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专题 4.5 恒成立问题和存在性问题
题型一 最值法
题型二 分离参数法
题型三 分类讨论法
题型四 指对数同构
题型五 双变量问题
题型一 最值法
例1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的 及任意的
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 对任意的 恒成立，分类讨论 ， 和
，当 时， ，令 ，对 求导，求出 的最大值，
即可得出答案.
【详解】因为对于任意的 及任意的 ，不等式 恒成立，
则 对任意的 恒成立，
所以 ，
则 对任意的 恒成立，
当 时，成立；
当 时， 时，不等式左边 ， ，所以 不成立；
当 时， ，
令 ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 有最大值，
所以 ，
所以 ，
综上， .
故选：A.
例2．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数 .
(1)若直线 是函数 图像的一条切线，求实数 的值；
(2)若 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义列方程求 的值；
（2）原不等式可化为 ，设 ，由已知 ，讨论 ，
利用导数研究 的单调性，由此确定 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，导函数 ，
设切点 ，
则 ，
解得， ，
所以 ；
（2）不等式 可化为： ，
因为 ，所以 ，
设 ，由已知令 ，则 ，
令 ，则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 单调递增，又 ，则 ，即 ，
所以 在 单调递增， 的值域为 .
①当 时，即 时， ，
则 在 单调递增，又 ，所以 恒成立，符合.
②当 时，即 时
，当 时， ，
所以存在 ，使 ，
则当 时， ，函数 在 上单调递减，而 ，
所以 对 成立，不符合.
综上，实数 的取值范围是 .
练习1．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，若存在 使得
，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】将条件存在 使得 转化为在区间 上 ，求 ，
再根据导函数的性质即可求得在区间 上的 ，进而解不等式即可．
【详解】存在 使得 等价于在区间 上 ，
由 ，则 ， ，
若 ，则 ，此时 单调递减，所以 成立；
若 ，当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时单调递减，
如果 ，则 ，得 ；
如果 ，则 ，得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
练习2．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数 ，
若存在实数x使不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将题给不等式转化为存在实数x使不等式 成立，利用导
数求得 的最小值，进而求得实数 的取值范围.
【详解】存在实数x使不等式 成立，
即存在实数x使不等式 成立，
令 ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
则当 时， 取得最小值 .
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
则当 时， 取得最小值 .
又 ，则 最小值为 ，
则 ，即
故选：B练习3．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，关于x的不等式 恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求a.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用导数研究 的单调性，进而可得 ，并求出
，即可确定m的范围；
（2）根据 的值域及 的最小值为1排除 、 ，构造 并应用导数
研究函数符号，放缩法求 最值，即可得参数值.
【详解】（1）当 时 ，则 ，令
，
当 时 ， 递减，当 时 ， 递增，，
所以 ， ，
要使 恰有两个整数解，则 .
（2）若 ，当 趋向 时 趋向于0，此时 最小值不为1，舍去.
由（1）知： 时 最小值为0，此时 最小值不为1，舍去.
所以 ，则 ，
令 ，则 ，故 时 ， 时 恒成立，
所以 在 上递减，在 上递增，且 ，即 恒成立，
所以 ，仅当 ，即 时
取等号，令 ，则 ，故 时 ， 递减， 时 ， 递增，
所以 ，且 时 ， 时 ，
综上， ，即 时， 成立.
此时 ，要使 的最小值为1，即 .
练习4．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有
在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数研究 单调性，得极小值 ，将问题转化为
在 上恒成立，再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.
【详解】由题设 且 ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，显然 趋向0时 趋向 ， ，
故 使 ，即 ，则 ，
所以，在 上 ， 递减；在 上 ， 递增；
故 ，
要 在 上恒成立，则 ，即 恒成立，
令 且 ，则 ，故 时 ， 时 ，
所以 上 递减， 上 递增，则 ，
且当 时， ,
综上， ，可得 .
故选：C
练习5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）若不等式
在 有解，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到 ，不等式变形得到 ，换元后令
，问题转化为存在 ，使得 ，求导后得到 的
单调性，结合 ，得到当 时， ，比较端点值得到答案.
【详解】由 有意义可知， ，
变形为 ，
即 ，
令 ，即有 ，
因为 ，所以 ，
令 ，问题转化为存在 ，使得 ，
因为 ，
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
而 ，所以当 时， ，
若存在 ，使得 成立，只需 且 ，
解得 .故选：D
题型二 分离参数法
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于 ，均
有 ，则实数b的取值范围为_____
【答案】
【分析】分离参数可得 在 上恒成立，设 ，
利用导数求其最小值即可.
【详解】由题得 在 上恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，则
，则 .
故实数b的取值范围为 ．
故答案为: .
例4．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知 ，
.
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)对一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据m分类，利用导数求单调区间即可；
（2）参变分离，构造函数 ，然后利用导数求其最大值可得.
【详解】（1）因为 ，则 ，令 可得 .
①当 时，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ；②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为
所以，对一切实数 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
可得 ，即 ，
令 ，其中 ，
则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，则 ，解得 .
所以a的取值范围为
练习6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求
出切线方程，由方程求出切线与 轴的交点即可求出三角形的面积.
(2) 令 ，则只要函数 在区间 的最小值小于 即可.通过求导讨论
函数 的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出a的取值范围.【详解】（1）当 时， ，
，所以曲线 在 处的切线的斜率 ，又 ，
切线方程为 .
与 轴的交点分别是 ，
切线与坐标轴围成的三角形的面积 ·
（2）存在 ，使 即 ，即 .
即存在 ，使 成立.
令 ，因此，只要函数 在区间 的最小值小于 即可·
下面求函数 在区间 的最小值.
，
令 ，因为 ，
所以 为 上的增函数，且 .
在 恒成立·
在 递调递增，
函数 在区间 的最小值为 ，
，得 .
【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问
题，在这类问题中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若 在给定
区间内恒成立，则 要大于 的最大值；若 在给定区间内能成立，则 只需要
大于 的最小值.
练习7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知
.(1)求函数 的最小值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切 ，都有 成立．
【答案】(1)最小值为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数来求得 的最小值.
（2）由 分离常数 ，利用构造函数法，结合导数求得 的取值范围.
（3）求得 的最大值，从而证得不等式 成立.
【详解】（1） 的定义域是 ， ，
所以 在区间 递减；
在区间 递增.
所以当 时， 取得最小值 .
（2）存在 ，使 成立，
即 能成立，
即 能成立，
设 ，
，
所以 在区间 递减；
在区间 递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 .
（3）设 ， ，所以在区间 递增；
在区间 递减，
所以当 时， 取得最大值 .
由（1）得，当 时， 取得最小值 ，
所以对一切 ，都有 成立.
练习8．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数
，对任意 ，存在 ，使 ，则 的最
小值为（ ）．
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，将 都用 表示，从而可将 构造出关于 的函
数，再利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】解：由题意，令 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
令 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有最小值 ，
即 的最小值为 .
故选：D．
练习9．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若不等式
对 恒成立，则整数 的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】参变分离后，通过二次求导，结合隐零点得到最小值，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以问题转化为 对任意 恒成立.
令 ，则 ,
令 ，则 对 恒成立，
所以 在 上单调递增.
因为 ，
故 ，使得 .
因此当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增.
故 ，
所以整数 的最大值为2 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
练习10．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1) 在 单调递增，在 单调递减
(2)1
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；
（2）不等式恒成立求参数取值范围问题，分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值问题即可求解.
【详解】（1）由 定义域为
又
令 ，显然 在 单调递减，且 ；
∴当 时， ；
当 时， ．
则 在 单调递增，在 单调递减
（2）法一：∵任意的 ， 恒成立，
∴ 恒成立，即 恒成立
令 ，则 ．
令 ，则 在 上单调递增，
∵ ， ．
∴存在 ，使得
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减，
由 ，可得 ，
∴ ，
又
∴ ，故 的最小值是1．
法二：
∴ 恒成立，即 恒成立
令
不妨令 ，显然 在 单调递增 ．∴ 在 恒成立．
令
∴当 时， ；
当 时， 即 在 单调递增
在 单调递减
∴
∴ ，故 的最小值是1．
题型三 分类讨论法
例5．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数 ， .
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围.
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）构建 ，分类讨论，利用单调判断原函数单调性，结合恒
成立问题分析运算；
（2）由（1）分析可得： ，进而可得 ，构建
，利用导数证明 ，进而可得结果.
【详解】（1）构建 ，
原题意等价于 恒成立，
可得 的定义域为 ，且 ，
当 时，且 ，则 ，可得 恒成立，
则 在 上单调递减，且 ，不合题意；
当 时，且 ，则有：
令 ，解得 ；令 ，解得 ；可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围 .
（2）由（1）取 可得： ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时，则 ，可得 ，即 ，且 ，
所以 ，
即 时， ；
构建 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 恒成立，
则 在 上单调递减，可得 ，
即 ；
所以当 时， .
6．（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题）已知函数 ，
.
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2) .
【分析】（1）求出导函数，分类讨论 的取值，判断导函数的符号，即得；
（2）先采用内点效应得出 ，再用恒成立问题的处理方法即可.
【详解】（1）依题意 .若 ，则 ，故当 时， ，当 时， .
若 ，令 ， ，令 ，解得 或 .
①若 ，则 .
②若 ，则 .
③若 且 ，令 ，得 ， .
若 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ；
若 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，当 时， .
综上所述：若 ，则 在R上单调递增；
若 ，则 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，则 在 和 上单调递减，
在 上单调递增；
若 ，则 在R上单调递减；
（2） .
设 ，则 ，
因为 恒成立，注意到 ，
故 是 的极小值点，
故 ，所以 .
即对任意 ， 恒成立.①若 ，则当 时， ，不符合条件，舍去.
②若 ，则 .
下证： ，令 ，
则 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 ，即 ，
故 .
综上所述，实数m的取值范围为 .
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 当 时，若
对于区间 上的任意两个不相等的实数 ，都有 成立，
则实数 的取值范围__________.
【答案】
【分析】求出 的单调性，将绝对值去掉后得 ，构造新函
数 ，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数 的取值范围
【详解】不妨设 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，即 .
又因为 在 上也单调递增，所以 .
所以不等式 即为 ，
即 ，
设 ，即 ，
则 ，因此 在 上单调递减.
于是 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，即 在 上单调递增，因此 在 上的最小值为 ， 所以 ，
故实数 的取值范围是 .
故答案为：
练习12．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围是_____.
【答案】 .
【分析】令 ，不等式转化为 在 恒成立，令
，求得 ，当 时，得到 单调递增，结合 时，
，不符合题意；当 时，求得函数单调性和最小值 ，得到
，即可求解.
【详解】令 ，由 时，可得 ，则 ，
则不等式 ，即为 在 恒成立，
令 ，可得 ，
当 时，可得 ，可得 单调递增，
因为 时， ，不符合题意，舍去；
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，即为最小值 ，
因为不等式 恒成立，即为 恒成立，
则满足 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习13．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ．
(1)讨论 在 上的单调性；
(2)若对于任意 ，若函数 恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)在 单调递增，在 单调递减．
(2)
【分析】（1）运用导数研究函数的单调性即可.
（2）令 ，分别讨论 时 ， 时存在一个 使得
， 时， 恒成立即可.
【详解】（1） ，
，则 ； ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
（2）令 ，有
当 时， ，不满足；
当 时， ，
令 ，
所以 在 恒成立，
则 在 单调递减，
， ，
①当 ，即 时， ，
所以 在 单调递减，
所以 ，满足题意；
②当 ，即 时，
因为 在 单调递减， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，所以 在 单调递增，
所以 ，不满足，舍去.
综上： .
【点睛】恒成立问题解题策略
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立 ；
恒成立 ⇔ ；
方法2：根据不等⇔式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借
助函数单调性求解．
练习14．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 在
上恒成立，则实数a的取值范围________．
【答案】
【分析】令 ，再分 和 两种情况讨论，当 时，不等
式即为 在 上恒成立，令 ，即
，易得函数 在 上递增，则 在
上恒成立，即 ，构造函数 ，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】令 ，
当 时， ，当 时， ，
此时 ，显然题设不成立，
当 时， 在 上恒成立，
即 ，
即 在 上恒成立，令 ，即 ，
因为 ，所以函数 在 上递增，
所以 在 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
而 ，
所以 时， 在 上恒成立，
当 ，即 时，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
综上所述，实数a的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通
过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
练习15．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 ，若不等式
对 恒成立，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】将不等式等价转化，构造函数 ，并探讨其性质，再利用导数分
类讨论 的值域即可求解作答.【详解】
，
令 ，则 ， ，设 ，则
，
当 时, ，且等号不同时成立，则 恒成立，
当 时， ，则 恒成立，则 在 上单调递增，
又因为 ，因此存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时, ，
所以函数 在 上单调递减，在 , 上单调递增,
又 ，作出函数 的图像如下：
函数 定义域为 ，求导得 ，
①当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，
当 时， 的取值集合为 ，而 取值集合为 ，
因此函数 在 上的值域包含 ，
当 时， 的取值集合为 ，而 取值集合为 ，
因此函数 在 上无最小值，从而函数 的值域为R，即 ， ，
不合题意，
②当 时，由 得 ，由 得 ，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，
，当 时， 的取值集合为 ，
而 取值集合为 ，因此函数 在 上的值域包含 ，此时函数 的值域为 ，即 ，
当 时，即当 时， 恒成立，符合题意，
当 时，即当 时， ，结合图象可知， ，不
合题意，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
题型四 指对数同构
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 在区间 上有解，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式等价转化，构造函数 ，利用导数判断单调性，把问题转化为
在 上有解，构造函数 ，利用导数法求解最值即可求解范围.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
构造函数 ，
则原问题可转化为 在区间 上有解，
当 时， ，因为 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上有解，即 在 上有解，
构造函数 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .故选：B.
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新
函数，用导数研究单调性，利用单调性求最值即可求解范围.
例8．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知不等式 对任意 恒成立，
则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】将原不等式化为 并构造 ，依据单调性知
恒成立，再构造 ，利用导数研究单调性求最值，即可求范围.
【详解】由 得 ，即：
令 ，则 ．
∵ 为R上的单调递增函数，
∴ ，即 恒成立．
令 ，则 ，
故在 上 ，在 上 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
∴ ，故 ，即 .
故答案为：
练习16．（2023春·湖北·高二校联考期中）若存在正实数 ，使得不等式
成立（ 是自然对数的底数），则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同构法将题给不等式转化为 ，再构造函数 ，并利用导
数求得其最大值，进而求得 的最大值.
【详解】设 ，则 ，
则 在 上单增，
则
设 ，则 ，
当 时， ，当 时，
得 在 上单增，在 上单减，
则当 时 取得最大值 ，故 .
故选：C
练习17．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）若不等式
对任意 成立，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】将不等式变形为 的形式,，构造 ，求导判
断单调性后可知，只需 即可，即 成立，只需 ,
构造新函数,求导求单调性,求出最值解出a的取值范围即可.
【详解】因为 对任意 成立，
不等式可变形为: ，
即 ，
即 对任意 成立，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
则 可写为 ，
根据 单调性可知，只需 对任意 成立即可，
即 成立，记 ，即只需 ，
因为 ，故在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，所以 ，
所以只需 即可，解得 .
故答案为: .
【点睛】方法点睛：关于恒成立问题的思路如下:
(1)若 ， 恒成立，则只需 ;
(2) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(3) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(4) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(5) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(6) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(7) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(8) 若 ， 恒成立，则只需 .
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 恒成立，则 的取
值范围为______.
【答案】
【分析】由题设得 ，构造 研究单调性得 ，
再构造 研究单调性有 ，最后构造 ，利用导数研究最大值即可
得参数范围.
【详解】由题设 且 ，即 ，
令 ，易知 在 上单调递增，故 ，即 ，
所以 ，又 是单调递增函数，故 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
故 ，故 .故答案为：
【点睛】关键点点睛：将已知不等式化为 ，根据形式构造函数
，根据单调性转化不等式为关键.
练习19．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知 ，不等式 对
恒成立，则实数 的最小值为__________.
【答案】
【分析】将不等式等价变形为 ，构造函数 ，进而问题转化成
，构造 ，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】 ，构造函数 ， ，故
在 上单调递增，故 等价于 ，即 任意的实数
恒成立．
令 ， 则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，得 ．
故答案为：
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
练习20．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数 .
(1)试求函数 的极值；
(2)若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）求得 ，对 进行分类讨论，由此求得 的极值.
（2）化简题目所给不等式，结合（1）的结论，利用构造函数法，结合导数来求得 的取值范围.
【详解】（1） .
① 时，函数 在 上单调递增，不存在极值.
② 时，由 得 ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
∴ ，无极大值.
（2）由题意可知： ，
∵ ，∴ .
由（1）可知 时，函数 在 上单调递增，则存在 ， ，即
.
令 ，则 ，有 ， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，∴ ，∴ .
题型五 双变量问题
例9．（2023春·贵州·高三校联考期中）（多选）已知 ，且 恒成立，
则k的值可以是（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】ABC
【分析】先对不等式 变形得 ，发现是 与双变量 之间的关系，然
后再根据已知的等式把双变量转化为单变量，从而构造新函数，然后利用导数求出新函数
的最小值即可得出结果.
【详解】由 知 ，
，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，导函数单调递增，且 ，
所以存在 使得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
所以 可取 ，
故选：ABC.
例10．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数
（ 是自然对数的底数）
(1)求 在 处的切线方程.
(2)存在 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 ，存在 ，有 ，则 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据题意可得原题意等价于存在 成立，结合存在性问题分析运算；
（3）根据题意可得： ，对于 ：利用导数求其最大值，对于
：分类讨论求其最大值，分析运算即可得结果.
【详解】（1）由题意可得： ，
则 ，
即切点坐标 ，切线斜率 ，
故 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）∵ ，则 ，
∴原题意等价于存在 成立，
又∵ ，则 ，
∴ ，故a的取值范围为 .
（3）因为对任意的 ，存在 ，有 ，所以
，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
因为 开口向下，对称轴为 ，则有：
①当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ，
所以 ，则 ，
故 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，则
，
所以 ，故 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，则
，
所以 ，故 ；
综上所述： ，即 的取值范围 .
练习21．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 （其中 ），证明： ；【答案】(1)当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数， ，再分 和 两种
情况讨论函数的单调性；
（2）首先求函数的导数，利用导数分析函数的图象和性质，确定 ，利用分析法
转化为证明 ，再结合函数的单调性，转化证明 ，通过
构造函数，利用导数判断函数的单调性，最值问题，即可证明.
【详解】（1）由已知得：
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
综上， 当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）证明： ，
在 上单调递增， 上单调递减，且 ，
又 当 时， ；当 时， ，
， ，
要证： 成立，只需证：
在 上单调递增，故只需证：
即证：令 ，只需证： ，
即证： ，
令 ， ，
，证毕.
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 设
.
(1)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;
(2)求证: ;对 ,使得 总成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先写出 解析式,根据 在 上单调递增,即 在 上
恒成立,全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;
(2)因为 ,即只需 时, , 时, 成立即可,取 ,分 时,求导可
知 在 上单增,即 得证, 时,由(1)结论, 在 上单调
递增,即 时, ,对 求导后分析 的正负,分析范围即可证
明.
【详解】（1）解:由题可知
因为 在 上单调递增,
所以 在 上恒成立,
因为 时, ,
故只要 在 上恒成立,令 , ,
因为 , ,
令 ,
即 ,
解得 ,
故 在 上单增,
在 上单减,
所以 ,
即实数 的取值范围为 ;
（2）由题意, 因为 ,
所以只要找出 ,使得 时, ;
时, 即可,
当 时,显然成立;
现证 ,满足题意,
即证当 时,若 时, 成立,
若 时, 也成立,
当 时,
若 ,则 ,
所以 ,
因为 ,故 ,即 恒成立,
所以 在 上单增,
故 ,
即 时, 成立;
当 时,
若 , ,
由(1)知当 时,
在 上单调递增,
因为 等价于 ,
即等价于 ,
所以 在 上单调递增,
故当 时, ,
因为当 时,
,且 ,
因为 等价于 ,
所以 ,
即当 时,也有 ．
综上, ,对 , ,使得 总成立．
【点睛】思路点睛:该题考查导数的综合应用,属于难题,关于存在性问题的思路如下:
(1)分析题意,找到关键信息;
(2)将关键信息转化为数学语言;
(3)存在问题取特殊值,取特殊值时参考第一问结论,并且好算的数;(4)根据问题进行分情况讨论.
练习23．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若存在 ， ，使得
恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，研究导函数的零点个数即大小关系，对参数 进行讨论即可；
（2）先计算 ，然后分离变量转化为函数的最值问题.
【详解】（1）定义域
，
若 ,则 ,令 ,得 ，
当 单调递减，
当 单调递增，
若 ,得 或 ，
若 ,则 对 恒成立,所以 在 上单调递减，
若 ,则 ，
当 单调递减，
当 单调递增，
当 单调递减，
若 ,则 ，当 单调递减，
当 单调递增，
当 单调递减，
综上，
若 在 上单调递减, 在 上单调递增，
若 在 上单调递减，
若 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减，
若 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减，
（2）因为 ,所以 ,即 在[1,2]上单调递减，
所以在 ，
所以 ，
所以 ，
即 ,对 恒成立，
设 ，
则 ,令 ,得 ，
当 单调递增，
当 单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是处理 ，因为是存在性问题，所以只需要 .
练习24．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的图像在点 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值集合.
【答案】(1)y=2x
(2){1}
【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；
（2）通过构造函数 ，将问题转化成求 的最小值，通过对 进
行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，
故 的图像在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 恒成立， 恒成立，
令函数 ，则
①当 时， 在区间 恒成立，此时g(x)在区间 单调
递增，又 ，易知 ，所以
，故 不合题意，
②当 时，由 可得 即
令 ，则 在区间 上恒成立
所以 在区间 上单调递增，又因为 ，
所以存在 ，使得 ，两边同时取对数可得 ，
则当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以当 时， ，
故要使 恒成立，只需 ，令 ，则 ，
由 ，得到 ，由 ，得到 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，即 ，
所以 只有唯一解，即 .
综上，a的取值集合为 .
解法二：由题意可得 恒成立，
令 ，则 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，又因为 ，所以 ，
所以 恒成立，即 在区间 上恒成立，
令 ，又因为 ，要使 恒成立，
则 是 的极小值点，又因为 ，所以 ，解得 .
当 时，令 ， ，
所以 时， ， 时， ，
所以 ，满足题意.
综上，a的取值集合为 .
【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不
等式变形为 ，然后由导数求得 的最小值 ，解不等式 即可得
参数范围．
练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是 增 函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令 ，利用导数可求得 单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得 在 上单调递增，由此可将恒
成立的不等式化为 ，令 ，利用导数可求得 ，由
可知B正确；C选项中，利用导数可求得 的单调性，由此确定 ，
若 ，可等价转化为 ，令 ，利用导数可
求得 单调性，从而得到 ，知 ，可得C错误；D选项中，采用
同构法将已知等式化为 ，从而可确定 ，结合 单调
性得到 ，由此化简得到 ，令 ，利用导数可求得
最大值，知D正确.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，
即 ，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
