文档内容
专题 6.3 复数
题型一 复数的分类
题型二 复数的几何意义
题型三 复数模的计算
题型四 复数模的几何意义
题型五 复数的四则运算
题型六 的幂运算
题型七 待定系数法求复数
题型八 复数的三角表示（选学）
题型一 复数的分类
例1．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）已知复数 为纯
虚数，则实数m的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D． 或0
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义求解.
【详解】因为z是纯虚数，所以 ，解得 ．
故选：B．
例2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是虚数单位，复数 满
足 ，则复数 的共轭复数虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算直接求解得到 ，再由共轭复数的概念求解即可.
【详解】由题知，
复数 的共轭复数为 复数 的共轭复数虚部为 ，
故选：B.练习1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设 ，则“ ”是“
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出 ，最后确认是
充要条件.
【详解】依题意， ，
，
故 ，
若该式为纯虚数，则 ，解得 .
故选：C.
练习2．（2022·高三单元测试）（多选）设 是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，则 不一定是实数 B．若 ，则 是虚数
C．若 是虚数，则 D．若 是纯虚数，则
【答案】BD
【分析】因为 是复数，可设 ，先表示出 ，再根据四个选项的条件逐项验证即
可.
【详解】设 ，则 ，
对于A，因为 ，所以 ，因为 ，可得 ，即 ，所以 一定
是实数，所以选项A错误；
对于B，因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，即
，所以 是虚数，所以选项B正确；
对于C，若 是虚数，则 ，即 ，若 ，则
为虚数，不能和0比较大小，若 ，则 ，均不满足 ，所以选项C错
误；对于D，若 是纯虚数，则 且 ，即 ，所以 ，所以选项D
正确.
故选：BD.
练习3．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）当实数 取什么值时，复数
是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【答案】(1) 或
(2) 且
(3)
【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；
（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；
（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.
【详解】（1）由题意复数 ，
当 ，即 或 时，所给复数是实数.
（2）当 ，即 且 时，所给复数是虚数.
（3）当 ，即 时，所给复数是纯虚数.
练习4．（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试题）已知 为虚数单位，复数 满足
，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】设 ， ，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.
【详解】设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，解得 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：C
练习5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数 ，
则下列运算结果一定为实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.
【详解】设复数 （a， ， ）， ， （ ，
）， ，
对于A， ，虚部为0，则 一定为实数，故A正确；
对于B， ，虚部不为0，故 一定不为实数，故B不正确；
对于C，
，
若 ，则 不一定为实数，故C不正确；
对于D， ，
，故D正确.
故选：AD.
题型二 复数的几何意义
例3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点落
在第一象限，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简 ，根据 对应点所在象限列不等式，从而求得 的取值范围.
【详解】 ，
对应点 ，
由于点 在第一象限，
所以 ，解得 .
故选：A
例4．（2023春·全国·高三专题练习）已知 为实数，若复数 为纯虚
数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答.
【详解】因为复数 为纯虚数，则 ，解得 ，所以复数 在复平面内对应的点 位于第四象限.
故选：D
练习6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数 与 在复平面内
对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数对应点的对称关系得 ，应用复数除法化简目标式即得结果.
【详解】由 对应点为 ，则 对应点为 ，故 ，
所以 .
故选：D
练习7．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 ，
将 绕点 按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义结合图象可得.
【详解】
如图，由题意可知 ， 与 轴夹角为 ，
绕点 逆时针方向旋转 后 到达 轴上 点，又 ，
所以 的坐标为 ，所以 对应的复数为 .
故选：A.
练习8．（江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题）若 ，复数 与 在复平
面内对应的点分别为 ，则 （ ）A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用已知条件先求出 ，根据复数的意义，分别写出 坐标，再利用两点间的
距离公式计算即可.
【详解】由 ，
所以 ，
所以 ，
故 与 在复平面内对应的点分别为 ，
所以 ，
故选：A.
练习9．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数 所对应的点在第四象限，且满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出 ，再根据复数 所对应的点所在象限，即可求解.
【详解】因为复数 满足： ，即 ，
故 或 ，
因为复数 所对应的点在第四象限，
故复数 ，所以 .
故选:C.
练习10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，
记 ， ， 表示的复数分别为 ，记z为 所表示的复数，则
（ ）
A．25 B．8 C．5 D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义可得 ，求出 ，再
由共轭复数的定义和复数的乘法运算化简即可得出答案.
【详解】因为 ， ， 表示的复数分别为
所以 ，
，
则 ，那么 ，所以 .
故选：A．
题型三 复数模的计算
例5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）若复数z满足 ， ______．
【答案】
【分析】化简 ，然后用复数模的公式进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
例6．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）i是虚数单位，已知 ，写
出一个满足条件的复数 ．______．
【答案】 （答案不唯一，满足 （ ）均可）
【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.
【详解】设 ，（ ），
则 ， ，
因为 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，（ ）
所以可以取 .
故答案为： （答案不唯一，满足 （ ）均可）.
练习11．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数
，且 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法运算法则化简 ，由纯虚数的概念求出 ，由复数的除法运算
以及复数的模长公式可得结果.
【详解】复数 ，则 ，
依题意得， ，解得 ，即 ，，
所以 .
故选： .
练习12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知 为虚数单位，复数 ，则
______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算求得 ，可得 ，根据复数模的计算即得答案.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故答案为：
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，写出一个满足条件的复
数 ______．
【答案】 （答案不唯一，虚部为 即可）
【分析】设复数 ，代入复数的模的公式求解即可.
【详解】设 ，（ ， ），
则 ，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，化简得 ，解得 .
∴满足条件的一个复数 （答案不唯一，虚部为 即可）.
故答案为： （答案不唯一，虚部为 即可）.
练习14．（2023·全国·模拟预测）已知复数 ，则a＝（ ）
A．1 B．0 C．2 D．±1
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算和复数模的计算即可
【详解】
化简得
则解得 ，
故选：D．
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 为虚数单位，若复数 ，
，则 ______．
【答案】
【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得
．
【详解】因为
由 ，得 ，得 ．
故答案为： ．
题型四 复数模的几何意义
例7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数 满足 ，则 （ 为虚数
单位）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设 ，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到
，由此确定最大值.
【详解】由 可设： ，
，
（其中 ），
当 时，即 时，
.
故选：C.
例8．（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足 ，则 的最小值为
（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据 和 的几何意义，结合双曲线的图象即可得到 的最小值.
【详解】设复数 在复平面上对应的点的坐标为 ，则 表示点
到 的距离与到 的距离的差为4，
所以点 的轨迹为双曲线 的右支，图象如下所示：
表示点 到 的距离，所以 的最小值为3.
故选：A.
练习16．（2023春·湖北襄阳·高三宜城市第一中学校联考期中）已知复数 满足
，则在复平面中 对应的点所构成的图形的面积为__________.
【答案】
【分析】根据复数模的几何意义结合圆的面积计算，即可求得答案.
【详解】根据题意可知复数 满足 ，
则由复数模的几何意义知 对应的点所构成的图形为半径为2和 的两个同心圆所围成
的圆环，
则其面积为 ，
故答案为：
练习17．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知 ，则 （ 为虚数单位）的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 得到 ，由 ，得到 表
示单位圆上的点到点 的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】设 ，其中 ，由 ，可得 ，
根据复数 的几何意义可得复数 表示原点 为圆心，半径为 的单位圆，则 ，
可得 表示单位圆上的点到点 的距离，
因为 ，所以 的最大值为 .
故选：C.
练习18．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数z满足 ，z在
复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】转化为动点 到两定点 距离相等的几何意义即可得到答案.
【详解】设复数 在复平面内对应的点分别为 ,
则 的几何意义是 到 的距离和 到 的距离相等,
则 在复平面内对应的点 满足 .
故选：D.
练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）在复平面内，已知复数
满足 （ 为虚数单位），记 对应的点为点 ，z对应的点为点 ，则
点 与点 之间距离的最小值_________________
【答案】
【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离
公式，即可求解.
【详解】设 ，
，
,即 ，
化简整理可得 ，
复数 的对应点 的轨迹 ，
对应的点为点 ，
点 与点 之间距离的最小值为 ，
故答案为：
练习20．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据 分析出 对应点轨迹方程，再根据 的几何意义以及圆外一点到
圆上点的距离最小值求法求解出结果.
【详解】设 ，
因为 ，所以 ，即z在复平面内对应点的
轨迹为圆C： ，如图，
又 ，
所以 表示圆C上的动点到定点 的距离，
所以 为 ，
故选：B．
题型五 复数的四则运算
例9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若复数 为纯虚数，则实数
（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出 ，再结合复数的概念求解作答.
【详解】依题意， ，
因为复数 是纯虚数，且 ，则 且 ，解得 ，
所以 .
故选：D
例10．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求出 ，再根据共轭复数的定义得到 .
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B.
练习21．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知复数z 满足
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】 ，
所以
故选：D．
练习22．（2023·云南保山·统考二模）如果复数 （其中 为虚数单位，b为实数）为
纯虚数，那么 的模长等于（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，根据题意求得 ，结合复
数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数的运算法则得 ，
因为复数 为纯虚数，所以 且 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
练习23．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算化简复数 ，再求共轭复数即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
练习24．（2023·宁夏银川·校联考二模）规定运算 ，若复数 满足
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给运算及复数代数形式的乘法运算化简即可.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故选：D
练习25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求其模.
【详解】由题设可得 ，故 ，
故 ，
故选：B.
题型六 的幂运算
例11．（2023·山东·模拟预测）若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先由 ，再代入 求解.
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
，
故选：B
例12．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 为虚数单位，
，则复数 在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据复数的乘方求出 ，再根据复数的除法运算即可得解.
【详解】因为 ，
则 ，
所以 在复平面上所对应的点为 位于第二象限.
故选：B.
练习26．（2021春·高三课时练习）计算： ＝________.
【答案】9＋2i
【分析】利用 的周期性、复数的四则运算计算求解.
【详解】原式＝
＝（－i）14＋10＋i－
＝－1＋10＋i＋i
＝9＋2i.
故答案为：9＋2i.
练习27．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）已知 （i是虚数单位），则
（ ）
A． B．1 C．0 D．i【答案】B
【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.
【详解】由题意 ,
故选：B
练习28．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘、除法运算可得 ，由复数的乘方可得 ，即可
求解.
【详解】依题意： ，
所以 ， ， ，得 ，
所以 ．
故选：A．
练习29．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则在复平面内，复
数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象
限.
【详解】∵ ，
∴复数z所对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D.
练习30．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用 的性质求解 ，再求模即可．
【详解】 .
故选：C.
题型七 待定系数法求复数
例13．（2023·浙江·校联考二模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算规则计算.
【详解】 ；
故选：B.
例14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，
其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设复数 ，则 ，根据复数的加减法与复数相等求得结果.
【详解】设复数 ，则 ，
则 ，则 ， ，
所以 ．
故选：C.
练习31．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知复数 对应的点在复平面第一象限内，
是 的共轭复数，那么同时满足 和 的复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出复数 ，由共轭复数的定义可得 ，依题意列出方程组
即可求出复数 ，再结合复数 对应的点在复平面第一象限，即可判断.【详解】设 ，则 ，
由 ，得： ，所以 ，
由 ，得： ，所以 ，
又因为复数 对应的点在复平面第一象限内，所以 ，故 ，
故选：B．
练习32．（2023·江西九江·统考三模）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设 ，然后根据复数的四则运算求出 ，然后代入复数模
的计算公式即可求解.
【详解】设 ，则 ，
即 ，
，解得 ， ， .
故选： .
练习33．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【分析】根据复数相等的充要条件可得 ，进而得 ，由模长公式即
可求解.
【详解】设 ， ，
， ，
， ，
.
故选：A
练习34．（2023·江西南昌·统考三模）若虚数z使得 是实数，则z满足（ ）A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是
【答案】A
【分析】设 （ 且 ），计算 ，由其为实数求得 后可得．
【详解】设 （ 且 ），
，
是实数，因此 ， （舍去），或 ．
故选：A．
练习35．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】首先设复数 ，( 不同时为0)，根据条件化简求得 的关系式，再根
据复数模的几何意义求最值.
【详解】设 ，( 不同时为0)，
，
由题意可知 ，得 或 ，
当 时， 的轨迹是 轴（除原点外），此时 的几何意义表示复数表示的点和
的距离，此时 ，
当 时，复数 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离，如图可知，
的最小值是点 与 的距离 .
故选：C题型八 复数的三角表示（选学）
例15．（2023·全国·高一专题练习）复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设， ，故A、C、D错误；
而 ，故B正确.
故选：B
例16．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在复平面内，把与复数
对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为______（用代数形
式表示）．
【答案】
【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.
【详解】复数 对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数
为
.
故答案为： .
练习36．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据复数三角形式直接得到答案.【详解】复数的三角形式为 ，
所以只有B、C正确，
故选：BC.
练习37．（2022春·高三课时练习）把复数 化三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形公式 求解求解即可.
【详解】设复数的三角形式为 ,则 , ,可取
,
从而复数 的三角形式为 .
故选:C.
练习38．（2022春·高三课时练习）求复数 的辐角的主值为________.
【答案】
【分析】将复数写成三角形式，再根据辐角的定义即可得解.
【详解】 ，
所以复数 的辐角的主值 .
故答案为： .
练习39．（2022春·高三课时练习）已知复数 对应的向量绕原点逆时
针旋转 后得到的向量对应的复数为 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【详解】逆时针旋转 后得 ，所以
= .
故选：A
练习40．（2022春·高三单元测试）在复平面内，把复数 对应的向量绕原点逆时针旋
转 后所得向量对应的复数为 ，绕原点顺时针旋转 后所得向量对应的复数为
(1)求复数 ；
(2)若复数 ，求复数 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数；
(2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可.
【详解】（1）复数 逆时针旋转 后得
,
顺时针旋转 后得 .
（2）由（1）得 .
