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专题 5.5 解三角形【九大题型】
【新高考专用】
1、解三角形
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、
余弦定理解三角形、三角形的面积与周长问题在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高
考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理
的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知
识综合命题，需要灵活求解.【知识点1 解三角形的几类热点问题及其解题思路】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，
即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的
三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 B= >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 B= =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 B= <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< B= <1可得B有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑到“大边对大角”、
“三
角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和求解策略】
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定
A,B间不可达
也不可视 理得
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，
B, C与点A可
由正弦定理得
视但不可达
测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的
C,D与点A,B 度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在
均可视不可达 △BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
可达
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
点B与
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形
C,D共线
得AB的值.
底
部
不
可
达
点B与 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
C , D不 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角
共线 三角形得AB的值.3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、
图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知识点3 解三角形的应用的解题策略】
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2025·江西·一模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB−√3sinA=0，则
b=（ ）
A．√3 B．2√3 C．1 D．2
【变式1-1】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2π
b=1,c=√3,C= ，则a的值为（ ）
3
A．2 B．3 C．1 D．4
【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a−c sinB
= ，则A=（ ）
b+c sin A+sinC
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
π
【变式1-3】（2024·江西九江·二模）已知在四边形ABCD中，AC=2BC=2，∠ACB=∠ACD= ，
6
2π
∠ADC= ，则BD的长为（ ）
3
√3 2√3 √21−2√3 √21−6√3
A． B． C． D．
3 3 3 3【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】
【例2】（2024·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若
bcosC+ccosB=b，且a=ccosB，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-1】（23-24高一下·广东广州·期中）在 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若b2 tanB，
△ABC =
c2 tanC
则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-2】（2024·河南新乡·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=3，
c=5，则（ ）
A．△ABC为锐角三角形 B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形 D．△ABC的形状无法确定
【变式2-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，
AD=√3，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
π
【例3】（2024·湖北黄冈·一模）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A= ,b=3，下面
3
可使得△ABC有两组解的a的值为（ ）
3√3
A． B．3 C．4 D．e
2
【变式3-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，则能使同时
π
满足条件A= ,b=6的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
6
A．(3,6) B．(3,+∞) C．(0,6) D．(0,3)
π
【变式3-2】（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，已知AB=x，BC=2√2，C= ，若存在两个这样的
4
三角形ABC，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
[2√2,+∞) (0,2√2) (2,2√2) (√2,2)
1
【变式3-3】（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC= ，
4
若△ABC有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·广东·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且
(b+c)cosA=a(cosB−cosC)．
(1)证明：A=2B．
b
(2)若△ABC是锐角三角形，求 的取值范围．
a
【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）在△ABC中，A，B，C所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A>B；
(2)请用余弦定理证明：若A>B，则a>b．
【变式4-2】（23-24高二下·湖北咸宁·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，
且b≠c.
(1)若2a=3b，求sinA；
a b+c
(2)证明： = ;
b a【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D
在B，E之间，AE⋅AC⋅BD=AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin∠BAD=sin∠CAE．
(2)若 ，求证：AD2 AE2 2 ．
AB⊥AC + =
BD2 CE2 1−sin∠DAE
【题型5 求三角形（四边形）的面积】
【例5】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，
sinA=2sinC，b=2√3，则△ABC的面积为（ ）
√3
A． B．√3 C．√6 D．2√3
2
【变式5-1】（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，A=120∘， D是BC的中点，且 AD=1，则
△ABC 面积的最大值（ ）
A．√3 B．2√3 C．1 D．2
【变式5-2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
√3a 1+cosA
= ．
c sinC
(1)求角A；
π
(2)若C= ,c=4，求△ABC的面积．
4
【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=5．
a sinB π
(1)若 = ,C= ，求a；
4b sin A 2
(2)若ab=20，求△ABC的面积的最大值．【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
(2,10) (2+2√2,10) (2+2√2,4+2√3) (4+2√3,10)
【变式6-1】（2024·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知B=2A，a=2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B．
(4+2√2,6+2√3) [4+2√2,6+2√3)
C． D．
(4+2√2,6+2√3] [4+2√2,6+2√3]
【变式6-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，
asinA−sinC
=sin(A+C)，a≠b.
a−b
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【变式6-3】（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且
cosB−sinC
tanA= ．
cosC+sinB
π
(1)若B= ，求C的大小．
6
(2)若a=2，求b+c的取值范围．【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2024·甘肃白银·一模）位于某海域A处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船
遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东30∘且与甲船相距30海里的C处
的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A．10√13 B．5√13 C．10√37 D．5√37
【变式7-1】（2024·吉林·二模）如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60∘方向C处有一艘渔船
遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15∘，且与甲船相距√2nmile的B处的乙船，
已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A．√2nmile B．2nmile
C．2√2nmile D．3√2nmile
【变式7-2】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑
之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是
宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面
的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，
CD=11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据：
tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）（ ）
A．20m B．21m C．22m D．23m
【变式7-3】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15∘，距离为12√6海里，灯塔C在A的北偏东60∘，距离为12√3海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看
灯塔B在其南偏西30∘方向，则此时灯塔C位于渔船的（ ）
A．南偏东60°方向 B．南偏西30°方向
C．北偏西60°方向 D．北偏西30°方向
【题型8 双三角形问题】
【例8】（2025·广东·一模）如图，已知∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=√6，CD=√7，则BD=
（ ）
−1+√13 1+√13
A． B． C．3或1 D．3
2 2
【变式8-1】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，
记△ABC与△ACD的面积分别为S ,S ，则S −S 的值为（ ）
1 2 2 1
√3
A．2 B．√3 C．1 D．
2
【变式8-2】（2024·广东广州·模拟预测）三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，面积
√3
S= (b2−a2−c2).
4(1)求∠B的大小；
(2)如图，若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长BC=2，∠DCB=∠B，∠CAD=30∘，求CD
的最小值.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=√15,CD=3,AD=5．
(1)若A,B,C,D四点共圆，求AC；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】
【例9】（2024·河南郑州·一模）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等
分点（靠近点A）且CD=1，(a−b)sin A=(c+b)(sinC−sinB)，则a+3b的最大值是（ ）
8 8√3
A． √2 B． C．2√3 D．4√3
3 3
【变式9-1】（2024·四川成都·三模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面
积， ，且 ，则 的周长的取值范围是（ ）
a=2 2S=a2−(b−c) 2 △ABC
A． B．
(4,6] (4,2√5+2]
C． D．
(6,2√5+2] (4,√5+2]【变式9-2】（2024·山东潍坊·二模）已知函数f(x)=2sinx⋅cosx+√3cos2x.
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f (A)=0且a=3，求b+c的取值范围.
【变式9-3】（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx,(ω>0) π
(1)求ω的值；
[ π]
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为f(x)在 0, 上的最大值，再从条件①、
2
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a−b的取值范围.条件①：
acosB+bcosA=2ccosC；条件②：2asin AcosB+bsin2A=√3a；条件③：△ABC的面积为S，且
√3(a2+b2−c2).注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
S=
4
1．（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sin A−sinC)=b(sin A−sinB)，则∠C=（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcosA=c，且
π
C= ，则∠B=（ ）
5
π π 3π 2π
A． B． C． D．
10 5 10 5
π 9
3．（2024·全国甲卷·高考真题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B= ，b2= ac，
3 4则sinA+sinC=（ ）
2√39 √39 √7 3√13
A． B． C． D．
13 13 2 13
4．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于
D，则AD=
．
b2+c2−a2
5．（2023·全国·高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2．
cosA
(1)求bc；
acosB−bcosA b
(2)若 − =1，求△ABC面积．
acosB+bcosA c
6．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.
7．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知
a=√39,b=2,∠A=120∘．
(1)求sinB的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(B−C)的值．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A−C)=sinB．(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为√3，
D为BC中点，且AD=1．
π
(1)若∠ADC= ，求tanB；
3
(2)若b2+c2=8，求b,c．
10．（2024·北京·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，
√3
sin2B= bcosB．
7
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
13 5
条件①：b=7；条件②：cosB= ；条件③：csin A= √3．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
11．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
9 a 2
cosB= ，b=5， = ．
16 c 3
(1)求a的值；(2)求sinA的值；
(3)求cos(B−2A)的值．
12．（2024·全国·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+√3cosA=2．
(1)求A．
(2)若a=2，√2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．
13．（2024·广东江苏·高考真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=√2cosB，
a2+b2−c2=√2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+√3，求c．
