一组，补充下面横线
处，并解答下列问题.已知数列 的前n项和是 ，数列 的前n项和是 ，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 .
练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知 是数列 的前 项和，①
， ，② ，且 ，③ ，
请从①②③中选择一个条件进行求解.
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使 恒成立？若存在，
求出 的最大值；若不存在，请说明理由.
练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列 中，
，_____，其中 ．
从①数列 的前 项和 ，② ，③ 且 ，这三个条件
中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列 的通项公式及前20项和 ．
题型六 递推数列的实际应用
例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和
最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望
月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过
若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列 满足 ，其中 均为正整数，且 ，
， ， ， ， ，…，那么第n级修正是“平均一年闰 个月”，
已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子
问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21 该数列的特点是前两项为1，从第三
项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契
数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛
的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 为该数列的前 项和，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． 为偶数
C． D．
练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文
化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造
就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石
头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第
个台阶的方法数为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式 ，分子质量
180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性
心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300 ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小
时服用200 .阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产
物水杨酸（分子式 ，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的 ，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这
个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位
）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230 .
练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学
家引入了“虫害指数”数列{I}，{I}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程
度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采
取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：I ＝1.02I﹣0.2．
+1
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：I ＝1.08I﹣0.46．
+1
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．
(1)设第一周的虫害指数Ⅰ∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？
1
(2)设第一周的虫害指数Ⅰ＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解
1
除？
练习29．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏
数的增长率为 ，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依
次为 为 的前 项和，则 ___________.（结果保留成整数）（参考数据：
）
练习30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号
柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子
全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小
的金属圆片上面．
若 ，则至少需要移动______次；
将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动______次．
