培优02一次函数的图象和性质（9大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 02 一次函数的图象和性质（9 大题型） 题型1 正比例函数的确定 从解析式（y=kx形式）、表格（y/x值恒定）、图象（过原点的直线）三个维度进行判断，抓 住其本质特征． 1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若k为常数，下列一定是正比例函数的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：一般地，两个变量 x、y之间的关系式可以表示成形如 的函数（k为常数，x的次数为1，且 ），那么 就叫做正比例函数． 根据正比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、 ， 时该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意； B、 ，该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意； C、 ，该函数一定是正比例函数，故该选项符合题意； D、 ，该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意． 故选C． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数 中，当 时， 是 的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式： 是关键． 根据正比例函数的定义得 ，进而即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得： ． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知函数 是正比例函数，则常数m 的值是 ． 【答案】1【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义，当 中， 是正 比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进行选择即可． 【详解】解： 函数 是正比例函数， ， ， 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ，则当 时， ． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式及求函数值，待定系数法求解析式是解题的关键， 根据题意设 ，进而待定系数求解即可． 【详解】解：∵ 与 成正比例， ∴设 ， 当 时， ， ， ， 当 时， ； 故答案为： ． 5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知 与 成正比，且 时， ，则 y与x的关系式是 ． 【答案】 【分析】由 与 成正比可设 ，代入 时 即可得出关于k的一 元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵ 与 成正比， ∴设 ． ∵当 时， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ∴y与x的关系式为 故答案为 ． 【点睛】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与 成正比例，当 时， ． (1)求y与x的函数关系式； (2)当 时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利 用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设 ，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出 时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当 时， ， ∴ ， ∴ ，∴ ； （2）解：在 中，当 时， ． 题型2 一次函数相关概念 理解一般式y=kx+b（k≠0）的含义，能根据概念判断函数类型，并注意待定系数法中k≠0 的隐含条件． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合 （ 、 为常数， ，自变 量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数 （ 、 为常数， ，自变量 次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解： ，自变量 的次数是 ，不符合一次函数自变量次数为 的要求，故A项不 符合题意； ，符合一次函数 （ ， ，自变量 次数为 ）的形式，故B项符合 题意； 可写成 ，自变量 的次数是 ，不是 ，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量 的最高次数是 ，不符合一次函数自变量次数为 的要求，故D项不 符合题意． 故选：B．8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，① ；② ； ③ ；④ ，一定是一次函数的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即 可求解． 【详解】解：一次函数的为： ， ，共有 个， 故选：C． 9．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数 是关于x的一次函数，则m的 值是（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函 数的定义：形如 ， 为常数且 ，可得 ，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ． 故选：B． 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）点 在一次函数 的图象上，则 的值为 （ ） A．9 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值， 将点的坐标代入一次函数解析式，解方程 即可求出b的值即可． 【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上， ∴ ，故选：C． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点 在直线 上，则 的值为（ ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查轴对称与坐标的变化，直线上的点的坐标特征，先求出点 的坐标，再代 入直线的解析式，求解即可． 【详解】∵点 关于 轴对称的点是 ， ∴点 的坐标为： ， 把 代入 ，得 ， 故选：B． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比 例函数的有 ．（请填写序） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数 和正比例函数 ，即 的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如 、正比例函数 形如 的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【详解】解：① ，符合一次函数 的形式，是一次函数，不是正比 例函数；② ，符合正比例函数 的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③ ，既不是一次函数也不是正比例函数； ④ ，可化为 ，符合一次函数定义 ，是一次函数，不是正比 例函数； ⑤ ，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥ ，化简得 ，符合正比例函数定义 ，既是一次函数 也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 13．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的 点称为“加倍点”，那么直线 上的“加倍点”坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是 解题的关键． 根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：设加倍点为： ， 代入直线的解析式得： ， ∴ ， ∴加倍点的坐标为： ． 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在一次函数 的图象上，则 的值是 ． 【答案】0【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键． 直接把点 代入一次函数解析式得到 ，再整体代入求值即可． 【详解】解；∵点 在一次函数 的图象上， ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数 ． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如 的函数是一次函数，形如 的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数 是一次函数时， ，且 ， 解得 ， 所以当 时，函数 是一次函数． （2）解：当函数 是正比例函数时， ，且 ，解得 ， 所以当 时，函数 是正比例函数． 题型3 正比例函数的图象和性质 性质由k决定：①k>0：直线过一、三象限，yy随xx增大而增大；②k<0：直线过二、 四象限，y随x增大而减小． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在直线 上，且 ，则（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数 （ ）中，当 时 随 的增大而减小的性质是解题的关键． 本题根据正比例函数的性质，结合已知条件判断 与 的大小关系．已知点 、 在直线 上， ，可先确定函数的增减性，再根据 判断 和 的大小． 【详解】解： 直线 （ 为常数）是正比例函数，且 ， 该函数 随 的增大而减小， 又 ， ， 故选：B ．17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数 的图象，下列叙述错误的是 （ ） A．点 在这个图象上 B．函数值 随自变量 的增大而减小 C．当 增加1时， 增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数 中k 的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号 判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项 把 代入 得 所以点 在这个图象上，A正确． 选项 在正比例函数 中， 根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而 增大，而非减小，B错误． 选项 当x增加1时，设原来的x为 对应的y为 变化后的x为 对应的y为 则 即y增加2，C正确． 选项 因为 所以正比例函数 的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 18．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数 ，且y的值随x的增大而减 小，如果 ，那么 和 在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得 ， ，进而判断函数图象经过的 象限，即可求解． 【详解】解： 在 中， 随 的增大而减小， ， 函数 图象在二、四象限， ， ， 函数 的图象在一、三象限， 故选：B． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点 在正比例函数 的图象上，那么y 随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了正比例函数的增减性．将点 代入函数 中，求得 的值，然后 根据 的正负即可判断． 【详解】解：将点 代入函数 中，得 ， 解得 ， ∵ ， ∴函数值y随x的增大而减小，故答案为：减小． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数 和 的图象如图所示，则 的大小关系是 ．（用“ ”连接） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据 直线经过的象限判断 的符号，再根据直线的平缓趋势判断 的绝对值的大小，最后判断三个 系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限知： ， ∵根据直线越陡， 越大， ， ∴ ， 故答案为： ． 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数 的图象与x轴所成的锐 角为 ，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数 的图象的异于原点的 一点的坐标为 ，然后分两种情况：当 时，当 时，即可求解． 【详解】解：设正比例函数 的图象的异于原点的一点的坐标为 ，当 时， ∵正比例函数 的图象与x轴所成的锐角为 ， ∴正比例函数 的图象是第一，三象限的角平分线， ∴ ， ∴ ； 当 时， ∵正比例函数 的图象与x轴所成的锐角为 ， ∴正比例函数 的图象是第二，四象限的角平分线， ∴ ， ∴ ； 综上所述，k的值为 ． 故答案为： 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若正比例函数 的图象经过点 ， 则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象，熟知函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解答的 关键．将 代入 中得到 ，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ， ∴ ，解得 ， 故答案为： ． 23．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、 乙、丙、丁四个用电器的电流 和它们两端的电压 ，在如图的坐标系中依次画出相应 的图象．根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是 ．【答案】丙 【分析】根据题意，得 ，故 ，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故 ， 根据图象，得 ， , 故 即 ； 同理 ，即 ； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知 与 成正比例，且当 时， ． (1)写出 与 之间的函数关系式； (2)若点 在这个函数的图象上，求 的值； (3)若 的取值范围为 ，求 的最小值． 【答案】(1) (2)(3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设 ，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点 代入 求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设 ， 将 代入，得 ， 解得 ， 所以 ，即 ． （2）解：将点 代入 ， 得 ， 解得 ． （3）在 中， 因为 ， 所以 随 的增大而增大， 所以当 取最小值时， 值最小． 当 时， ， 解得 ， 所以 的最小值为 ． 题型4 一次函数的图象和性质“k定方向，b定截距”：①k决定增减性（同正比例函数）；②b决定与y轴交点 (0,b) ．图象必过 (0,b)和 (−b/k,0)点．k相同b不同的直线平行． 25．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数 与 ，满足 ，且已知 没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由 没有意义可得 ，即可得直线 与直线 相交，再根据 可知直线 与 轴 的交点在直线 与 轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的 关键． 【详解】解：∵ 没有意义， ∴ ， ∴直线 与直线 相交， 又∵ ， ∴直线 与 轴的交点在直线 与 轴的交点上方， 综上各选项，只有选项 符合题意， 故选： ．26．（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数 的图象经过点 ，则一次函 数 的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把 代入正比例函数 ，解得： ，然后可得 ，然后即可求解 【详解】解：把 代入正比例函数 ，解得： ， 把 代入一次函数 ， ∴一次函数解析式为 ， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）正比例函数 和一次函数 的大 致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】本题考查了一次函数的性质、正比例函数的性质，分两种情况：当 时，当 时，分别结合一次函数的性质和正比例函数的性质分析即可得解，熟练掌握一次函数与正比 例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：当 时，正比例函数 图象经过第一、三象限，此时 ， ，即 一次函数 的图象经过第二、三、四象限； 当 时，正比例函数 图象经过第二、四象限，此时 ， ，即一次函数 的图象经过第一、二、三象限； 故选：A． 28．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在点 中，一次函数 的图象不可能经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象，利用 、 的正负判断一次函数的图象位置是解题的 关键，即在 中， ， ，直线经过第一、二、三象限， ， ，直线经 过第一、三、四象限， ， ，直线经过第一、二、四象限， ， ，直线经 过第二、三、四象限．由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解： 一次函数 ， 令 得： ，解之得： ， 一次函数 与 轴的交点为 ， 故不可能是点 ， 故选D． 29．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数 的图象经过一、二、四象 限，则直线 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函 数 的图象经过第一、二、四象限，得到 ，从而得到 ，再根据一次函数 的性质判断 的图象． 【详解】解：∵函数 的图象经过第一、二、四象限， ∴ ， ∴ ， ∴ 的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 30．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系 所对应的图象为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是根据程序得到函数解析式． 根据程序 得到函数关系式，即可判断图象． 【详解】解：根据程序框图可得 ， 的图象与y轴的交点为 ，与x轴的交点为 ． 故选A． 31．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）关于一次函数 ，下列结论错误 的是（ ） A．函数图象经过第二、三、四象限 B．函数图象过点 C．当 时， D．函数图象是一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意可得 ，结合 得出函数图象经过 第二、三、四象限，函数图象是一条直线，即可判断AD，求出当 时， ，即可判断 B；由题意可得函数值 随着 的增大而减小，即可判断C，熟练掌握一次函数的性质是解此 题的关键． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ ， ∴函数图象经过第二、三、四象限，函数图象是一条直线，故AD正确； 当 时， ，即函数图象过点 ，故B正确； ∵ ， ∴函数值 随着 的增大而减小， ∴当 时， ，故C错误； 故选：C． 32．（25-26八年级上·全国·期末）若规定 ，则对于函数 的说法正确 的是（ ） A． 的值随着 值的增大而增大 B．点 在函数 的图象上 C．函数 的图象不经过第一象限 D．函数 的图象是一条线段 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 首先根据给定的运算规则求出函数表达式，根据一次函数的性质，可以判断各个选项中的说 法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： ， ． A． 一次函数 中 ， 的值随着 值的增大而减小，故A不符合题意； B．当 时， ， 点 不在函数 的图象上，故B不符合题意； C． 一次函数 中 ， ，函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C符合题意； D． 一次函数的图象是一条直线，不是线段，故D不符合题意． 故选：C． 33．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）对于试题“直线 与直线 的交点 在第三象限，求k的取值范围”，甲答： ；乙答： ．则下列说法正确的是 （ ） A．甲的答案正确且完整 B．乙的答案正确且完整 C．甲乙答案合在一起才正确 D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分 、 和 三种情况讨论，根据一次函数的 性质即可求解． 【详解】解：对于直线 ，令 ，则 ， ∴直线 经过点 ， 当 时，直线 与直线 的交点一定在第三象限； 当 时，直线 经过一、三、四象限， 此时直线 与直线 的交点一定在第三象限； 当 时，令 ，则 ，交点坐标为 ， ∵交点在第三象限，∴ ，解得 ，即 ， 综上，当 时，直线 与直线 的交点一定在第三象限； ∴甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值， 故选：D． 34．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果 ， 是一次函数 图 象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有 ，且 ，则函数图像经过第 象限． 【答案】一、二、三 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系 数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出 ， 是解题的 关键．利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，可得出 ， ，再结合 一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数 的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵如果 ， 是一次函数 图象上不同的两点，对于任意 的A、B两点都有， ∴ 与 同号， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限． 故答案为：一、二、三．题型5 一次函数的图象的交点问题 求两直线交点：联立解析式解方程组，解即为交点坐标。判断直线与坐标轴交点：令x=0 求y轴交点，令y=0求x轴交点．理解交点即对应方程的解． 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数 的图像和 轴的交点坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与 轴的交点问题，把 代入一次函数解析式求出 的值 即可求解，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把 代入 ，得 ， 解得 ， ∴一次函数 的图像和 轴的交点坐标为 ， 故选：B． 36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知直线 与直线 的交点的 横坐标为 ，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A． B．方程 的解是 C． D．不等式 的解集是 【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌 握一次函数与一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据 一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解 即可． 【详解】解：由题意，直线 的图象在第二、三、四象限， ， 故A正确，不合题意； 直线 与直线 的交点的横坐标为 ， 方程 的解是 ， 故B正确，不合题意； 直线 的图象与y轴交于正半轴， ， 故C正确，不合题意； 结合图象可得，当 时，直线 上的点都不在直线 的下方， 不等式 的解集为 ， 故D错误，符合题意． 故选：D． 37．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点 A，则点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是理解x轴上点的纵坐 标为 利用待定系数法求出点A的坐标即可判断． 【详解】解：对于一次函数 ，令 ，可得 ， ， 点A的坐标是 ， 故选： ． 38．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，将该函数图象向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的平移，熟记一次函数图象与 性质是解决问题的关键． 令 求出x的值，从而可得与x轴的交点坐标，再结合平移的规律可得平移后的解析式． 【详解】解：∵函数为 ， ∴令 ，则 ，即 ． ∴函数 的图象与x轴的交点坐标是 ． 又∵该函数图象向上平移3个单位长度， ∴ ，即 ． 故答案为： ， ． 39．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数 ． _____ x 0 __ y 0 _______ (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象直接写出当 时，x的取值范围． 【答案】(1) ，2，见解析 (2) 【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可； （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ，得 时， ；当 时， ，解得 ， 填表如下： ， 故答案为： ，2． 画图象如下：（2）解：由 ， 当 时， ， 解得 ． 40．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别 相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方， 的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令 ，求出x的值，得到点A的坐标，令 ，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当 时， ， ，当 时， ， ， ； （2）解：点 在 轴上，若 的面积为6， ， ， ， ∵当点 在点 上方时， ∴ ． 41．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数 的图象， 并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当 时， 的取值范围是______________； (3)将直线 沿 轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) (3) 或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次 函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ， ∴一次函数 的图象与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为点 ， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当 时， 的取值范围是 ； 故答案为： （3）解：将直线 沿 轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为 ， ∴平移后的直线的函数解析式为 或 ． 题型6 一次函数与几何的综合问题 核心是“坐标化”：①用点坐标表示线段长（水平线段=|横坐标差|，垂直线段=|纵坐标 差|）；②用距离公式求长度；③用中点公式求中点坐标。常结合面积（割补法）和特殊三 角形（勾股定理逆定理）考查． 42．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交 于点B，以点A为圆心， 为半径画弧．交x轴正半轴于点C．则点C坐标为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与两坐标轴的交点、勾股定理等知识，是重要考点，难度较 易，掌握相关知识是解题关键． 先求得直线与 轴交于点 与 轴交于点 的坐标，再利用勾股定理，解得 的长，即可得 到 的长，继而解得点C的坐标． 【详解】解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令 解得 ∴令 ，解得 的横坐标为 ， 故选：D． 43．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，射线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为【答案】 或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求 一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点 ，点 ，则 ， ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全 等时，有以下两种情况：①当 时，先证 ，当 ，则 ， ，则 ，据此可得点 的坐标；② 时，过点 作 于 ，由于 ，因此当 时， ， ，由勾 股定理求出 ，再由三角形的面积公式求出 ，进而再求出 ，据此可得点 的坐标． 【详解】解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ， 点 ，点 ， ， ， 当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时， 则以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当 时，如图 所示：， ， ， ， ， 当 时， ， ， ， 点 的坐标为 ； ② 时，如图 所示：过点 作 于 ， 由①知 ， 当 时， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 由三角形的面积公式得： ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ，点 的坐标为 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ． 故答案为： 或 ． 44．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线 与x轴、y轴交于 A，B两点，在y轴上有一点 ，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． 当移动到 与 全等时，移动的时间t是（ ） A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质；由直线的函数解析式，令 求A点坐标， 求 B点坐标，根据题意可知， ，分为两种情况：①当M在 上时，②当M在 的延长线上时，再结合全等三角形性质计算即可． 【详解】解：∵直线 与x轴、y轴交于A，B两点， ∴当 时， ； 当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴必有 ， 分为两种情况： ①当M在 上时， ，∴ ， 动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ∴ ， ②当M在 的延长线上时， ， 则 ， 此时所需要的时间 秒， 故选：D． 45．（2025·江苏扬州·三模）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是 上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，则点 坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知 识点是关键． 由解析式求出点 和点 的坐标，再根据勾股定理即可得出 的长，由折叠的性质，可求得 ， ，设 ，在 中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出 的坐标． 【详解】解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，时， ， 时， ， ， ， ． 由折叠的性质得： ， ， ． 设 ， 则 ． 在 中， ， 即 ， 解得： ， ． 故选：B． 46．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线 与 轴、 轴分别相交于 点 和点 ，点 在线段 上．将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处． (1)求出 、 两点的坐标； (2)求出 的长； (3)点 是坐标轴上一点，若 是直角三角形，求点 坐标． 【答案】(1)点 坐标为 ，点 坐标为 (2)3 (3) 或 或【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解 决问题是解题的关键． （1）令 和令 ，可求 、 两点的坐标； （2）由勾股定理求出 的长，再由轴对称的性质，用含 的式子分别表示 、 的长， 在 中根据勾股定理列方程求出 的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点 时 ； 时 点 坐标为 ，点 坐标为 ． （2）解：由折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： ； 故 长为 ． （3）解：当 时，则点 ； 当 时， ， 如图，设 ， ∴ 解得： ∴点 ；当 时， 如图，设 ， ∴ 解得： ∴点 ， 综上所述：点E的坐标为 或 或 ． 47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标分别是 ，作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ．(1)请按要求作点 ，并直接写出点 的坐标； (2)顺次连接 三点，得到 ，求出 的面积； (3)在 轴上找一点 ，使得 的值最小，请在图中标出点 ，并求出点 的坐标． 【答案】(1)见解析， 的坐标为 ，点 的坐标为 (2)2 (3)见解析，点 的坐标为 【分析】本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的 性质是解题的关键． （1）关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，关于x轴对称的两点的纵坐标 互为相反数，横坐标相等； （2）按要求作出 ，用割补法求出面积即可； （3）连接 ，当点 在 与 轴的交点处时， 取得最小值，求出 所在直线的 函数表达式为 ，进而求出结论． 【详解】（1）解：作点 如图所示． 由作图可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．（2） 如图所示， ． （3）因为点 与点 关于 轴对称，点 在 轴上， 所以点 到点 的距离和到点 的距离相等，即 ， 所以 ． 如图，连接 ，当点 在 与 轴的交点处时， 取得最小值． 设 所在直线的函数表达式为 ， 将 代入，得 ， 解得 ， 则 所在直线的函数表达式为 ． 将 代入 ， 得 ， 所以点 的坐标为 ．题型7 一次函数的平移问题 牢记“左加右减（只对x），上加下减（只对y）” ．例如，直线y=kx+b向上平移m个 单位得y=kx+b+m。所有平移可转化为先左右后上下。平移后kk不变，仅b变． 48．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一次函数 的图象向上平移5个单位长度， 所得直线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减； 上加下减是解题的关键．根据函数图象上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数 的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为 ．即 ． 故选：D． 49．（24-25八年级下·陕西安康·期末）将直线 向下平移 个单位长度，所得 的图象恰好过点 ，则m的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移 规则．将直线向下平移 个单位后，解析式变为 ，代入点 即可求解． 【详解】解：将直线 向下平移 个单位后，得到 ， 平移后的图象经过点 ， ， 解得 ，故选：C． 50．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数 的图象向右平移 2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则 的值为（ ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，正比例函数，熟知“左加右减”的平移法则是 解题的关键． 根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再结合正比例函数的定义求出 的值即可． 【详解】解：将一次函数 的图象向右平移2个单位长度后， 所得函数的解析式为 ． 因为此函数为正比例函数， 所以 ， 解得 ． 故选：B． 51．（25-26八年级上·全国·课前预习）函数 与 的图象在同一直角坐标系中， 位置关系是（ ） A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据一次函数的k值相同，得出函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行． 【详解】解：函数 与 中k值相同， ∴函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行． 故选：C． 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图 像向左平移 个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则 的值为（ ）A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为 ，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数 的图像向左平移 个单位长度后， 得到 ， 把 代入， 得 ， 解得 ， 故选C． 53．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知直线 ： 平移之后的直线为 ： ，则下面平移方式正确的是（ ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移 单位 D．向左平移 单位 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：∵直线 ： 平移之后的直线为 ： ， ∴设直线 平移a个单位后得到直线 ， ∴ ， 解得 ．∴向右平移 单位， ∴C符合题意． 故选：C． 54．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知，直线 与直线 平行，那 么 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，解题关键是掌握一次函数图象的平移． 根据互相平行的直线 相等求解． 【详解】解：∵直线 与直线 平行， ∴ ， 故答案为： ． 55．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点 是函数 的图象 上的一点，将函数 的图象向左平移4个单位长度，平移后，点 的对应点为点 ，若 点 ， 关于 轴对称，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】设 ，则 ，根据点 ， 关于 轴对称，得到 ，解 答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设 ，则 ， ∵点 ， 关于 轴对称， ∴ ， 解得 ．故 ． 故答案为： ． 题型8 一次函数的规律探究问题 观察点坐标 (n,y n )与序号n的关系：①先求前几个点的坐标；②分析横、纵坐标与n的数 量关系（如n,2n+1）；③用归纳法写出第nn个点的坐标，并验证。常与图象上的点、面 积等结合． 56．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y A A 轴相交于点A，B．以点A为圆心、 AB 长为半径画弧交x轴于点 1，再过点 1作x轴的垂线交 B AB A A 直线于点 1，以点A为圆心， 1长为半径画弧交x轴于点 2．按此做法进行下去，则点 2020 的坐标是（ ）  22020,0   21010,0   210101,0   210101,0  A． B． C． D． 【答案】D AA AA 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出 1， 2， AA 3的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：如图， x0 y1 当 时， ；当y0时，x1； A1,0 B0,1 可得 ， ， AA  AB OA2OB2  1212  2 1 ；  2  2 AA  AB  2  2 2； 2 1 AA  AB  2222 2 2 3 2 ；       A 21,0 A 41,0 A 81,0 即 1 ， 2 ， 3 ；    A 22020 1,0 2020 ， A  210101,0  可得 2020 ． 故选：D． ABCO,A BC C,ABCC , 57．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 …按如图所示 A,A,A  C,C ,C  ykxbk 0 的方式放置，点 1 2 3 和点 1 2 3 分别在直线 和x轴上，已知点 B 1,1,B 3,2 B 1 2 ，则 2023的坐标是 ．  220231,22022 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． B(1,1) B 3,2 【详解】解：∵点 1 ， 2 ，A(0,1) A 1,2 1 ， 2 ， 1b b1   将A 1 (0,1)，A 2 1,2代入ykxb得2kb，解得：k 1， ∴一次函数解析式为yx1， B (3,2)  2 ， A (3,4),B (7,4) 3 3 ， B  241,241 同理 4 ， B  2n1,2n1 则 n ， B  220231,22022 ∴ 2023 ，  220231,22022 故答案为： ． 1 58．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a： ，直线b：y x yx 2 P1,0 P P P 和点 ，过点P作y轴的平行线交直线a于点 1，过点 1作x轴的平行线交直线b于点 2， P P P P 过点 2作y轴的平行线交直线a于点 3，过点 3作x轴的平行线交直线b于点 4……按此作法 P 进行下去，则点 100的横坐标为 ． 【答案】250【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据 题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可．  P1,0 P yx 【详解】解： ，点 1在直线 上， P1,1 1 ， PP y  1 轴， P  点 2的纵坐标为1， 1 点 在直线y x上， P 2  2 1 1 x， 2 x2， P 2,1 P 2 ，即点 2的横坐标为2， P 2 同理可得，点 3的横坐标为 ， P 22 点 4的横坐标为 ， P 点 5的横坐标为 22 ， P 点 6的横坐标为 23 ， 点 P 7的横坐标为 23 ， 点P 的横坐标为24， 8 L ，  点 P 4n的横坐标为 22n ， 令4n100， n25，  点 P 100的横坐标为 2225 250 ，故答案为：250． l:y2x x 59．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 ，分别过 轴上的点 A 1 1,0、A 2 2,0、  、A n n,0 ，作垂直于 x 轴的直线交 l 于点 B 1 、B 2 、  、B n，将 OA 1 B 1，四边形 AA B B、 A A B B S、S、 、S S  1 2 2 1  、四边形 n1 n n n1的面积依次记为 1 2  n，则 n ． 【答案】2n1 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题 的关键． S 根据梯形的面积公式求解出 n的函数解析式即可． 【详解】解：当x1时，y2；当x2时，y4； x3 y6 当 时， ； x4 y8... 当 时， ； B 1,2,B 2,4,B 3,6,...,B n,2n 则 1 2 3 n ， 1 由题意知得S  121， 1 2 1 根据梯形的面积公式得，S  4213221， 2 2 1 S  6415231， 3 2 S 2n1 故我们可以得出 n ，n1,2,3 ∵当 均成立， S 2n1 ∴ n 成立， 故答案为：2n1． yx2 y A A 60．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 0，过点 0作 y=0.5x+1 B B yx2 A A x轴的平行线交直线 于点 1，过点 1作y轴的平行线交直线 于点 1，再过点 1 y=0.5x+1 B B yx2 A 作x轴的平行线交直线 于点 2，过点 2作y轴的平行线交直线 于点 2，…， yx2 A A A y=0.5x+1 B B B 依此类推，得到直线 上的点 1、 2， 3，…，与直线 上的点 1， 2， 3，…， A B 则 7 8的长为 ． 【答案】256 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然 A B yx2 x0 y A B 后找出 n1 n的长的规律，对于直线 ，令 求出 的值，确定出 0纵坐标，即为 1的 y=0.5x+1 B AB B A 纵坐标，代入直线 中求出 1的横坐标，即可求出 0 1的长，由 1与 1的横坐标相等得 A yx2 B y=0.5x+1 B 出 1的横坐标，代入 求出纵坐标，即为 2的纵坐标，代入直线 中求出 2的横 AB A B AB A B 坐标，即可求出 1 2的长，同理求出 2 3， 3 4，  ，归纳总结即可得到 7 8的长．【详解】解：对于直线 yx2 ，令 x0 ，求出 y2 ，即 A 0 0,2 ， AB x  0 1 轴， B  1的纵坐标为 2 ， y2 y=0.5x+1 x2 B 2,2 将 代入 中得： ，即 1 ， AB 221  0 1 ， AB y  1 1 轴， A  1的横坐标为 2 ， x2 yx2 y4 A2,4 将 代入直线 中得： ，即 1 ， A B  1与 2的纵坐标为 4 ， 将 y4 代入 y0.5x1 中得： x6 ，即 B 2 6,4 ， AB 422  1 2 ， A B 823 A B 2n 同理 2 3 ，  ， n1 n ， A B 28 256 则 7 8的长为 ． 故答案为：256． A 1,0 A 61．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，点 1的坐标为 ，过点 1作x轴的垂 l:y 3x B OB A 线交直线 于点 1，以原点O为圆心， 1的长为半径画弧交x轴正半轴于点 2；再过 A B OB 点 2作x轴的垂线交直线l于点 2，以原点O为圆心，以 2的长为半径画弧交x轴正半轴于 A B 点 3；…，按此作法进行下去，则 2018的横坐标是 ．【答案】22017 B B B 【分析】本题考查了勾股定理，正比例函数的图象，点的坐标规律，先求得 1， 2， 3的横 B 2n1 B 坐标，由特殊情况得到一般规律，得到 n的横坐标是 ，再得出 2018的横坐标，即可作答． A 1,0 【详解】解：点 1的坐标为 ， OA 1  1 ， x1 y 31 3 依题意，当 时， ，   B 1, 3  1 的坐标是 ， 即 B 1的横坐标为 1211 ； OA OB  312 依题意， 2 1 ； x2 y 322 3 同理，当 时， ，   B 2,2 3  2 的坐标是 ， 即 B 2的横坐标为 2221 ； OA OB  124 4 依题意， 3 2 ； x4 y 344 3 同理，当 时， ，   B 3 的坐标是 4,4 3 ， 即 B 3的横坐标为 4231 ， …… B 2n1 以此类推，得 n的横坐标是 ， B 2018的横坐标是 220181 22017 故答案为：22017 62．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线l的解析式 为 y 3x ，在直线 l 上取 OB2 ，过点B作 BA y 轴，垂足为A，将 ABO 沿射线 OB 方向平移， 每次平移 2 个单位长度，第一次平移得 △A 1 B 1 B ，第二次得 △A 2 B 2 B 1，则第 2025 次平移后，点 A 2025的坐标为 ．   2025,2026 3 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移， 能根据题意得出点A 的坐标可表示为  n,n1 3  是解题的关键．根据题意，依次求出点A 的 n n 坐标，发现规律即可解决问题． ABm AO 3m 【详解】解：令 ，则 ， Rt△ABO m2( 3m)2 22 在 中， ， 解得m1(舍负)，AO 3 则 ，   0, 3 所以点A坐标为 ， 因为 △A 1 B 1 B 由 ABO 沿射线 OB 方向平移 2 个单位长度得到， 3 即向上平移 个单位长度，再向右平移一个单位长度，   所以点A的坐标为 1,2 3 ， 1   2,3 3 同理可得，点A 的坐标为 ， 2   点A 的坐标为 3,4 3 ， 3 ， 所以点A 的坐标可表示为  n,n1 3  ， n   当n2025时，点A 的坐标为 2025,2026 3 . 2025   2025,2026 3 . 故答案为： 63．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线l的函数表达式为yx1，在直线l A 2，1，A 3，2，A 4，3，A 5，4， ，A n1，n 上顺次取点 1 2 3 4  n ，构成形如“ ”的一个个的图形 S，S，S， ，S S  构成的阴影部分面积分别表示为 1 2 3 n，则 2025 ． 【答案】4052【分析】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识， S 2n2 正确的找出规律，得到 n ． S S S 根据题意，分别求出 1， 2， 3，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：根据题意， A 2，1，A 3，2，A 4，3，A 5，4， ，A n1，n ∵ 1 2 3 4  n 1 1 3 5 ∴S  (12)1 (23)1  4， 1 2 2 2 2 1 1 5 7 S  (23)1 (34)1  6， 2 2 2 2 2 1 1 7 9 S  (34)1 (45)1  8， 3 2 2 2 2 …… S 2n2 ∴ n ； S 2202524052 ∴ 2025 ． 故答案为：4052． △ABA △AB A △A B A 64．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）如图， 1 1， 1 2 2， 2 3 3，  是等边 3 y x2 三角形，直线 3 经过它们的顶点A，A 1 ，A 2 ，A 3 ，，点B 1 ，B 2 ，B 3 ，在x轴上， A 则点 2023的横坐标是 ．(220242) 3 【答案】 3 y x2 【分析】如图所示，设直线 3 与x轴交于点C，可求出OB OC 2 3， 1 CB 2OB 4 322 3 1 1 ，由此即可求解． 3 y x2 【详解】解：如图所示，设直线 3 与x轴交于点C， x0 y2 y0 x2 3 当 时， ；当 时， ， A(0,2) C(2 3,0) ∴ ， ， OA2 OC 2 3 ∴ ， ， OA 2 3 tanACO   ∴ OC 2 3 3 ， ∴ACO30， △ABA ∵ 1 1是等边三角形， AAB ABA 60 ∴ 1 1 1 1 ， CBA 90 CBA30 ∴ 1 1 ， 1 ， AC  AB ∴ 1， AO^CB ∵ 1，OB OC 2 3 ∴ 1 ， CB 2OB 4 322 3 ∴ 1 1 ， CB 2CB 8 323 3 CB 2CB 16 324 3 同理， 2 1 ， 3 2 ，┈， CB 22024 3 OB 22024 32 3(220242) 3 ∴ 2023 ， 2023 ， A (220242) 3 ∴点 2023的横坐标为 ． 【点睛】本题主要考查一次函数图形与几何的变换规律的综合，理解等边三角形的性质，一 次函数图像的性质和特点，点的变换规律是解题的关键． 题型9 待定系数法求一次函数解析式 核心四步法：①设：设出含待定系数k,b的一般式y=kx+b；②代：将图象上已知的两 点坐标 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )分别代入所设解析式；③解：解关于k,b的二元一次方程组；④ 写：将求出的k,b值代回所设解析式；关键：若题中已隐含b=0b=0（如正比例函 数），则直接设y=kx更简捷． ykxb 65．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 A2,1 B4,3 过点 和 ． (1)求一次函数的关系式； ykxb x C y D  OCD (2)直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，求 的面积． 【答案】(1)y2x5 25 (2) 4 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形 的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据（1）所得函数解析式，求出点C、D坐标，进而求出OC、OD的长度，最后根据三 角形面积公式计算即可； ykxb A2,1 B4,3 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象过点 和 ， 12kb  ∴34kb ， k 2  解得b5， ∴一次函数的关系式为y2x5； （2）解：当y0时，2x50， 5 ∴x ， 2 5  C ,0 ∴ 2 ， 5 ∴OC ， 2 当x0时，y5， D0,5 ∴ ， ∴OD5， 1 1 5 25 ∴S  OC·OD  5 ． OCD 2 2 2 4y axba0 2,0 66．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数 1 恒过定点 ． y =ax+b 3,1 y (1)若一次函数 1 还经过点 ，求 1的表达式． y =bx+a Am,p Bn,p y y (2)现有另一个一次函数 2 ，若点 和点 分别在一次函数 1和 2的图象上， 求证：m2n3． y x2 【答案】(1) 1 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： 2,0 3,1 y axba0 （1）把点 ， 代入 1 ，即可求解； 2,0 y axba0 （2）把点 代入 1 可得ba， bn2an ，从而得到 2anaam2a ，再整理 即可求解 2,0 3,1 y axba0 【详解】（1）解：把点 ， 代入 1 得： 2ab0 a1   3ab1 ，解得：b2， y y x2 ∴ 1的表达式为 1 ；2,0 y axba0 （2）解：把点 代入 1 得： 2ab0，即b2a， ∴bn2an， Am,p Bn,p y y ∵点 和点 分别在一次函数 1和 2的图象上， bna p  ∴amb p， ∴bnaamb， ∴2anaam2a， ∴am2an3a， am2n3a ∴ ， ∵a0， ∴m2n3 1,0 67．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为 ，点B的坐标为 0,4 ． (1)求过A，B两点直线的函数表达式； (2)过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP2OA，求  ABP的面积． y4x4 【答案】(1) (2)2或6【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点， 掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由点A、B的坐标，可得出OA，OB的长，结合OP2OA，可求出AP的长，然后再利用三 角形的面积公式求解即可． ykxbk 0 【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为 ， A1,0 B0,4 ykxbk 0 将 ， 代入 得： 0kb k 4   4b ，解得：b4， y4x4 ∴过A，B两点直线的函数表达式为 ． 1,0 0,4 （2）解：∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ∴OA1，OB4． ∵OP2OA， ∴OP2， ∴APOPOA211或APOPOA213， 1 1 1 1 ∴S  AP•OB 142或S  AP•OB 346． ABP 2 2 ABP 2 2 综上， ABP的面积为2或6．  y y y y 2 x y 68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 1 2，且 1 与 成正比例； 2与 x1 x2 y2 x1 y3 成正比例，当 时， ，当 时， ． (1)求出 y 与x之间的函数关系式；(2)计算x2时， y 的值． 【答案】(1)yx4 (2)6 【分析】本题考查求一次函数解析式，求函数值，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设 y 1 2k 1 x ， y 2 k 2 x1 ，进而得到 yk 1 x2k 2 x1 ，待定系数法求出 k 1 ,k 2的值，即 可； （2）把x2代入（1）中的结果，进行计算即可． y k x1 【详解】（1）解：由题意，设 y 1 2k 1 x ， 2 2 ， yk x2k x1 ∴ 1 2 ， x2 y2 x1 y3 ∵当 时， ，当 时， ， 2k 2k 212 k 1  1 2  1 ∴  k 1 2k 2 113 ，解得： k 2 2， yx22x1x4 ∴ ； （2）当x2时，yx4246． ykx4 A3,2 69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数 的图像经过点 ． B5,3 (1)求这个函数的表达式，并判断点 是否在此函数图像上； (2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． (3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____． 【答案】(1)y2x4 ； 点B不在图像上； (2)面积为4； y2x2 (3) ． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变化，一次函数图象上点的坐标特征，解题的 关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的平移规律；A3,2 x5 （1）把 代入一次函数解析式中，根据待定系数法即可得到函数的表达式，将 代入函数表达式，求出对应的y值，再与3进行比较，即可得到结论； （2）求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据一次函数的平移规律：上加下减即可解答． A3,2 ykx4 【详解】（1）解：把点 代入 中，得 3k42， 解得k 2， ∴这个函数的表达式是y2x4； 当x5时，y52463， B5,3 ∴点 不在这个函数的图象上． （2）令x0，代入y2x4得： y4， 令y0，代入y2x4得： y2 ， 1 ∴此函数此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积： 424； 2 y2x462x2 （3）解：把这条直线向下平移6个单位长度后函数表达式为 ； y2x2 故答案为： ． ykxb A0,5 70．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线 经过点 ， B4,1 ，并与 x 轴交于点 C ，与直线 y2x1 相交于点D．(1)求直线AB的函数表达式； (2)求不等式kxb0的解集； (3)直线 y2x1 与 y 轴交于点 E ，在直线 AB 上是否存在点 P ，使得 S △AED 2S △AEP，若存在， 直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． yx5 【答案】(1) (2)x5 1,4 1,6 (3)点P的坐标为 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标， 是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出kxb0的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面 积公式列式计算即可． ykxb A0,5 B4,1 【详解】（1）解：∵直线 经过点 ， ， b5  ∴4kb1， k 1  解得：b5 ， yx5 ∴直线AB的函数表达式为： ； （2）解：当y0时，0x5，解得x5，C5,0 ∴ ， 根据函数图象可知，不等式kxb0的解集是：x5． 故答案为：x5； yx5  （3）解：联立y2x1 ， x2  解得：y3， 2,3 ∴点D的坐标为 ， x0 y2x1 y1 把 代入 得： ， 0,1 ∴点E的坐标为 ， 1 1 ∴S AED  2 AE x D  2   51  26， S 2S ∵ △AED △AEP， 1 1 1 ∴S  AE x  6 x  6， AEP 2 P 2 P 2 x 1 ∴ P ， x 1 ∴ P ， x 1 y 154 1,4 当 P 时， P ，此时点P的坐标为 ；x 1 y 156 1,6 当 P 时， P ，此时点P的坐标为 ； 1,4 1,6 综上分析可知，点P的坐标为 或 ． 71．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，直线 l 1 :ykx1 与 x 轴交于点 D ，直线 l 2 :yxb 与 x 轴交于点A，且经过定点 B1,5 ，直线 l 1与 l 2交于点 C2,m ． (1)填空：k______，b______，m______； (2)求△ADC的面积； (3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接AP，设点P的运 动时间为t秒，是否存在t的值，使△ACP和△ ADP的面积比为1:2？若存在，直接写出t的值； 若不存在，请说明理由． 1 【答案】(1)2 ；4；2 (2)6 4 5 (3) 的值为 或 ． t 3 4 5 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． D2,0 A4,0 （2）分别求出 和 的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）分两种情况：①点P在线段DC上，②点P在线段DC的延长线上，由△ACP和△ ADP的 面积比为1:2，即可求解． 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积 等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． l :yxb B(1,5) 【详解】（1）解：直线 2 经过定点 ，51b， b4， l :yx4  直线 2 ， l :yx4 C(2,m) 直线 2 经过点 ， m242， C(2,2)， C(2,2) ykx1 22k1 把 代入 ，得： ， 1 解得：k  ， 2 1 故答案为：2 ；4；2； 1 （2）解：∵直线l 1 :y 2 x1与x轴交于点 D ， 1 ∴令 时，则0 x1， y0 2 ∴x2， D2,0 ∴ ， ∵直线 l 2 :yx4 与 x 轴交于点 A ， ∴令y0时，则0x4， ∴x4， A4,0 ∴ ， ∴AD6 ∵C(2,2) 1 ∴ 626， 2 ∴△ADC的面积为6； （3）解：存在， 1  动点 P 在射线DC上从点 D 开始以每秒1个单位的速度运动，直线l 1 :y 2 x1，D(2,0)， C2,2  ， CD (22)2 22 2 5  ， 点P的运动时间为t秒， DPt， 分两种情况：点P在线段DC上， 和 的面积比为 ，  ACP ADP 1:2 CP 1  ，  DP 2 DP 2  ， CD 3 2 4 5 DP 2 5  3 3 ， 4 5 t  3 ； 点P在线段DC的延长线上，  ACP和ADP的面积比为1:2， CP 1  ，  DP 2 DP 2  ， CD 1 DP22 5 4 5 ， t 4 5 ，4 5 综上：存在 的值，使 和 的面积比为 ， 的值为 或 ． t △ACP △ ADP 1:2 t 3 4 5 十、培优 3 y x M 0，1 72．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为 3 ，点 1 ， M N  y N M M M M M N M N  y 1 1 轴交直线l于点 1；点 2为y轴上位于 1上方的一点，且 1 2 1 1， 2 2 N M M M M M N M N  y 轴交直线l于点 2；点 3为y轴上位于 2上方的一点，且 2 3 2 2， 3 3 轴交直线 N N N l于点 3L ，按此规律，线段 2022 2023的长为（ ）  2021  2022  2021  2022 A． 3 1 3 B． 3 1 3 C．2 3 1 3 D．2 3 1 3 【答案】C 【分析】根据解析式得出：N  3，1  ，N  3  31  ，31  ，N  3  31 2 ，  31 2 ，从而得 1 2 3 N N 出规律，再计算 2022 2023的长度即可． M 0，1 【详解】解：∵ 1 ， 3 y x ∴将y1代入 3 得：x 3，   N 3，1 ∴ 1 ，   M 0，31 ∴ 23 ∴将y 31代入 y 3 x 得： x 3  31  ，     N 3 31 ，31 ∴ 2 ，   2 ∴M 0， 31 , 3 3 y  31 2 y x x 3  31 2 ∴将 代入 3 得： ，   2  2 N 3 31 ， 31 ， 3   n1  n1 ∴N 3 31 ， 31 n   2021  2021 ∴N 3 31 ， 31 2022   2022  2022 N 3 31 ， 31 2023  2 4044  4044  2 4042  4042 ∴N N  3 31  31  3 31  31 2022 2023  4044  4044  4042  4042  3 31  31  3 31  31  2022  2021 2 31 2 31  2021 2 3 1 3 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键． xOy A(2,1),B(1,1) 73．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系 中， ， 点P在直线yx上．有以下结论：P (1,1) PAPB ①当点 的坐标为 时， 取得最小值； P (1,1) PAPB ②当点 的坐标为 时， 取得最大值； P (2.5,2.5) |PAPB| ③当点 的坐标为 时， 取得最大值； (0.5,0.5) |PAPB| P ④当点 的坐标为 时， 取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路 线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象 分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， B(1,1)  B yx B(1,1) 关于直线 的对称点 ，连接AB交 yx 于点P，此时PAPB取最小值等于AB， 又 A(2,1),B(1,1)，   AB∥x轴， P1,1  ， 故①正确，②错误； 连接BA并延长交直线yx于P，如图2， |PAPB| AB 此时， 取最大值等于 ， AB ykxb 设直线 为 ， A(2,1),B(1,1)  ， 2kb1  kb1， k 2  b3， 直线AB为y2x3，  yx  联立方程组y2x3， x3  y3，P3,3 此时 ， 故③错误； 由题意，连接AB，作AB的垂直平分线交yx于点P，如图3， ， PAPB PAPB  取得最小值为 0 ， P在AB的垂直平分线上， A(2,1),B(1,1)  ， 1.5,0  AB的中点为 ， 直线AB为y2x3，  1 3 的垂直平分线为y x ，  AB 2 4  yx   联立方程组 ， 1 3 y x   2 4 x0.5  y0.5，  P0.5,0.5 ，此时 |PAPB| 取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B．a2bab a☆b 74．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义新运算： a2b(ab) ，则下列关于函 y1☆1x1 数   的说法错误的是( ) 1,2 A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点 1 C．y随x的增大而减小 D．当0x 时，函数值满足 3 1 y0 【答案】C a2bab a☆b 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质；先根据定义 a2b(ab) 计算 1☆1 y3x1 出 的值，从而得到 ，再根据一次函数图像的性质进行逐一判断即可． a2bab a☆b 【详解】解：∵ a2b(ab) ， 1☆11213 ∴ ， y1☆1x13x1 ∴   ， ∵k 30，b1， ∴图象位于第一、三、四象限，故A正确，不符合题意， x1 y312 1,2 当 时， ，图象过点 ，故B正确，不符合题意， ∵k 30， ∴y随x的增大而增大，故C错误，符合题意， 1 当 时， ，当x 时， ， x0 y1 3 y0 1 ∴当0x 时，函数值满足 ，故D正确，不符合题意， 3 1 y0 故选：C．y2x1 75．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将函数 的图象位于x轴下方的 y 2x1 yxb 部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数 的图象，与直线 的图象交点 的横坐标x均满足1