文档内容
专题 1.1 集合
题型一 利用集合元素的特征解决元素与集合的问题
题型二 集合与集合之间的关系
题型三 集合间的基本运算
题型四 集合间的交并补混合运算
题型五 Venn 图
题型六 集合的含参运算
题型一 利用集合元素的特征解决元素与集合的问题
例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若 ，则实数 的值为______.
【答案】
【分析】分 ， 分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.
【详解】解：当 时，
则 不满足元素的互异性，
故 ；
所以 ，解得: (舍)或 ，
故实数 的值为 .
故答案为：2.
例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的
元素个数是______________
【答案】7
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，
s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若 ，则 __________.
【答案】 .
【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得 所以 .
故答案为：-101.
练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合 ，
，则集合 中的元素个数为________．
【答案】
【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合 ，由此可得元素个数.
【详解】由题意得：
，
中元素个数为 .
故答案为： .
练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合 ， ，若 ，则
______.
【答案】
【分析】根据集合相等可得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】由集合元素的互异性可知 ，则 ，因为 ，则 ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合 ， ，若
，则 __________．
【答案】
【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.
【详解】由集合 ， ，
若 ，则集合B中 或 ，
若 ，则 或 舍去 ，此时 且 ；
若 ，则集合A中 ，不符合集合中元素的互异性，不成立，
综上，
故答案为：
练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成，则 _____．
【答案】1
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】因为 ，
显然 ，故 ，则 ；
此时两集合分别是 ，
则 ，解得 或 .
当 时，不满足互异性，故舍去；
当 时，满足题意.
所以
故答案为： .
题型二 集合与集合之间的关系
例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合 ， ，则集合
B的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到集合 ，然后根据集合 中元素的个数求集合 的真子集个数即可.
【详解】由题意得 ，所以集合 的真子集个数为 .
故选：C.
例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：① ，② ，③
，④ ，⑤ ，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．
【详解】由元素与集合的关系可知 ，故①错误；
由集合与集合的关系可知 ，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．
故选B．
练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合
， .
(1)求
(2)求 的子集个数
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据补集的定义即可得解；
（2）根据交集的定义求出 ，再根据子集的定义即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 或 ；
（2） ，
所以 ，
所以 的子集个数有 个.
练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合 第一象限的角 ， 锐
角 ， 小于90°的角 ，给出下列四个命题；① ；② ；③ ；④
.其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.
【详解】 {第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．
{锐角}，是指大于 而小于 的角．
{小于 的角}，小于 的角包括锐角，零角和负角．
根据集合的含义和基本运算判断：① ，①错误；
② ，比如， ，但 ，②错误；
③ ，比如 ，但 ，③错误；
④ ，④错误；
正确命题个数为0个．
故选：A．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，
则A∩B的子集个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据集合 与集合 中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关
系，确定交集中元素的个数，进而求解.
【详解】集合 表示以 为圆心， 为半径的圆上的所有点，
集合 表示直线 上的所有点，
因为直线 经过圆心 ，所以直线与圆相交，
所以 的元素个数有2个，则 的子集个数为4个，
故选： .
练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合 ，且 ，若 ，
，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】B
【分析】求得集合 ，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合 且 ，其非空真子集的个数为
.
故选：B
练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
【答案】BD
【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD的正
误；选项B ，通过解方程，可求出集合 中的元素，从而判断出选项B正
确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合 与
间的关系，从而判断出选项C错误.
【详解】对于选项A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选
项A错误；对于选项B，由 ，得到 或 ，所以 ，所以选
项B正确；
对于选项C，因为 ， ，所以
，所以选项C错误；
对于选项D，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确.
故选：BD
题型三 集合间的基本运算
例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.
【详解】解：由题意得 ，
，
故选：D.
例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用补集的定义求解作答.
【详解】集合 ，而全集 ，
所以 .
故选：A
练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由条件可知， ， ，
所以 ．
故选：C.
练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试题）已知
集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集运算可得.
【详解】因为
所以 .
故选：B
练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， .
故选：C.
练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算 ，再计算补集得到答案.
【详解】 ，则 .故选：B
练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.
【详解】集合 ，即 ，
，则 ，所以 .
故选：B
题型四 集合间的交并补混合运算
例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解出集合 或 ，再根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】 ，解得 或 ，
则 或 ，则 ，
故 ，
故选：A.
例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试题）已知集
合 ，则下列集合为空集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合 ，然后利用集合的运算逐项
进行判断即可求解.
【详解】集合 ，集合 ，
所以 ， ，
对于 ， ，故选项 不满足题意；对于 ， ，故选项 满足题意；
对于 ， ，故选项 不满足题意；
对于 ， ，故选项 不满足题意，
故选： .
练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试题）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合的运算求解.
【详解】 .
故选：B
练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集 ，
，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可知集合 中的元素，再由 即
可求得集合 .
【详解】由 知，
又因为 ，
所以 .
故选：A.
练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集 ，集合
， ，则集合 中的子集个数为
（ ）
A．1 B．2 C．16 D．无数个
【答案】B
【分析】首先求集合 ，再求集合的运算.
【详解】先求 ， ，所以 ，则，
所以子集的个数为 .
故选：B
练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集 ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合的交并补运算即可求解.
【详解】 ， ，故 ．
故选：C．
练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
则 ，因此， .
故选：C.
题型五 Venn图
例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合 ， ，则下列
Venn图中阴影部分可以表示集合 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】化简集合M，N，根据集合的运算判断 为两集合交集即可得解.
【详解】 ， ，
,
由Venn图知，A符合要求.
故选：A
例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集 ，集合 和集合 都是 的非空子
集，且满足 ，则下列集合中表示空集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 图表示集合 ，结合图像即可找出表示空集的选项.
【详解】由 图表示集合 如下：
，
由图可得 ， ， ， ，
故选：D
练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合 ，将集
合 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.
【详解】 ，
所以:
A选项，阴影部分表示 ，不符合题意.
B选项，阴影部分表示 ，符合题意.
C选项，阴影部分表示 ，不符合题意.
D选项，阴影部分表示 ，不符合题意.
故选：B
练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集 ，集合
， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】全集为U，集合 ， ，
,图中阴影部分表示是 去掉 的部分，故
表示的集合是 ．
故选：D．
练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图， 为全集， 是 的三个子集，
则阴影部分所表示的集合是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】分析出阴影部分为 和 的子集，从而选出正确答案.
【详解】图中阴影部分是 的子集，不属于集合 ，属于集合 的补集，即 的子集，
满足要求的为 ，均表示阴影部分,BD不合要求.
故选：AC
练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该
班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学
占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史
感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
【答案】C
【分析】根据公式 列方程求解即可.
【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得 ％，
故选：C.
练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合 ， ，
能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合 ，结合题意及集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，根据图中阴影部分表示集合 中元素除去集合 中的元素，即为 .
故选：B.
题型六 集合的含参运算
例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试题）已知集合 ， ，
且 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.
【详解】由题意可得： 或
若 ，此时 ，集合 的元素有重复，不符合题意；
若 ，解得 或 ，显然 时符合题意，而 同上，集合
的元素有重复，不符合题意；
故 .
故选：B
例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合 ，
，且 ，求实数m的值.
【答案】 或 或
【分析】分 和 两种情况讨论，结合已知即可得解.
【详解】 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
综上所述， 或 或 .
练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合 ，或 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意，先求出集合 的补集，再利用集合的并集运算求解即可；
(2)根据集合的包含关系分 和 两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1）若 ，则集合 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为集合 ， 或 ，
因为 ，所以分以下两种情况：
若 ，即 ，解得 ，满足题意，
若 ，则
解得 ，
综上所述a的取值范围为
练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合 或
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】先求出 ，根据 ，可求得结果.
【详解】由集合 或 ，得 ，又集合
且 ，则 2或 ，即 或 .
故选：B.
练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合 ， ，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（3,4） C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.
【详解】由已知可得，集合 ， ，
因为 ，所以 ，（注意端点值是否能取到），
解得 ，
故选：B．
练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集 ， ，
．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.
（2）求出 ， ，分 ，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 或 ， ；
（2） 全集 ， ，
或 ，
，
分 ，两种情况讨论.
（1）当 时，如图可得， 或 ，
或 ；
（2）当 时，应有： ，解得 ；综上可知， 或 ，
故得实数 的取值范围 .
练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，全
集
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；
（2）分 与 由条件列不等式求范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 .
（2）由题可得：当 时，有 ，
解得a的取值范围为 ；
当 时有 ，解得a的取值范围为 ，
综上所述a的取值范围为 .
