文档内容
专题 6-2 数列求通项
目录
专题6-2数列求通项................................................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一： 法..........................................................................................................................................1
题型二：累加法........................................................................................................................................6
题型三：累乘法......................................................................................................................................10
题型四：构造法......................................................................................................................................13
题型五：倒数法......................................................................................................................................18
................................................................22
题型一： 法
【典例分析】
例题1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【详解】（1）∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，
∴ ；
例题2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知等比数列 的前 项和为
．
(1)求实数 的值，并求出数列 的通项公式；
【答案】(1) ，
(1)
解：当 时， ；
当 时， ；
因为 是等比数列，
所以 ，即 ，解得 ．
综上，k的值为4，数列 的通项公式为 ．
例题3．（2022·山东烟台·三模）已知数列 的前 项和为 ， ，当 时，
.
(1)求 ；
【答案】(1)
（1）当 时， ，所以， ，整理得：
，即 .所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.所以 ，即 .
例题4．（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由题可知， ①，
所以 ， ②，
① ②得 ，所以 （*），
又因为 ，所以 ，符合（*）式，
所以 ；
【提分秘籍】
对于数列 ，前 项和记为 ；
① ；②
①-②：
法归类
角度1：已知 与 的关
系；或 与 的关系 用 ，得到 例子：已知 ，求角度 2：已知 与 替换题目中 例子：已知 ；
的 关 系 ； 或 与 的
已知
的关系
角度3：已知等式中左侧含 作 差 法 （ 类 似
例子：已知 求
）
有：
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且
．
(1)求证：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为 ，
所以 ，即 ，
则 ．
又 ， ，满足 ，
所以 是公差为4的等差数列．
2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵ ，①
当 时， ，即
当 时， ．②由①－②得 ，即
∴数列 是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
3．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ；数
列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则
解得 ，
所以
因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以
显然 符合 ．
综上可知 ．
4．（2022·四川·石室中学三模（文））已知数列 的前n项和为 ，且
.
(1)求 ， 及数列 的通项公式；【答案】(1) ， ， ；
(1)
∵ ①，
∴当n=1时， ，即 ， ；
当n=2时， ，即 ，将 代入并整理得
， ．
当 时， ②，
由①－②得， ，∴ ，
因此，当 时， ，
当n=2时， ，∴ 在n=2时不成立，
故
题型二：累加法
【典例分析】
例题1．（2022·福建泉州·高二期末）已知数列 满足：
为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；(1)由 ，故 的公差为 ，
，
，
当 时， 满足 ，
故对 ；
例题2．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知 ，数列
满足 ， .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：因为 ，即 ，
所以 ， ，…， ，
以上各式相加得 ，
又 ，所以 .
当 时， ，
故 的通项公式为 .
【提分秘籍】
累加法（叠加法）
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列
{a } n+1 n {a }
n n{a }的通项时，利用恒等式
n
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列 满足 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；
(1) ，.
2．（2022·全国·模拟预测）给出以下两个条件：① ， ；
② ， ．请从这两个条件中任选一个将下面的题
目补充完整，并求解．
已知数列 的前n项和为 ，且______．
(1)求数列 的通项公式；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(1)解：若选①：
由 ，得 ，
即 ，
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ．
当 时， ，
，
而 也满足上式，故 ．
若选②：
由 ，
得 ，所以 ，
即 ，
则
，
即 ，
解得 ．
3．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式．
【答案】(1)
(1)解：因为 ，
所以 ，
，
，
，
又 适合上式，
所以 ；题型三：累乘法
【典例分析】
例题1．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知数列 的前 项和为
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
（1）因为 ，所以 ，由累乘法得
，则 ，
又 ，所以 ，当 时， ， 时， ，
时也符合，所以 ；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
（1）当 时， ，
则 ，即 ，
，
n＝1也满足上式，故 ；【提分秘籍】
累乘法（叠乘法）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
通项时，利用a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)（1）因为 ， ，所以当 时， ，则
，即 ，当 时，也成立，所以 .
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a=1， (n≥2)，求数列{an}
1
的通项公式.
【答案】
【详解】因为a=1， (n≥2)，所以 ，
1
所以 ·…· ·1= .
又因为当n=1时，a=1，符合上式，所以an= .
1
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为 ，且满足
.求 的通项公式.
【答案】 .
【详解】由 ，得 ，
又 ，所以当 时，
，
又 也满足上式，所以 ；题型四：构造法
【典例分析】
例题1．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
数列 满足 ,且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
因为 符合 ，所以 ;
因为 ,
所以 ,
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
所以 .
所以 ；
例题2．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）数列 中，已知 （ ，
），其中 是非零的常数.
(1)若 ， ，求证：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析（1）由 得， ，（ ， ），
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是公比为 的等比数列.
例题3．（2022·广东·模拟预测）已知数列 中， 且
，
(1)求证：数列 是等比数列；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)选①： ；选②：
(1)因为 且 ，
所以当 时， ，
所以 ，即
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，
因为 ， 时，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．【提分秘籍】
构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变
n+1 n
p
形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，
n+1 n
kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，
n+1 n
{a } {a }
n n
从而构造数列 为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为
qn+1
，换元令： ，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出
{a }
的通项公式.
n
（3）形如a −a =ka a (k≠0)的数列，可通过两边同除以a a ，变形为
n n+1 n+1 n n+1 n
1 1 {1 } {1 }
− =−k的形式，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得
a a a a
n+1 n n n
{a }
的通项公式.
n
【变式演练】
1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 满足 ， .
(1)写出该数列的前 项；
(2)求数列 的通项公式；【答案】(1) ， ， ， ，
(2)
(1) ， ， ， ， .
(2)由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
.
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前 项的和为 且满足 ，数列
是两个等差数列 与 的公共项组成的新数列．
(1)求出数列 ， 的通项公式；
【答案】(1) ，
(1)当 时， ， ；
当 时， ， ，即
，
， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ；
数列 是两个等差数列 与 的公共项组成的新数列，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， .
3．（2022·全国·高二单元测试）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知数列 中， ，______，求数列 的前n项和 ．【答案】答案见解析
【详解】选①，因为 ，所以 ，
又 ，所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，则 ，
， 得
，整理得 ．
选②，由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
故 ．
选③，由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ．
故 ， ，
得 ，整理得 ．
题型五：倒数法
【典例分析】例题1．（2022·陕西西安·高二期中（文））若 .
(1)求证: ；
(2)令 ,写出 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 ；
【答案】(1)证明见解析；
(2)结论见解析；
（1）假设 ，因 ， ，则 ，解得 或 ，
于是得 或 ，与题设 矛盾，即假设是错的，
所以 成立.
（2）因 ， ， ，则 ， ， ， ，
显然有 ， ， ， ， ，则 ，
由 得： ，即 ，又 ，
因此数列 是首项为1，公比为 的等比数列， ，则 ，
所以 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）因为 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，故 ；
【提分秘籍】
倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
为 = + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通
a a q a a q a a
n+1 n n+1 n n n
项，即可求得a .
n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两
p,q
边取“倒”，变形为 ，可通过换元： ，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如
a =ka+p
（k,p
n+1 n
为常数， kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a +m=k(a +m)（其
n+1 n
p
中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而求出数
k−1 {a +m} {a +m}
n n
{a }
列 的通项公式.）
n
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；【答案】（1）
【详解】（1）因为 ，令 ，则 ，又 ，所以 .
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，故 ；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 为等差数列.
(2)求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】(1)证明:
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 是首项为 ，公差为 的等差数列．
(2)由上述可知 ，
∴ .3．（2021·广东梅县东山中学高三期中）已知数列 中， ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(1)解：由 ，得
∴ ，
所以数列 是以3为公比，以 为首项的等比数列 .
1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）（1）已知等差数列 满足 ，
，数列 满足 ， .求 ， 的通项公式；
（2）在数列 中， ， ，
①求证： 是等比数列；
【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
则 ，解得 ，则 ；
又数列 满足 ，
所以 ，
累加得：故 ，
综上： ， ；
（2）①在数列 中， ， ，
所以 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和 ， ，
．
(1)证明数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析,
【详解】（1）因为 ①
当 时, ②
① ②可得 ,即得
因为 ,
又因为 ,则 ,即得
所以 是以 为首项,以2为公比的等比数列
所以 ,即
3．（2022·福建省福州延安中学高三阶段练习）已知数列 中，
；
(1)求数列 的通项公式；【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以 ，由 ，
可得 ，即有 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
当 时， ，
当 时，满足 ，故 ；
4．（2022·福建省永泰县第二中学高三期中）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和
满足： .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：∵ ，①
当 时 ，解得 ，
∴ ，②
①－②得 ，
∴ ，化简 .
∵ ，∴ .
∴ 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ .
5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知数列 的前 项和为 ．(1)求数列 的通项公式 ；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，两式作差得 ，
即 ，
所以数列 为等比数列，公比为2，所以 ，
所以数列 的通项公式 ．
6．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）在数列 中， ，其前 项和 满足
(1)求数列 的通项公式 ；
【答案】(1)
【详解】（1）
，
所以 ，所以 ，即 ，
经检验 满足上式子，故
7．（2022·上海市西南位育中学高二期末）已知数列 的前 项和为 ，对任意
都有 成立，且 .
(1)求数列 的通项公式
【答案】(1) ；【详解】（1）因为对任意 都有 成立，且 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为5，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
8．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）在数列 中，已知前n项和为 ，
， ， ．
(1)求 的通项公式及 的表达式；
【答案】(1) ，
【详解】（1）由题意，
在数列 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∴ ，，
，…，
，
累加得， ，
∴ ，
∵ ， 符合上式，
∴ ，
∴ 的是以首项为 ，公差 的等差数列.
∴
即： ．
9．（2022·山东德州·高三期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ，
【详解】(1) 由 得 ,
作差得 , 即 ,
即 , 即 ,所以数列 是以 为首项, 3 为公比的等比数列, , 所以
.
数列 满足 , (1)
当 时, ;
当 时, ,(2)
由(1) -(2)可得 ,
当 时,也符合上式, 故数列 的通项公式为 .
10．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试（文））在① ；②
；③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解
答.
已知数列 的前 项和为 ，且 ，_____.
(1)求 ；
注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
（1）若选条件①：由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，则 ；
若选条件②：当 时， ，
经检验： 满足 ； ；
若选条件③：当 时， ，
整理可得： ， ，又 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，则 .
