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专题 5.5 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精讲
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力 所做的功W=| || |
，其中 是 与 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算
明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量 , ，如图所示，O是平面上的任意一点，作 = ， = ，则∠AOB= (0≤ ≤
π)叫做向量 与 的夹角，也常用 表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量| || | 叫做向量 与 的数量积(或内积)，
记作 ，即 =| || | .
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0 =0.
(4)向量的投影
如图，设 ， 是两个非零向量， = ， = ，我们考虑如下的变换：过 的起点A和终点B，
分
别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量.2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
① = = .
② =0.
③当 与 同向时， = ；当 与 反向时， =- .
特别地， = = 或 = .
④|a | ，当且仅当向量 ， 共线，即 ∥ 时，等号成立.
⑤ = .
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量 ， ， 和实数 ，有
①交换律： = ；
②数乘结合律：( ) = ( )= ( )；
③分配律：( + ) = + .
3．向量数量积的常用结论
(1) = ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当 与 同向共线时右边等号成立， 与 反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ∥ = -
=0 ( ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂
直的条件： =0 + =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： = = .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| |= 或|AB|=| |=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
5．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有
大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=| || | .功是一个实数,它可正,可负,也
可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·浙江杭州·高三期中）已知 ， ，则 在 上投影向量为（ ）
⃗a=(2,4) ⃗b=(1,1) ⃗a ⃗b
3 (3 3)
A．3√2 B．(3,3) C． √2 D． ,
2 2 2
【变式1-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知向量 ， ，若 ，则向量 在向量
⃗a=(2,n) ⃗b=(m,4) ⃗a+⃗b=(5,3) ⃗a
⃗b上的投影向量为（ ）
2 2√5 ( 6 8 ) (4 2)
A． B． C． , D． ,
5 5 25 25 5 5
【变式1-2】（2022·天津河西·高三期中）已知点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，D(3,4)，则向量⃗AB
在⃗CD方向上的投影向量的长度为（ ）
3√2 3√15 3√3 5√15
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式1-3】（2022·广西南宁·模拟预测（文））已知向量⃗a=(1,0),⃗b=(2,2)，若⃗c=⃗a-⃗b，则⃗c在⃗a方向
上的投影为（ ）
1 1
A．1 B．-1 C．- D．
5 5
【题型2 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊
夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例2】（2022·辽宁·高三期中）已知向量 ， (1 √3)，则 （ ）
⃗a=(2,0) ⃗b= , ⃗b⋅(⃗a−⃗b)=
2 2
A．3 B．1+√3 C．1 D．0
【变式2-1】（2022·湖北·高三期中）已知平面向量 ， ，满足 ， ， ，则
⃗a ⃗b |⃗a|=1 |⃗b|=2 |⃗a−2⃗b|=3 ⃗a⋅⃗b=
（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．22π
【变式2-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠D= ，
3
点E在边CB的延长线上，若AE=4，⃗AE⋅⃗AC=（ ）.
A．4 B．8 C．10 D．12
【变式2-3】（2022·河南·模拟预测（理））若向量 ， ， 满足 ， ， ， ，
⃗a ⃗b ⃗c |⃗a|=|⃗b|=1 ⃗a⋅⃗b=0 ⃗c⋅⃗a=2 ⃗c⋅⃗b=3
⃗c=x⃗a+ y⃗b，则x+ y=（ ）．
A．5 B．6 C．3 D．4
【题型3 夹角与垂直】
【方法点拨】
(1)夹角问题：求两非零向量的夹角 或其余弦值一般利用夹角公式 = 求解.
(2)垂直问题：根据两向量垂直，向量的数量积为0，进行求解即可.
【例3】（2022·江苏连云港·高三期中）已知 ， ， ，则 与 的夹角为
|⃗a|=1 |⃗b|=√3 ⃗a+⃗b=(√3,1) ⃗a+⃗b ⃗a−⃗b
（ ）
A．60° B．120° C．45° D．135°
【变式3-1】（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））已知单位向量⃗a，⃗b的夹角为60°，则在下列向量中，
与⃗b垂直的是（ ）
A．⃗a+2⃗b B．2⃗a+⃗b C．⃗a−2⃗b D．2⃗a−⃗b
【变式3-2】（2022·北京·高三期中）已知向量 ，若 ，则 （ ）
⃗a=(x,2),⃗b=(−1,1) ⃗a⊥⃗b x=
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【变式3-3】（2022·福建省高二阶段练习）已知向量 → →是单位向量， 且 → → →，则向量→与→
a，b (2a−b)⊥b a b
的夹角是（ ）
A．30∘ B．60∘ C．90∘ D．120∘
【题型4 平面向量的模】
【方法点拨】
或 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数
量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【例4】（2022·广东·高一期中）已知 ， 是单位向量，且 ，则 （ ）
⃗a ⃗b 2⃗a+⃗b=( −√3 , 1 ) |⃗a−⃗b|=
√10
A．2 B．√5 C．1 D．
2
【变式4-1】（2022·浙江绍兴·一模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
⃗a ⃗b |⃗a|=1 |⃗a−2⃗b|=√7 ⟨⃗a,⃗b⟩=150∘ |⃗b|=
（ ）
√3
A．2 B．√3 C．1 D．
2
2π
【变式4-2】（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知平面向量⃗a与⃗b的夹角为 ，若|⃗b|=3，|⃗a+⃗b|=√13，
3
则|⃗a|=（ ）
A．2 B．3 C．2√3 D．4
【变式4-3】（2022·辽宁二模）若存在单位向量 ， 满足 ， ，则 的值为（ ）．
⃑a ⃑b |⃑a+k⃑b|=1 |⃑a+⃑b|=k k
A．1 B．−2或1 C．0 D．1或0
【题型5 向量数量积的最值问题】
【方法点拨】
先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数
最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.
【例5】（2022·江苏南京·高二期中）在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E为线段CD上的动点，过B作
AE的垂线，垂足为F，则⃗DF⋅⃗DA的最小值是（ ）
16 8
A．1 B． C． D．4
13 5
1
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）|⃗b|=|⃗a|=|⃗c|=1,⃗a⋅⃗b= ，则 (⃗a+⃗b)⋅(2⃗b−⃗c) 的最小值为
2
（ ）
A．3+√3 B．3−√3 C．2+√2 D．2−√2
【变式5-2】（2022·全国·模拟预测）已知圆O的半径为1，A，B，C，D为圆O上四点，且
|⃑AB| = |⃑CD| =1，则⃑AC⋅⃑AD+⃑BC⋅⃑BD的最大值为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．4√3
【变式5-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且|AB|=4．C，D是
圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则⃗PA⋅⃗PB的取值范围是（ ）
A．[-1,0] B．[√3,2] C．[3,4] D．[1,2]
【题型6 平面向量的综合应用】
【方法点拨】
平面向量的综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代
数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行
求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量
为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
2π
【例6】（2022·北京·高一期末）在△ABC中，a=4√3，c=4，∠BAC= ，P为△ABC内部（包含
3
边界）的动点，且PA=1.
(1)求|⃑AC+⃑AB|；
(2)求⃑PB⋅⃑PC的取值范围.【变式6-1】（2022·浙江·高一期中）在△ABC中，已知AB=3，AC=1，⃗AB⋅⃗AC=−1，设点P为边
BC上一点，点Q为线段CA延长线上的一点，且⃗AQ=t⃗AC(t<0).
(1)当t=−1且P是边BC上的中点时，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若 ，求 的最小值.
⃗PA⋅⃗PQ+3=⃗AP⋅⃗AB |⃗BQ|
【变式6-2】（2022·辽宁·沈阳市高三期中）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满
B+C
足bcos =asinB.
2
(1)求A；
(2)若a=√19，⃑BA⋅⃑AC=3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
【变式6-3】（2022·湖南·高一期末）在条件①： ；条件②： ；条件③：
S =8√3 ⃑BA⋅⃑BC=48
△ABC
|⃑CA+⃑CB|=|⃑AB|，这三个条件中选择一个条件，补充在下面的横线上，并解决以下问题.
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足若√3bsin A+acosB=√3a，点D为
AC边上的中点.
(1)求角B的大小；
(2)若B为锐角，b=4，且 （从上面三个条件中选择一个条件补充到横线上），求BD的长
度.
注：如果选择多种情况分别解答，则按第一种解答给分.
