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专题 5 构造函数证明不等式
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此
类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值
(值域),从而达到证明不等式的目的．
二、解题秘籍
(一) 把证明 转化为证明
此类问题一般是 有最小值且比较容易求,或者 有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把
的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围
【例1】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数 .
(1)求证：当 时， ；
(2)求证： .
【解析】（1）证明：因为 ，则 ， ，
当 时， ， ， ，函数 单调递减，
则 成立；
当 时，令 ，则 ，
因为函数 、 在 上均为减函数，
所以，函数 在 上为减函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
而 ，所以 ，
又因为 ，所以存在 ，使得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
因为 ，所以， ，
所以，对任意的 时， 成立，
综上， 对任意的 恒成立.
（2）证明：由（1），对任意的 ， ，则 ，
即 ，
对任意的 ， ，
所以， ，则 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而可得 ，
上述两个不等式相加可得
，
所以， ，
又由（1），因为 ，
则 ，
可得 ，
当 且 时， ，
所以， ，即 ，
所以，当 时， ，
从而有 ，
上述两个不等式相加得：
，
所以， ，
当 时， ，即 ，
所以，对任意的 ， ，
因此， .
(二) 把证明 转化为证明
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数
的性质,通过函数性质证明该不等式.
【例2】（2024届广东省河源市高三上学期开学联考）已知函数 ， ，其
中 .
(1)求过点 且与函数 的图象相切的直线方程；
(2)①求证：当 时， ；
②若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： .
【解析】（1） ，
设切点的坐标为 ，
则切线方程为 ，
因为切线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以切线方程为 .
（2）①令 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递增，
所以 ，
即当 时， ；
② ，
若 ， ，则 在 上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；
若 ， ，
令 ，因为 ， ，且 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又因为当 时， ；
当 时， ，又因为 ，
所以 恰有一解 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 为函数 的唯一的极大值点，
因为当 时， ，
当 时， ，
所以函数 有两个不同的零点 ， 等价于 ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 ，当 ， ，所以 ，
由（1）得，直线 与函数 切于原点得：当 时， ，
因为 ，所以当 时，结合①中 有
，
令 ，即当 时， ，
所以 一定存在两个不同的根，设为 ， ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， 位于单调递减区间，
所以 ，同理 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
(三) 把证明 转化为证明
有时候把证明 转化为证明 后,可能会出现 的导函数很复杂,很
难根据导函数研究 的最值,而 的最小值及 的最大值都比较容易求,可考虑利用证明
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为 未必有
.
【例3】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1）由题意可得 .
则 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
要证 ，即证 ，即证 .
设 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 .
因为 ，且两个最值的取等条件不同，
所以 ，
即当 时， .
(四) 把证明 转化为证明
若直接证明 比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如 构造一个中间
函数 ,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数 ,再通过证明
来证明原不等式.
【例4】已知函数 在区间 上单调．
(1)求 的最大值；
(2)证明：当 时, ．
【解析】 (1)由已知得, ,
要使函数 在区间 上单调,可知在区间 上单调递增,
令 ,得 ,即 ,
解得 ,（ ）,
当 时满足题意,此时,在区间 上是单调递增的,故 的最在值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当 时,要证明 ,即证明 ,
而 ,故需要证明 .
先证： ,（ ）
记 ,
,
时, ,所以 在 上递增,
,
故 ,即 .
再证： ,（ ）
令 ,
则 则 ,
故对于 ,都有 ,因而 在 , 上递减,
对于 ,都有 ,
因此对于 ,都有 .
所以 成立,即 成立,
故原不等式成立.
(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式
此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常
见的变形方法有：
①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；
②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③不等式为 类型,且 的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以 ；
xlnx
④不等式中含有 ,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以 ；
⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.
【例5】（2024届江西省稳派上进教育高三上学期8月考试）已知函数 ，
， ， 分别为 ， 的导函数，且对任意的 ，存在 ，
使 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ，有 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ．
因为 ，
所以 ．
令 ，则 ，
又 ，所以 ，
故 在区间 上单调递增，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又对任意的 ，存在 ，使 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ．
（2）令 ， ，则 ．
令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立）．
令 ，则 ．
令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立），
故 （当且仅当 时，等号成立）．
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
故 ，即 ．
(六) 通过减元法构造函数证明不等式
对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变
形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.
【例6】（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期考试）已知函数 .注： 为自
然对数的底数， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个不相等的零点 ，极值点为 ，证明：
（i） ；
（ii） .
【解析】（1）由 ，
得 ，
令 得 ，令 得 .
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）（i） ，
设 ，
存在唯一 且 ，使得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增， 是极小值点.
若 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，此时 不存在两个零点，不满足要求，
故要使函数 有两个不相等的零点 ，则 .
于是 .
（ii） ①， ②，
①-②得 ，整理得 ③.
下证： .不妨设 ，令 ，则 .
可化为 ，即 .
令 ，于是 在 上单调递增，
又 ，所以 ，从而 ，
得 .
于是③式可化为 ，得 .
得证.
(七) 与数列前n项和有关的不等式的证明
此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3, ,n代换,然后用
叠加法证明.
【例7】（2024届黑龙江省哈尔滨高三上学期开学考试）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 零点个数；
(2)求证： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）
①当 时， 即 在 单调递减，
又 ， 只有一个零点.
②当 时，令 则 ，
当 时， 当 时，
故 在 单调递增， 在 单调递减，
，
令 ，则 ，
故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 ，
又 ， ，
故当 时， 只有一个零点，
当 且 时， 有两个零点，
综上可知：故当 或 时， 只有一个零点，
当 且 时， 有两个零点，
（2）由（1）可知，当 时， 在 单调递减，
故当 时， ，故 ，
取 ，则 ，即 ，
相加可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
三、典例展示
【例1】（2023届福建省三明市高三三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
【解析】（1） 定义域为 ，因为 ，
所以 .
令 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，此时 ，所以 在 上单调递减.
当 时，令 ，则 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减.
当 时，令 ，则 ，
所以当 时， ，
即 在 和 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
即 在 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增
（2）要证明： ，只要证明： ，
只要证明：
只要证明： .
只要证明： ，
只要证明： ，
只要证明： .
由（1）知，当 时， 在 上单调递减.
即要证明 ，即要证明 .
即证明 .因为 ，所以 ，所以原不等式成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解法二：
要证明： ，只要证明： .
只要证明：
只要证明：
只要证明： .
令 ，
所以
所以 .
因为 ，所以 ，即 在 上单调递增.
所以 ，即原不等式成立
【例2】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断测试）已知函数 .
(1)求 的最大值;
(2)证明：
【解析】（1） ，定义域为 ，
则 ，
令 ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，可得 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）要证 ，即证 ，
令
令 得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
即欲证 ，只需证 也就是证明
设 ，则 ，令 ，得
当 时， ；当 时，
当 时， 取到最小值
故 式成立，从而 成立.
【例3】（2024届湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b满足 ，求证： ；
(3)若 ，求证： .
【解析】（1）函数 的定义域是 .
由 ，得 在 上单调递减；
由 ，得 在 上单调递增，
综上知， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）得 在 的值域为 ，
在 上的值域为 .注意到 ， .
不妨设 ，则欲证 ，即证 .
由于 由（Ⅰ）得 在 上单调递增，
故只需证 ，
由已知 ，即证 ，也即 ，
方法一：令 ， .
，
由 ，在 单调递增，
得 单调递增，
且 .
由于 ，故 满足 .
由 单调递增知：
当 时 ， 单调递减，值域为 ；
当 时 ， 单调递增，值域为 ；
设 ， ，则 ， 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，即 ，
取 ，得 ，即
综上，得 ，即 ， 得证.
方法二：（重新同构）
令 ，即 ，证： ，
由于 ，从而 .
故要证 成立，只需 在 单调递增成立即可.
，
令 ， ，则 ，
在 单调递减， ， ，
故 在 单调递增成立，原命题成立.
方法三：（比值代换）由对称性，不妨设 ， ，
则
由于 ，欲证 ，
即证： ，即证 ，
可变为 ，由证法二可知成立，从而得证；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法四：（切、割线放缩）1、由于 故 ，即 ；
2、由方法二知 ， ，
故 ，即 ，故 ， ；
由1、2知 ，故 成立，原命题成立.
（3）由（2）知 ，
①当 时， 在 上单调递增，
故 .
②当 时，
由 ，取 ，
得 （ ）时，
有 ，即 .
由 在 上单调递增，故 ，
综上，得 时，当 成立.
【例4】（2023届贵州省贵阳市2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考）实数 ， ，
.
(1)讨论 的单调性并写出过程；
(2)求证： .
【解析】（1）若 ，令 ， 的定义域为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
此时
①当 时， 时， ， 在 上是增函数；
时， ， 在 上是减函数；
时， ， 在 上是增函数；
②当 时， ， 在 上单调递增；
③当 时， 时， ， 在 上是增函数，
时， ， 在 上是减函数，
时， ， 是增函数.
若 时， ，
时， ， 在 上是减函数；
时， ， 在 上是增函数；
若 ，则 的定义域为 ，
此时 且 ，
当 时， ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数
（2）由（1）得 时， ， 在 上是减函数，
即当 时， ，即 ，
即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， ，
求和即得 .
【例5】（2024届黑龙江省鹤岗市高三上下学期开学考试）已知函数 ， ．
（ 为自然对数的底数）
(1)当 时，求函数 的极大值；
(2)已知 ， ，且满足 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值为 ；
（2）由题意知， ，由 可得 ，
所以 ，令 ，
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
令 ， ，又 ， ，所以 ， ，则 ，
①若 ，则 ，即 ，所以 ；
②若 ，设 ，且满足 ，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，所以 ，下证： ．
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ．
由①②可知， 得证.
四、跟踪检测
1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数 ， ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ， 的极大值大于b，证明： ．
【解析】（1） ，
由 ，即 ，解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，
令 ，
， ，
，
，
在 恒成立，
故 在 递增，而 ，
，使得g
令 ，有
故 时 ， 时 ， 时 ，
故 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
∴ 极大值
由 得
故 则
， ，
．
2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数 （ ）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围：
(2)设 ， ， 为函数 的两个零点，证明： ．
【解析】（1）若 在 上恒成立，即 ，
令 ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即a的取值范围是 ．
（2）令 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
不妨设 ，则 ， ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
设函数 （ ），则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ．
又函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知 ，函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)求证： ；
(3)若 为 的极值点，点 在圆 上.求 .
【解析】（1） ， ，
由 ，得切点为
由 ，有 ，即 在点 处的切线斜率为 ，
所以 在点 处的切线方程为： .
（2）证明：因为 ( ， )，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设函数 ，则 ( ， )，
所以 在 上单调递增
又因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
即 ， ，
所以，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以
令 ， ，
则 ， 解得 ， 解得 ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以， ，
所以， 的图像在 的上方，且 与 唯一交点为 ，
所以， .
（3）圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 为圆 的切线，
由 解得切点坐标为 ，
显然，圆 在直线 的下方
又因为 ，且点 在圆 上，则点 即为切点为 ，
所以 ， .
4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数 ，
(1)证明：当 时， 恒成立；
(2)若关于 的方程 在 内有解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 ， ，求导得 ，
令 ， ，求导得 ，
则函数 在 上单调递增， ，
因此函数 在 上单调递增， ，
所以当 时， 恒成立.
（2）设 ， ，则 ，
则 在 上递增， ，即 ，
方程 等价于 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，原问题等价于 在 内有零点，
由 ，得 ，
由（1）知，当 时， ，
当 时，函数 没有零点，不合题意；
当 时，由 ，求导得 ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，
当 时，令 ，则 ，
因为 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
又 ， ，因此 在 上存在唯一的零点 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
显然 ， ，
因此 在 上存在唯一的零点 ，
且 ，当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，
由（1）知， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上没有零点，在 上存在唯一零点，因此 在 上有唯一零点，
所以 的取值范围是 .
5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程 有三个实数根
.
(1)求 的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，
若选②则该小问满分9分.
①证明： ；
②证明： .
【解析】（1）由题意设 （ ），
则 ， ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，所以 在 ， 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
又 ， ， ，且 ，
当 趋向于 时， 也趋向于 ，
又方程 有三个实数根 ，
等价于直线 与 的函数图像有三个交点，
即 ，
所以 的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）选①，证明如下：
由（1）得： ，则 ，
设 ， ，则 ，
不妨设 ，则 （ ），
又 ，即 ，
故 ，即 ，所以 ， ， ，
则 ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
因为 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
故 .
选②，证明如下：
由（1）得： ，则 ，
设 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 ，则 （ ），
又 ，即 ，
故 ，即 ，所以 ， （ ），
则 （ ），
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
因为 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
故 .
所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
从而 ，故 ①，
下证 ，
有 （ ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即证 时， ，即 ，
即证 （ ），
设 （ ），则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 ，所以 ②，
又 ，所以得 ，
设 ，（ ），则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 ③，
联立①②③得： ，
故 .
6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设函数 ， ，当 时，证明： .
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当 时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递增；
②当 时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递减；当
时， ， 单调递增.
综上：当 时，单调增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， .
（2）对任意的m， ，且 ，令 （ ），
因为
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 ，
则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，故 ，
所以 ，
故 .
7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数 ，已知 是函数
的极值点.
(1)求 ；
(2)设函数 ，证明： .
【解析】（1）由题意可知， ，则 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，解得 ，
经检验满足题意，故 ；
（2）由（1）得 ， ，
设 ，则 ，
当 时， ，即 ，所以 在区间 单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在区间 单调递减，
因此当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 的定义域要求 有意义，即 ，同时还要求 ，即要求 ，所以
的定义域为 且 ，
要证 ，因为 ，
所以需证 ，
即需证 ，
令 ，则 且 ，则只需证 ，
令 ，则 ，令 ，可得 ，
所以 ， ； ， ；
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 成立.
8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数 ，曲线 在
点 处的切线方程是 .
(1)求 、 的值；
(2)求证： ；
(3)若函数 在区间 上无零点，求 的取值范围.
【解析】（1） ，由切线方程知 ，即 ，注意到
，解得 , .
（2）由（1）可知 ，若要 且注意到 ，所以只需 即可，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】构造函数 ，对其求导得 ，令 得 ，
所以 、 随 的变化情况如下表：
所以 有极大值 ，综上 ，结合分析可知命题得证.
（3）由题意分以下三种情形讨论：
情形一：注意到当 且 时，有 ， ，此时有 ，即 在区间 上无
零点，符合题意.
情形二：对 求导得 ，所以有 ；进一步对
求导得 ，注意到当 且 时，有 ， ，进而有 ，所以
单调递减，
所以 ，因此 单调递减，故 ，即 在区间 上无零点，符
合题意.
情形三：由（2）可知 时有 ，且注意到当 时
有 成立，
所以 ，此时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以存在 使得 ，且注意到此时有 成立，
所以 、 随 的变化情况如下表：
故一方面当 时， 取极大值（或最大值） ，显然有 ；
另一方面由 可得 ，
所以有 ，由零点存在定理并结合这两方面可知函数 在区间 上存在零点.
综上所述，符合题意的 的取值范围为 .
9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的两个极值点分别为 ， ，证明： ．
【解析】（1）依题意， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得
，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 在 上单调递增．
（2）不妨设 ，由（1）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，所以 ，所以 ．
由（1）知， ， ，则 ．
要证 ，只需证 ．
因为
，
设 ， ．
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ．
所以 ，即得 成立．
所以原不等式成立．
10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)讨论函数 的单调性；
(2)求证： ， .
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递
增， 上单调递减；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，所以 在 ，
上单调递增， 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，所以 在 ，
上单调递增， 上单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递增， 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增， 上单调递减.
（2）当 时，由（1）可得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即 .
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