专题5.4三角恒等变换2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题5.4 三角恒等变换 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公 新课程考试要求 式. 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）、数据分析等. （1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式 及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题 （2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题； 高考预测 （3）和差倍半的三角函数公式的综合应用. （4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计 算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 【知识清单】 知识点1．两角和与差的三角函数公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C ：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； (α－β) C ：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； (α＋β) S ：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； (α＋β) S ：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； (α－β) T ：tan(α＋β)＝； (α＋β) T ：tan(α－β)＝. (α－β) （2）变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；  sincos 2sin( ) 4 . （3）辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) . 知识点2．二倍角公式 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式： S ：sin 2α＝2sin_αcos_α； 2α C ：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2α T ：tan 2α＝. 2α （2）变形公式： cos2α＝，sin2α＝1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【考点分类剖析】 考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用 【典例1】（2021·全国高三其他模拟）已知点 ， 为坐标原点，线段 绕原点 逆时针旋 转 ，到达线段 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据三角函数的定义确定出终边经过点 的 的三角函数值，然后根据位置关系判断出 的终边经过 ，结合两角和的正、余公式求解出 的坐标. 【详解】 由 的坐标可知 在单位圆上，设 的终边经过点 ，所以 ， 又因为 由 绕原点 逆时针旋转 得到，所以 的终边经过点 且 也在单位圆上， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 故选：D. 3 1 ( , ) 【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为 2 2 ，将的终边绕原点 3 顺时针旋转 4 ，得到角，则cos()（ ） 6 2 6 2 31 A． 4 B． 4 C． 4 D． 0 【答案】A 【解析】 3 1 1 3 ( , ) sin ,cos 由角的终边经过点 2 2 ，得 2 2 ， 3 因为角的终边是由角的终边顺时针旋转 4 得到的， 3 3 3 1 2 3 2  2 6 所以sinsin( )sincos cossin  ( )   4 4 4 2 2 2 2 4 3 3 3 3 2 1 2 2 6 coscos( )coscos sinsin  ( )   4 4 4 2 2 2 2 4 3 2 6 1  2 6 6 2 cos()coscossinsin     ， 2 4 2 4 4 A 故选： . 5 5 【典例3】【多选题】（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+12 ）﹣cos（ωx+12 ）（0＜ω ＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）   4 7 A．6 B． 3 C． 3 D． 3 【答案】BC【解析】 5   f(x) 2sin(x  ) 2sin(x ) 因为 12 4 6 ，   x k 由 6 2 ，kZ ， k   因为06，所以x  3，kZ ， k    1 k 由题意可得  3 ，kZ ，得 3 ，kZ ， 4   因为06，所以 3 或 3 . 故选：BC. 【规律方法】 1.三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2.三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可 简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 3.给值求角问题，解题的一般步骤是： (1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小； (2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函 数； (3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小． 【变式探究】 xOy   Ox 1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，终边分3 4  A  ,  BOC  别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为 5 5，C(1,0).若 6 ，则 cos 的值是( ) 34 3 34 3 A． 10 B． 10 4-3 3 43 3 C． 10 D． 10 【答案】C 【解析】 3 4 3 1 cos sin= cos sin 依题意，有： 5 ， 5， 2 ， 2 ， 3 3 1 4 43 3 cos ＝ coscossinsin 2  5  2  5  10 . 故答案为：C.  3 cos( ) 2.（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知为锐角，且 6 5，则sin（ ） 4 33 4 33 3 34 3 34 A． 10 B． 10 C． 10 D． 10 【答案】B 【解析】  3   ∵cos（ 6 ） 5 （ 为锐角）， α α  ∴ 6 为锐角， α  4   ∴sin（ 6 ） 5 ， α            ∴sin ＝sin[（ 6 ） 6 ]＝sin（ 6 ）cos 6 cos（ 6 ）sin 6 α α α α 4 3 3 1 4 33      5 2 5 2 10 ， 故选B． xOy Px ,y  3.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系 中，点 0 0 是单位圆在第一象限内   11 cos     的点，xOP，若  3 13 ，则x  y 为_____． 0 0 15 31 【答案】 26 【解析】     5    11   4 3  0,   ,  cos   sin   由题意知：  ，  ，由   ，得   ，  2 3  3 6   3 13  3 13          y sinsin   sin  cos cos  sin       0  3 3  3 3  3 3 4 3 1 11 3 15 3      13 2 13 2 26          x coscos   cos  cos sin  sin       0  3 3  3 3  3 3 11 1 4 3 3 1      13 2 13 2 2615 3 1 15 31 15 31 x  y    0 0 26 26 26 ，故答案为： 26 . 【总结提升】 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式 把“所求角”变成“已知角”． 高频考点二 两角和与差的正切公式的应用 【典例4】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知 ， 为锐角， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知求出 ，再利用差的正切公式可求. 【详解】 因为 ， 为锐角，所以 .所以 ， ， 又 ， 则 . 故选：C. 【典例5】（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知 为锐角， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由正切的二倍角公式求得 ，再由 可求. 【详解】 因为 ， 所以 . 故选：A. 【规律方法】 1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的 逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应 用后，才能真正掌握公式的应用． 提醒：在Tα β与Tα β中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义； ( ＋ ) ( － ) 若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简． 【变式探究】 5π 1 1. （2018年全国卷II文）已知tan(α− )= ，则tanα=__________． 4 53 【答案】 . 2 【解析】 5π tanα−tan 5π 4 tanα−1 1 tan(α− )= = = ， 4 5π 1+tanα 5 1+tanα⋅tan 4 3 解方程得tanα= . 2 2. （2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影 长 与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识 可知，晷影长度 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 .若对同一“表高”两次测量， “晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记 ， )，则 ___________. 【答案】 【解析】 根据题意得到 ， ，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】 由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得 ， ， 所以 . 故答案为： . 【总结提升】 1.“1”的代换：在T 中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． α±β 2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 考点三 二倍（半）角公式的应用【典例6】（2021·全国高考真题（文））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的 基本关系即可求解. 【详解】 ， ， ， ，解得 ， ， . 故选：A. 3   tan tan( ) cos2  【典例7】（2020·浙江高一期末）已知(,2)，若 4 ，则 4 __； 2 __. 1 【答案】7 10 【解析】 3 tan 因为(,2)，若 4 ， 3 4   故可得sin 5，cos 5 .7   tan1 4    7 则tan  ；  4  1tan 1 4  1 1 1 1 cos2  1cos   2 2 2 5 10. 1 故答案为：7；10. 3π f(x)sin(2x )3cosx 【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数 2 的最小值为___________． 【答案】4 3π f(x)sin(2x )3cosxcos2x3cosx2cos2 x3cosx1 【解析】 2 3 17 2(cosx )2  4 8 ，  1cosx1 ，  当 cosx1 时， f(x) min 4 ， f(x) 4 故函数 的最小值为 ． 【总结提升】 1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结 构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造 适合公式的形式． 2.已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三 角函数值；(2)代入半角公式计算即可 【变式探究】 1.（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知 ， ，且 ． （1）求角 的大小；（2） ，给出 的一个合适的数值使得函数 的值域为 ． 【答案】（1） ；（2） 的值可取 ． 【解析】 （1）根据 ，结合 ，可得 或 ，再根据 求解； （2）由 ，根据值域为 ，结合正弦函数的性质求解． 【详解】 （1）因为 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 可得 或 ，可得 或 ， 又 ，所以 ． （2） ，， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以由题意可得 ，可得 ， 所以 即可， 的值可取 ．  x 2.（2020·河南林州一中高一月考）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3, 3) .  tan()sin( ) 2 （Ⅰ）求 的值； cos()sin(3)  tan2tan （Ⅱ）求 2 的值. 2  【答案】（Ⅰ） 3 ；（Ⅱ）2 【解析】 1 3 3 sin ,cos ,tan . （Ⅰ）由题意得： 2 2 33 3  3 2 2   原式 tancos 3 1 3   (cos)sin 2 2 1  sin 2 tan   2 3. （Ⅱ） 2tan ， 2 1cos 3 tan2  3 1 1tan2 2  tan2tan 2 =2． 【特别提醒】 1.倍角的含义： 对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二 倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件： 在S ，C 中，α∈R，在T 中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可 2α 2α 2α 采用诱导公式． 考点四 简单的三角恒等变换---化简与证明 【典例9】（2021·重庆一中高三其他模拟）已知 ， ， ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 注意综合已知条件，进一步缩小 的范围，以及 的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确 求出 ， , 的值，由 ，利用两角差的正弦公式计算. 【详解】，∴ ， ，∴ ，又∵ ， ∴ ，∴ ， ， , 又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ , 故答案为： . 1 1 tan    cos tan(  ) 4 2 【典例10】求证： . 【答案】见解析   cos(  ) 4 2   sin(  ) 4 2 【解析】左边＝＋     sinsin(  )coscos(  ) 4 2 4 2    cossin(  ) 4 2   cos(  ) 4 2    cossin(  ) 4 2   cos(  ) 4 2    cossin(  ) 4 2  sin(  ) 1 4 2      cos cossin(  ) 4 2 ＝右边． 故原式得证． 【总结提升】 1.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般 需要升次，去掉根号． 2．三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用 公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因 式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根 据角的范围确定三角函数的符号． 【变式探究】 1．（2021·全国高三其他模拟（理））若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果. 【详解】 由 知， ，或 ，则 ， 由 知， ，或 ， 则 ， ， 则 故选：C π π π 2.（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知α∈[ , ],β∈[ ,π]，满足 4 3 2 sin2α sin(α+β)−sinα=2sinαcosβ，则 的最大值为______. sin(β−α) 【答案】√2. 【解析】由sin(α+β)−sinα=2sinαcosβ， 得sinαcosβ+sinαsinβ−2sinαcosβ=sinα 化为sin(β−α)=sinα sin2α 2sinαcosα ∴ = =2cosα， sin(β−α) sinα (π π) 1 √2， α∈ , ,∴ ≤cosα≤ 4 3 2 2 ∴1≤2cosα≤√2， sin2α ∴ 的最大值为√2， sin(β−α) 故答案为√2. 【总结提升】将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与 差的公式展开． (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．