文档内容
2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
第二章 相交线与平行线
易错导航
易错点1
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的判别易错
相交
易错点2
利用余角、补角求角易错
线与
易错点3
平行 利用邻补角、垂直求角易错
线
易错点4
平行线的判定与性质易错
易错点5
平行线的性质在生活中的应用
易错点6
平行线中拐点问题易错
易错训练
【易错点1对顶角、同位角、内错角、同旁内角的判别易错】（2021·广东惠来·七年级期末）如图，在所
标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A． 和 互为补角 B． 和 是同位角
C． 和 是内错角 D． 和 是对顶角
【答案】C
【分析】
根据同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义求解判断即可．【详解】
解：A、 和 是邻补角，故此选项不符合题意；
B、 和 是同位角，故此选项不符合题意；
C、 和 不是内错角，故此选项符合题意；
D、 和 是对顶角，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了同位角、内错角、对顶角以及邻补角的定义，熟记同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义是
解题的关键．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对
位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，
此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
【变式训练】
1.（2021·全国·七年级专题练习）下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．
【详解】
解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；
②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；
③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；
④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．
∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，
故选C．
【点睛】
此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．
2.（2022·全国·七年级）如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；
（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；
（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；
（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；
（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．
【答案】BD（BC） 同位 AC 内错 AB AC BC 同旁内 AB AC BC
同位 AB CE BC 同旁内
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可；
【详解】
（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角；
（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角；
（3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角；
（4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角；
（5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角．
故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；
同旁内．
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键．
【易错点2利用余角、补角求角易错】（2022·江西宜春·七年级期末）一个角比它的补角的3倍多40°，则
这个角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，根据“一个角比它的补角的3倍多40°，”列
出方程，即可求解．
【详解】
解：设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，根据题意得：
，
解得： ，
∴这个角的度数为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了补角的性质，一元一次方程的应用，利用方程思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·七年级期末）已知∠α＝ ，则∠α的余角的度数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据90度减去 即可求解．
【详解】
解：∠α＝ ，则∠α的余角的度数是
故答案为：
【点睛】
本题考查了角度的计算，求一个角的余角，掌握角度的计算是解题的关键．
2．（2022·福建仓山·七年级期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，
∠COE＝α，则∠BOE＝_____．（用含α的式子表示）
【答案】360°-4α
【解析】
【分析】
设∠DOE=x，根据OC平分∠AOD，∠COE＝α，可得∠COD=α-x，由∠BOD＝3∠DOE，可得∠BOD=3x，由平角∠AOB=180°列出关于x的一次方程式，求解即可．
【详解】
解：设∠DOE=x，
∵OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，
∴∠AOC=∠COD=α-x，∠BOD=3x，
由∠BOD+∠AOD=180°，
∴3x+2(α-x )=180°
解得x=180°-2α，
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=3x-x=2x=2（180°-2α）=360°-4α，
故答案为：360°-4α．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平角的定义，一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义是解题的关键．
3．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，已知点 是直线 上的一点， ，
．
（1）当 时， 的度数为__________；
（2）当 比 的余角大 ， 的度数为__________．
【答案】 45° 20°
【解析】
【分析】
（1）根据∠COA＝∠AOE-∠COE求解即可；
（2）设∠BOE＝x，则∠BOE的余角为90°-x，然后求出∠COF和∠AOC，继而得到∠AOF=50°，再根据
求得∠AOE和∠BOE，根据∠COF=∠COE-∠FOE即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠BOE＝15°，
∴∠AOE＝165°，∵∠COE＝120°，
∴∠COA＝∠AOE-∠COE =45°，
故答案为：45°；
（2）设∠BOE＝x，
则∠BOE的余角为90°-x，
∵∠FOE比∠B0E的余角大40°，
∴∠FOE＝90°-x＋40°＝130°-x，
∵∠COE＝120°，
∴∠COF＝∠COE-∠FOE＝120°-（130°-x）＝x-10°，
∠AOC＝180°-∠COE-∠BOE＝180°-120°-x＝60°-x，
∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF=（60°-x）+（x-10°）=50°，
∵ ，
∴∠AOE=3∠AOF=150°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-150°=30°，即x=30°，
∴∠COF=∠COE-∠FOE= x-10°=30°-10°=20°
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查余角、补角的计算，解题的关键是熟知相关知识点．
【易错点3利用邻补角、垂直求角易错】（2021·全国·七年级专题练习）如图，直线AB和CD交于O点，
OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40，则∠EOF=_______．
【答案】130°
【分析】
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，
得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．
【详解】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=40°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．
故答案为130°．
【点睛】
本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解
题关键．
【变式训练】
1.（2021·新疆塔城·七年级期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．
若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．
【答案】∠AOD、∠BOC 50° 130°
【分析】
根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶
点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案．
【详解】
解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；
∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵∠COB是∠AOC邻补角，
∴∠COB=180°-∠AOC=130°．
故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°
【点睛】
本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键．
2．（2021·广东·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，AB交CD于O，OE⊥AB．（1）若 ，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数．
【答案】（1）62°；（2）30°
【分析】
（1）利用垂直及平角即可求得∠AOC的度数；
（2）根据∠AOC＋∠BOC＝180°求得∠AOC的度数，再由平角即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
又∵∠EOD＝28°，∠EOD＋∠AOE＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝180°－∠EOD－∠AOE＝180°－28°－90°＝62°；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠EOD＝180°－∠AOC－∠AOE＝180°－60°－90°＝30°．
【点睛】
本题考查了角的计算，熟练掌握垂直的定义，平角的定义是解题的关键．
3．（2021·江苏盐都·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析
【分析】
（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；
（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．
【详解】
解：（1）∵OG⊥CD．
∴∠GOC＝∠GOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，
∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，
（2）OG是∠EOB的平分线，
理由：
∵OC是∠AOE的平分线，
∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，
∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOG，
即：OG平分∠BOE．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．
4．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．
（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数．
（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．【答案】（1）25°；（2）α=2β
【分析】
（1）先根据平角的定义得：∠COE=130°，由角平分线的定义和垂线的定义可得∠BOF的度数；
（2）根据（1）中的过程可得结论．
【详解】
解：（1）∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE= ∠COE= ×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；
（2）∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE= ∠COE= （180°-α）=90°- α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°- α）-90°= α，
即α=2β．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，以及邻补角的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义是关键．
【易错点4平行线的判定与性质易错】（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知， ．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分 ， ，求 的度数．
【答案】
解：（1）DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，
∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．【变式训练】
1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）如图所示，下列四组条件中，能得到AB//CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．∠ABC=∠ADC，∠2=∠3 D．∠BAD+∠ABC=180°
【答案】C
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定并能准确识图是解题关键．
2．（2021·全国七年级）如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（
）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．
3．（2020·高台县南华初级中学八年级期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【答案】B
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．
4．（2020·沈阳市雨田实验中学八年级期末）如图， 于点 ， ， ，则（ ）
A．112° B．122° C．132° D．142°
【答案】C
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，掌握垂直与平行线的性质并准确得出∠BAC度数是解题关键．
5．（2020·西安市曲江第一中学九年级期末）如图，已知 ，把三角尺的直角顶点放在直线a上．若
，则 的度数为（ ）
A．130° B．140° C．145° D．150°
【答案】A
【点睛】
此题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键．
6．（2020·河南南阳市·七年级期末）如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是____．
【答案】∠DCE=∠B（答案不唯一）
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角
就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．7．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图， ，垂足为点 ， ，
，则 的度数为________．
【答案】50°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACB=40°．
8．（2019·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针
旋转_________度.
【答案】15
【点睛】
本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
9．（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图， ， ， 平分 ， ，
， 为______°．
【答案】20
【点睛】本题主要考查平行线的性质，涉及到角的和差，角平分线的性质，解题的关键是求得∠BCE．
10．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上，
， ，则 的度数为______．
【答案】
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键．
11．（2021·重庆万州区·七年级期末）补全解答过程：
如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= ，（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥ ，（ ）
∴∠AGD＋∠BAC=180°．（ ）
∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD= ．
【答案】
∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，（已知）∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，理解平行线的判定与性质进行证明是解此题的关键．
12．（2020·贵州遵义市·七年级期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相
交于点H，∠C＝∠EFG，∠BFG＝∠AEM，求证：AB∥CD．（完成下列填空）
证明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）
且∠AEM＝∠BEC（ ）
∴∠BEC＝∠BFG（等量代换）
∴MC∥ （ ）
∴∠C＝∠FGD（ ）
∵∠C＝∠EFG（已知）
∴∠ ＝∠EFG，（等量代换）
∴AB∥CD（ ）
【答案】
证明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）
且∠AEM＝∠BEC（对顶角相等）
∴∠BEC＝∠BFG（等量代换）
∴MC∥GF（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠FGD（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠EFG（已知）
∴∠FGD＝∠EFG，（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案是：对顶角相等；GF；同位角相等，两直线平行；FGD；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
13．（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A
不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的
关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】
（1）∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
故答案为：116°；58°；
（2）不变，∠APB=2∠ADB，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分
线的定义等．
14．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）三角形ABC中，D是AB上一点， 交AC于点E，点F
是线段DE延长线上一点，连接FC， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接BE，若 ， ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若 ，BE平分
，求 的度数．
【答案】
（1）证明：∵DE∥BC，
∴ ，
又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，
∴ ，∴ ，
（2）解：过E作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
答： 的度数是100°，（3）解：∵BE平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵DE∥BC，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
答： 的度数是12°．
【点睛】
本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．18．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与
∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理
由．
（3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．
【答案】
解：（1）∠EDF=∠A．
理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，
∴∠A=∠EDF；
（2）DE∥BA．
证明：如图，延长BA交DF于G．
∵DF∥CA，
∴∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴DE∥BA．
（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，
∴∠EDF=∠EAF=∠BAC；
②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，
∴∠EDF+∠BAC=180°．
综上，∠EDF与∠A相等或互补
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线
的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【易错点5平行线的性质在生活中的应用】．（2021·河北滦州·七年级期末）已知：某小区地下停车场的
栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则 _________度．
【答案】120
【解析】【分析】
过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得
∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】
解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·广东白云·七年级期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照
灯碗的剖面，从位于 点的灯泡发出的两束光线 ， ，经灯碗反射以后平行射出，其中 ，
，则 的度数是______
【答案】116
【解析】
【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】
解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2021·湖南岳阳·一模）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．
如图，水面 与水杯下沿 平行，光线变成 ，点G在射线 上， ，则
__°．
【答案】25
【解析】
【分析】
根据平行线的性质知 ，结合图形求得 的度数．
【详解】
解：∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
3．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的
管道平行，第一次拐弯处的 ，那么第二次拐弯处的 ________ ．
【答案】140
【解析】
【分析】
根据平行线的性质直接求解．
【详解】
解：由平行线的性质得：
∠B=∠C=140°．
故答案为：140．
【点睛】
本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行，内错角相等．
4．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的
是 ，第二次拐弯处的角是 ，第三次拐弯处的 是 ，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道
路平行，则 等于_____．
【答案】89°
【解析】
【分析】
过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角
相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．【详解】
解：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠A=∠ABD=70°，∠DBC+∠C=180°，
∵∠C=161°，
∴∠DBC=19°，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=89°．
故答案为：89°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5．（2021·全国·七年级期末）如图，一辆汽车在公路 上由西向东行驶，经两次拐弯后驶上公路 ，
驾驶员发现在公路 和公路 上行驶的方向都是正东方向，如果汽车第一次拐弯转过的角度 ，
则第二次弯转过的角度 ________．
【答案】44°
【解析】
【分析】
由于驾驶员发现在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，所以拐弯后两直线平行，所以α，β是
同位角，所以α=β．
【详解】
解：∵经两次拐弯后在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，
∴AB∥CD，
∴α=β，
∵α=44°，∴β=44°．
∴第二次拐弯转过的角度β是44°，
故答案为：44°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6．（2021·江苏·南京玄武外国语学校七年级阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光
线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，
如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．
【答案】77°．
【解析】
【分析】
光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3﹣∠4的度
数．
【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠5+∠2＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠2，
∵AC∥BD，
∴∠3＝∠5，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，
∴∠4＝∠6，
∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．
故答案为：77°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
7．（2021·江西·南昌市心远中学七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行
于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【答案】270°
【解析】
【分析】
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】
过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会
发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行，光线 从水中射向空气时发生折射，光线变成 ，点
在射线 上，已知 ，则 的度数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质知∠GFB=∠FED=45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠FED=45°．
∵∠HFB=20°，
∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°．
故答案为：25°
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
【易错点6平行线中拐点问题易错】（2020·浙江金华市·七年级期中）如图1， AB∥CD，∠PAB=130° ，
∠PCD=120° ，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，AB∥CD ，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β当点P在B、D两点之间运动时，
问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写
出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解
题时注意分类思想的运用．
【变式训练】
1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将一块带有 60° 角的直角三角板放置在一组平行线上，若
∠1=35°，则 ∠2 的度数应该是（ ）
A．60° B．35° C．30° D．25°
【答案】D
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2021·河南新乡市·七年级期末）如图，已知直线 ， ， ，则 等于（ ）A．110° B．100° C．130° D．120°
【答案】A
【点睛】
本题考查平行线的性质，是重要考点，作平行辅助线、掌握相关知识是解题关键．
3．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与
原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．50°
【答案】A
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
4．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5．（2020·湖北随州市·七年级期末）如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直
线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．【答案】270°
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，直线 ∥ ，△ 的顶点 和 分别落在直线 和 上，
若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，则 的度数是______°．
【答案】30
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
7．（2020·山东青岛市·七年级期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数
为__°．
【答案】46
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
8．（2020·河南郑州市·郑州外国语中学九年级月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数
为_____．【答案】48°
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
9．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式
为_______________；
【答案】 或
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补
定理的应用与辅助线的作法．
10．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学七年级月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内
部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．
（直接写出结论）问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．
（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝
．
【答案】
问题情境1：
如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，
即∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；
问题情境2
如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：
过点P作EP∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，
∴∠BPD＝∠B+∠D，
即∠P＝∠B+∠D；
故答案为∠P＝∠B+∠D；
问题迁移：
（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝ ∠ABE，∠EDF＝ ∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）如图5， ∠E+∠M＝60°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，∴ ∠E+∠M＝60°；
（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，
∠EDF＝ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝ ，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝ ；
故答案为∠M＝ ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助
线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
