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专题 6-3 数列求和
目录
.....................................................................................1
题型一：倒序相加法................................................................................................................................1
（1）求证：点P的纵坐标是定值；......................................................................................................3
（2）Sm＝a＋a＋a＋…＋am..............................................................................................................4
1 2 3
题型二：分组求和法................................................................................................................................6
(2)3332.......................................................................................................................................................7
(2)6.............................................................................................................................................................9
题型三：裂项相消法..............................................................................................................................11
(3)证明见解析.........................................................................................................................................14
题型四：错位相减法..............................................................................................................................21
(2)证明见解析.........................................................................................................................................22
题型五：奇偶项分类讨论......................................................................................................................28
题型六：插入新数列求和......................................................................................................................37
(2)142.......................................................................................................................................................39
................................................................44
题型一：倒序相加法
【典例分析】
例题1．（2021·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；（2） ．【详解】（1） ；
时， ，
，
相加得 ，
所以 ，又 ，
所以对一切正整数 ，有 ；
例题2．（2021·全国·高二课时练习）设奇函数 对任意 都有
求 和 的值；
数列 满足： ，数列 是等差
数列吗？请给予证明；
【答案】解：（1） ， ；（2）是等差数列.
【详解】解：（1）∵ ，且f（x）是奇函数
∴
∴ ，故
因为 ，所以 ．令 ，得 ，即 ．
（2）令
又
两式相加 ．
所以 ，
故 ，
又 ．故数列{an}是等差数列．
【提分秘籍】
倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则
可使用倒序相加法求数列的前 项和.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝ (x∈R)，P(x，y)，P(x，y)是函数y＝
1 1 1 2 2 2
f(x)的图像上的两点，且线段PP 的中点P的横坐标是 .
1 2
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝ ，求数列{an}的前m项
和Sm.
【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝
【详解】（1）证明：∵PP 的中点P的横坐标为 ，
1 2
∴ ＝ ，∴x＋x＝1.
1 2∵P(x，y)，P(x，y)是函数y＝f(x)的图像上的两点，
1 1 1 2 2 2
∴y＝ ，y＝ ，
1 2
∴y＋y＝ ＋
1 2
＝
＝
＝ ＝ ＝ ，
∴点P的纵坐标为 ＝ .
∴点P的纵坐标是定值.
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am
＝
令
由（1）知 ＋ ＝ .(k＝1，2，3，…，m－1)
∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).
又f（1）＝ ＝ ，
∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋ ＝ .
2．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，函数
对一切实数 总有 ，数列 满足分别求数列 、 的通项公式.
【答案】 ；
【详解】当
当
时满足上式，故 ；
∵ =1∴
∵ ①
∴ ②
∴① ②，得
3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）计算 的值．
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）2；（2） ；（3） ．
【详解】（1） .
（2）由题知，当 时， ，又 ，两式相加得
，
所以 .
又 不符合 ，
所以 .
题型二：分组求和法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）（1）已知等差数列 满足
， ，数列 满足 ， .求 ， 的通项公式；
（2）在数列 中， ， ，
①求证： 是等比数列；
②求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2）①证明间解析；②
【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
则 ，解得 ，则 ；
又数列 满足 ，
所以 ，累加得：
故 ，
综上： ， ；
（2）①在数列 中， ， ，
所以 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
②由①得 ，所以 ，则
所以
.
例题2．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）在等差数列 中， ，前
12项的和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列 前8项的和.
【答案】(1) ；
(2)3332.
【详解】（1）解：设公差为 ，因为 ，前12项的和 ，
所以 ，解得 ，所以 .
（2）解：由题意得 ，所以 ，
所以数列 前8项的和为
= .
例题3．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，①
∴ ．②
①-②得 ，即
又 ， ，∴ ，∴ ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ．
（2）由（1）得 ， ，
∴．
【提分秘籍】
1如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列或
可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和法.
【变式演练】
1．（2022·上海虹口·一模）在等差数列 中， ，且 ， ， 构成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 为数列 的前 项和，若 ，求正整数 的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则由 ， ， 成等比数列及 ，
得 ，即 ，解得 ．
当 时， ， ， 构成等比数列，符合条件；
当 时， ， ， 不能构成等比数列，不符合条件．
因此 ，于是数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）知 ，故 ，所以易知 在正整数集上严格递增，且 ， ．
故满足 的正整数 的最小值为6．
2．（2022·全国·高三专题练习）给定数列 ，若满足 ，对于任意的
，都有 ，则称 为“指数型数列”.若数列 满足：
；
(1)判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)是，证明见解析
(2)
【详解】（1）将 两边同除
得： ，
是以 为首项，公比为 的等比数列，
是“指数型数列”
（2）因为 ，则.
3．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列 各项均为正数，且
．
(1)求 的通项公式
(2)设 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
所以， ，
因为数列 各项均为正数，即 ，
所以， ，即数列 为等差数列，公差为 ，首项为 .
所以
（2）解：由（1）知 ，其公差为 ，
所以，
所以，
题型三：裂项相消法
【典例分析】
例题1．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）已知数列 为等差数列，
.
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）设 的公差为 ，首项为 ，
得 .
解得 ，
故 ；
（2）由 ，
.
例题2．（2022·福建·高三阶段练习）从① ；② ；③
三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列 ， 满足 ，
且 ， ，______，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选① ，选② ，选③
【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ， .
选①： ，
所以 ，
选②： ，
所以 ，
选③： ，所以 ，
，
两式相减，可得
例题3．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）已知等差数列 ，分别从
下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为 ， ， ，且 ， ， 中任何两个数
都不在同一列．公比大于1的等比数列 的前三项恰为数列 前5项中的三个项．
第一列 第二列 第三列
第一行 8 0 2
第二行 7 4 3
第三行 9 12 4
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）由题意可知， 满足 ， ， ，
则公差 ，所以数列 的通项公式为 ；
的前5项为0，3，6，9，12，所以数列 的前三项为3，6，12，
所以公比 ， ．
（2） ，
，
所以数列 的前n项和 ．
例题4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记 是公差不为0的等差数列 的前
项和，已知 ， ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数 ， .
【答案】(1) ，证明见解析
(2)最大值为 ，最小值为
(3)证明见解析【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，解得 或 （舍去），
．
又 ，则 ，
由 ，可得 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得
，
设 的前 项和为 ，
则
，
当 为奇数时， 随着 的增大而减小，可得 ，
当 为偶数时， 随着 的增大而增大，可得 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
（3）证明：因为数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，， ．
所以 ，
所以
，
所以 ．
【提分秘籍】
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1 1 1
特别注意 k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
【变式演练】
1．（2022·江苏·高三阶段练习）已知 为正项数列 的前n项的乘积，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【详解】（1） ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ，所以数列 是常数列，
所以 ，所以 ，
所以 ．
（2）证明：因为 ，
所以
2．（2022·福建省永泰县第二中学高三期中）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和
满足： .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意 ， 都成立，求整数 的最
大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵ ，①
当 时 ，解得 ，
∴ ，②①－②得 ，
∴ ，化简 .
∵ ，∴ .
∴ 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ .
（2）解：由（1）可得 .
∴ .
所以 .
∴数列 是递增数列，则 ，
∴ ，解得 ，∴整数 的最大值是 .
3．（2022·陕西·高三期中（文））已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令 ，则 ，又 ，得 .
当 时，因为 ，所以 ，两式相减得 ，
即 .
又因为 ，所以 ，
则 是公差为 的等差数列，
故 .
（2）证明：由（1）可得 ，
所以
因为 ，所以 ，
因此 .
4．（2022·河北唐山·高三阶段练习）设正项数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 是首项为5，公差为2的等差数列，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 ①，所以 ②，
所以 得， ，即 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．
当 时， ，解得 或 （舍去），
则 是首项为2，公差为1的等差数列，
故 ，故
（2）由（1）可得 ．
因为 是首项为5，公差为2的等差数列，
所以 ，
则 ，
故
.
题型四：错位相减法
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
， ．
(1)求证：数列 是等比数列；(2)求证：数列 是等差数列；
(3)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) ．
【详解】（1）证明：因为 ， 时， ，得
所以当 时， ，
两式作差得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列．
（2）证明：由（1）可知 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
（3）由（2）可知 ，即 ，
根据题意得 ，
则 ，
所以 ，两式相减得 ，
即 ，
所以 ．
例题2．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））己知数列 的前 项和为 ，
且 ，________________．请在① ；② ， ， 成等比数列；
③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列．
若选①：由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ．所以 ，
即数列 的通项公式为 ．
若选②：由 ， ， 成等比数列，得 ，
则 ，所以 ，所以 ．
若选③：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．（2） ，则 ，
则 ， ，
两式相减得： ，
故 ．
例题3．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知数列 满足 且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和为 .
【答案】(1) .
(2) .
【详解】（1）由题意知数列 满足 且 ，
是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
则两式相减得
，
所以 .
【提分秘籍】
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构
成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式
，其中{a }、{b }中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已
n n
知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相
减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
【变式演练】
1．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）数列 是各项均为正数的等比数列，且
， ， ，
(1)求数列 的通项公式，并证明数列 是等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；证明见解析
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为 ，， ，所以 ，
所以 ，
，
（常数）， ，
所以数列 是首项为3，公差为1的等差数列；
（2） ，
两式相减得
，
所以 .
2．（2022·广东·广州思源学校高二期中）已知等差数列 满足， ，且 ，
， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）等差数列 的首项 ，公差设为 ，
由 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ，
即 ，解得 ，
所以 .
（2）由题意， ，设数列 的前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减得
即 ，
化简得 .
3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）已知 为等差数列，前 项和为
， 是首项为3且公比 大于0的等比数列， ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，则 ．则由 可得， ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ， .
由 可得 ，由 可得， ，
又 ，所以 .
所以 ， ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
所以 .
所以， ，
，
两式作差得，
，
所以， .
题型五：奇偶项分类讨论
【典例分析】
例题1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）数列 的前 项和为 ，数列 的
前 项积为 ，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．【答案】(1) ；
(2)
（1）当 时， ，当 时，
，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等
比数列，所以 ；
当 时， ，当 时， ， 时也符合，所以 ．
（2）
由（1）知， ，所以 ，当 即 为偶数时，
，即 ；
当 为奇数时， ，所以
．
例题2．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列 满足 .
(1)请在集合 中任取一个元素作为 的值，求数列 的通项公式；
(2)①若第（1）问取 ，令 ，求数列 的前 项和 ．②若第（1）问取 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果同时选择 的两个取值分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)当 时， ；当 时， ；
(2)① ；② .
(1)
当取 时，可得 ，
当 时，
，
显然 满足上式，所以 ．
当取 时，可得 ，则 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则有 ，
所以 ．
(2)
①由（1）知，当取 时， ，于是得 ，
所以 ．
②由（1）知，当取 时， ，若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，
所以 ．
例题3．（2022·广东茂名·模拟预测）设数列 的首项 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：对任意的 ， ，
则 且 ，
故数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比也为 ，
故 .
(2)
解法一:
当 为奇数时，当 为偶数时，
解法二:
,
所以
①
上式两边乘以 可得:
②
①-②得:
，【提分秘籍】
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求 的前 项和
角度2：求 的前 项和
类型二：
通项含有 的类型；例如：
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数的等比数列， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设公比为 ，由题意得
解得
（2）
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ；
．
2．（2022·湖南师大附中高二期中）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设数列 满足 求最小的实数m，使得
对一切正整数k均成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知得， ，
所以 ．因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）证明：（2）由（1），当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
故
，
由
所以m的最小值为 ．
3．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
(1)
解：由于 ，当 时，可得 ，所 ，所以 ，
由 ，当 时，可得 ，
两式作差得 ，即 ，
因为 ，符合上式，
故 是首项为1，公比为 的等比数列，故 ．
(2)
解： .
当n为偶数时，
；
当n为奇数时， ．
又由 ，满足上面 的表达式.
综上可得， .
4．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)当n为偶数时，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)
证明：因为 ， ，
所以 ，
所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)
由（1）可得 ，即 ，
则
.
当n为偶数时， ，
则
.
题型六：插入新数列求和
【典例分析】
例题1．（2022·湖北武汉·高二期末）已知 是递增的等比数列，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列中是否存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的
项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(1)
设等比数列 的公比为 ，
是递增的等比数列且 ， ；
则 ，解得： （舍）或 ；
.
(2)
由题意知： ，即 ；
假设存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ；
成等差数列， ，代入上式得： ，
，化简得： ， ，不合题意；
综上所述：不存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ， ， ，
.
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，在 和 之间插入 个数，使这 个数构成公差为 的等差数列，求的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）证明：因为 时， ，则
，即 ， ，·因为
，·则 ①，所以 ②，则①
②得 ，即 ，·所以 为等差数列.
（2）解：由（1）可得 的首项为 ，公差为 ，所以 ，所以
，所以 ，则 ，记 的前n项和为 ，则
①，所以
②，则① ②得
，·所以
，·所以 .·
例题3．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已知数列 的前 项和为 ，
(1)求 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和
原数列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)142【详解】（1）解：∵ 的前n项和为 ，
当n=1时， ，
当 时，
则
= ，
经验证当n=1时， 满足 .
故 ；
（2）因为 与 之间插入 个1，
所以 在 中对应的项数为
，
当k＝6时， ，当k＝7时， ，
所以 ， ，且 ．
因此
.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足
.
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
（1）解：因为 ，当 时， ，当 时，
， 也满足 ，所以，对
任意的 ， .
（2）解；在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其项数为
，因为 ，即当 时，
，因此，
【变式演练】
1．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列 中， ， 是
和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 ，使它们和原数
列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)2101
【详解】（1）设数列 的公差为 ，
因为 是 和 的等比中项，
所以 ，即 ，
因为
所以 或 （舍）所以 ，
所以通项公式
（2）由（1）得 ，
因为 与 （ ）之间插入 ，
所以在数列 中有10项来自 ，10项来自 ，
所以
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在 项 （其中 是公差不为 的等差数列）成等比数列？若存在，求出
这 项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）当 时，由 得： ，
，则 ，
为等比数列， 等比数列 的公比为 ；
当 时， ， ，解得： ，
（2）假设存在满足题意的 项，
由（1）得： ，又 ， ；成等比数列， ，即 ，
成等差数列， ， ，
，
整理可得： ，又 ， ，
即 ，解得： ，则 ，与已知中 是公差不为 的等差数列相矛
盾，
假设错误，即不存在满足题意的 项.
3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不为0的等差数列 中， ， 是 和
的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 ，使它们和原数
列的项构成一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列 的公差为 ，因为 是 和 的等比中项，
则 且
则 或 （舍）
则 ，
即通项公式
（2）因为 与 （ ，2，…）之间插入 ，所以在数列 中有10项来自 ，10项来自 ，
所以
4．（2022·云南·高三阶段练习）已知等差数列 满足 ，设 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 为等比数列；
(2)将 插入 中， 插入 中， 插入 中， ，依此规律得到新数列
，求该数列前20项的和.
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
（1）
设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，故 ，所以
.
因为 ，所以数列 是公比为4的等比数列.
（2）
由题意，该数列前20项的和包含 的前5项， 的前15项，
设该数列前 项和为 的前 项和为 的前 项和为 ，
所以 .
1．（2022·四川自贡·一模（理））等比数列 的各项均为正数，且 ，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列为 的前n项和 ，比较 与 的大小.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）设数列 的公比为q,
由 得 = ,
所以 .由条件可知q＞0,故q= .
由 得 ,所以 .
故数列 的通项公式为 .
（2） －（1＋2＋ ＋n）=－ .
故 .
.
.
故 .
2．（2022·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（文））已知数列 ， 满足
，且 ．(1)若数列 为等比数列，公比为q， ，求 的通项公式；
(2)若数列 为等差数列， ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) 或 .
(2)
【详解】（1）数列 为等比数列，公比为q，且 ， ， 或
，
由 ， 或 ，
由 ，所以 ，又 ，
即数列 是以1为首项， 为公比的等比数列
故 或 .
（2）依题意得等差数列 公差 ，则 ，
由 ，所以 ，
从而
，
.
3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ，
.(1)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，若数列 的前m项和 ，求m的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由 ，变形得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，则数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ，
所以 .
则 ，解得 .
4．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，不等式
的解集为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
关于 的不等式 的解集为 .
和4是方程 的两个根，由韦达定理有 ，
解得 ，所以 ， .
数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ， ，
则 .
数列 的前 项和
.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知等比数列 的公比 ，且
， 是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为
.
(1)求数列 、 的通项公式；(2)若 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ； ，
(2) ， .
【详解】（1）设 首项为 ，公比为 .由 ， 是 ， 的等差中项
可得 ，
两式相除得 ，又 ，得 .
将 代入 ，得 ，故 ， .
设 的前 项和为 ，则 ，
得 ， .又
则 ，结合 ，得 ， .
综上： 通项公式为 ， ， 通项公式为 ， .
（2）由（1）可得， ， .
则 ， .
注意到 ，
则， .
故 ， .
6．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知数列 满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足： ， 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以
，所以数列 为首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
故 ，所以数列 的通项公式为 ；
（2）因为当 时， ，所以 ，所以
，
又当 ，且 时，
，
所以当 ，
当 ，且 时，
，所以 ，
所以对于任意的 ， ，
综上所述，对于任意的 ， .
7．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列 的前 项和 满
足 ．
(1)求 ，并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) .
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时， ①，
②，
由② ①得 ，
，
，
∴ 是一个以2为首项，公比为2的等比数列．
（2） ， ,①
②
由① ②，得
，
.
8．（2022·四川雅安·模拟预测（理））给出以下条件：① ， ， 成等比数列；
② ， ， 成等比数列；③ 是 与 的等差中项．从中任选一个，补充在下面
的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列 的前n项和为 ，且 ，______．
(1)求 的通项公式；
(2)令 是以2为首项，2为公比的等比数列，数列 的前n项和为 ．若 ，
，求实数 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）选①，设递增等差数列 的公差为 ，由 ， ，
，
有 ，化简得 ．则 ， ，
所以 的通项公式为 ．
选②，设递增等差数列 的公差为 ，由 ， ， ，有 ，化简得 ，即 ，
解得 ，则 ，
所以 的通项公式为 ．
选③，设递增等差数列 的公差为 ，由 是 与 的等差中项，得
，
即 ，则有 ，
化简得 ，即 ，
解得 ，则 ，
所以 的通项公式为 ．
（2）由 是以2为首项，2为公比的等比数列，得 ，由（1）知 ，即有
，
则 ，
于是得 ，
两式相减得： ，
因此 ，又 ，不等式 ，
等价于 ，于是得 ， 恒成立，
令 ，则 ，则 时， ，即数
列 递增，当 时， ，即数列 递减，当 时， ，则 ，
所以实数 的取值范围是 ．
9．（2022·江苏·盐城市第一中学模拟预测）已知数列 是公比为 的等比数列，前 项
和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，故 ， ，
即 ；
（2）由已知 ，得n为奇数时， ；
当n为偶数时，
，
则．
10．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）已知等差数列 前 项和为 （
），数列 是等比数列， ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) ， ；
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 （ ），
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
∴
.11．（2022·河南河南·模拟预测（理））设等差数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列 的公差为 ，由题设可得 解得
所以 .
（2）由（1）知 ，所以
可得 ，
所以 ①
②
②减①可得:
12．（2022·江西九江·三模（理））已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
.
(1)求 ；(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1)
(2)
（1）当 时， ，∵ ，∴ .当 时，由
，得 ，两式相减得 即 ∴数列
， 均为公比为4的等比数列∴ ， ∴
（2）∵ ∴数列 的前 项和
13．（2022·山东聊城·三模）设数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前15项的和.
【答案】(1) ；
(2) .
（1）
由 得，
当n=1时， ，解得 .当n≥2时， ，从而 ，即 ，
因此数列 是等比数列，其首项和公比都等于2，所以 .
（2）
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
所以数列 的前15项和为
.
14．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知递增数列 的前 项和为 ，且
，数列 满足 ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对
一切 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ； .
(2)
【详解】（1）解：因为 ，当n=1时，得 ，当 时， ，
所以 ，即 ，又因为数列 为递增数列，所以 ，
数列 为等差数列， ，d=1,
所以 ；
所以 ，
又因为
所以数列 为等比数列，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）由题意可知： ，
所以 ,故 ，
设 的前 项和中，奇数项的和为 ，偶数项的和为
所以
当 为奇数时，
所以
当 为偶数时 ，所以
，故 故 ，即当 为偶数时， 对一切偶数成立，所以
当 为奇数时， 对一切奇数成立，所以此时
故对一切 恒成立，则
15．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， ；
(2) .
【详解】（1）证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的奇数项为以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差
的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，
；
当 为奇数，且 时， 为偶数，
.
时， ，满足.
所以，当 为奇数，且 时，有 .
综上， .
16．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且
， ，数列 满足 ，其中 .(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由 可得 ，
两式相减可得 ，故数列 从第3项开始是以首项为 ，公比 的等比
数列.
又由已知 ，令 ，得 ，即 ，得 ，故
；
又 也满足上式，则数列 的通项公式为 ；
由 ， 得： ，
以上 个式子相乘，可得 ， ，
又 满足上式，所以 的通项公式
（2）若在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
则 ，即为 ，
整理得 ，所以 ，，
两式相减得： ，
所
17．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知数列 中，满足
对任意 都成立，数列 的前n项和为 ．
(1)若 是等差数列，求k的值；
(2)若 ，且 是等比数列，求k的值，并求 ．
【答案】(1)
(2) ；当 时， ；当 时， ， .
（1）若 是等差数列，则对任意 ， ，即 ，所以
，故 .
（2）因为 且 得 ，又 是等比数
列，则 即 ，得 .当 时，
， ，故 是以2为首项，公比为1的等比数列，此时 的前n项和 ；
当 时， ，即 ，所以 ，且
所以 以 为首项，公比为-1的等比数列，又
，所以，当n是偶数时，
，当n
是奇数时， ，， 综上，当 时， ，当
时 ， .
