素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 15 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合． 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围 等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根 据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、 方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明： ，① ，② 将两式相减可得 ，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ， ，则 ，由 ，得 ． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由 变形为 ，得 ， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们 从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量 与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 二、题型精讲精练 【典例1】（极化恒等式的应用）已知 中， ，且 的最小 值为 ，若 为边 上任意一点，求 的最小值． 解：令 （其中 ），则 三点共线（如图），从 而 的几何意义表示点 到直线 的距离为 ，这说明 是等边三角形， 为边 上的高，故 ． 取 的中点 ，则由向量极化恒等式可得 ， 其中 为点 到边 的距离． 即当点 在垂足 （非端点）处时， 达到最小值． 【典例2】（数量积的最值（范围））已知 ，若点M是 所在平面内的一点，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 依题意 ，所以 ， ，所以 ， 所以 .故选：C. 【典例3】（模的最值（范围））已知向量 ， ， ，满足 ，记 的最大值 为 ，最小值为 ，则 （ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】在 中，设 ，则 ， 因为 ，即 ，所以 为等边三角形， 以 为邻边作平行四边形 ，设 交于点 ， 可得 ，则 ，因为 ，取 的起点为 ， 可知 的终点 的轨迹为以点 为圆心，半径为 的圆， 如图，当点 为 的延长线与圆 的交点 时， 的最大值为 ； 当点 为线段 与圆 的交点 时， 的最小值为 ； 所以 .故选：A. 【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦 值的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 两边平方得 ，又 ，则 . ，当 时取等号.则 与 夹角的余弦值的最大值 .故选：A. 【题型训练-刷模拟】 1 . 极化恒等式的应用   BF 2FO 1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则A． B． C． D． 2．如图，在 中 ， 点是线段 上一动点.若以 为圆心､半径为1 的圆与线段 交于 两点，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4   BC 3BN 3．如图，在 中， 是 的中点， 在边 上，且 ， 与 交于点 ，若 AB ，则 BC 的值是3 A． B． C． D．3 3 4．已知 的斜边 的长为4，设 是以 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则 的取值 范围是（ ）． A． B． C． D． 5．已知图中正六边形 的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形 的边上运动， 为圆O的直径，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条 直径，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．在 中， ， 为钝角， 是边 上的两个动点，且 ，若 的 最小值为 ，则 __________． 8．如图，圆 为 的内切圆，已知 ，过圆心 的直线 交圆 于 两点，则 的取值范围是_________． 2 . 数量积的最值（范围）问题 一、单选题 1．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形 的边长为 ， ， 为菱形的中心， 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形，点 分别在 上，且 ，点 是圆弧 上的动点（包括端点），则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在 中， ， ，则 的取值 范围为（ ）A． B． C． D． 4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知 ABC是单位圆O的内接三角形，若 ，则 △ 的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2， ，点E在边BC上， ， 若G为线段DC上的动点，则 的最大值为（ ） A．2 B． C． D．4 8．（2023·全国·高三专题练习）圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题9．（2023·江苏盐城·统考三模）在 中， ， ， ，则 的取值范围是 . 10．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形， 点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则 的取值范围是 . 11．（2023·全国·高三专题练习）如图， 中， 为 中点， 为圆心为 、半径 为1的圆的动直径，则 的取值范围是 . 12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，已知 ，点D，E分别在边 AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则 的取值范围是 ． 13．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 是其外心， ， ， .边 ， 上分 别有两动点 ， ，线段 恰好将 分为面积相等的两部分.则 的最大值为 . 14．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形 中．以 为圆心，1为半径的圆分别交， 于点 ， ．当点 在劣弧 上运动时， 的最小值为 ． 3 . 模的最值（范围）问题 一、单选题 1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 2．（2023·新疆·统考二模）已知向量 ， 满足 ， ， （θ为 与 的夹角）， 则 的最小值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·北京海淀·校考三模）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值为 （ ） A．1 B．2 C． D．4 4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 都是单位向量，若 ，则 的最 大值为（ ） A． B．2 C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中， ，点M，N分别为边AB， AC上的动点， ，其中 ，点P，Q分别为MN，BC的中点，则 的 最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）在长方形 中， ， ，点 在边 上运动，点 在 边 上运动，且保持 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ， ，则 的最 小值为（ ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足 ，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D．10．（2023·重庆·统考三模）已知 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，则 的最大值为 ． 12．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是 ． 13．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 满足 ， 与 的夹角为 ，且 则 的最小值是 ． 14．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为 . 15．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量 ， ，且满足 ，若 为 平面单位向量，则 的最大值 16．（2023·全国·高三专题练习）已知 为正交基底，且 ， 分别 为 的中点，若 ，则 的最小值为 . 17．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点，向量 ， ， ，满足 ，，若 ，则 的取值范围是 4 . 夹角的最值（范围）问题 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是锐角，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ，且 ，则夹角 的最小 值为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ．若 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 4．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知单位向量 ，若对任意实数x， 恒成立，则向量 的夹角的取值范围为（ ） A． B．C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ，满足 ，记 与 夹角为 ，则 的 最小值是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的正弦值的最 大值为（ ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角的最大值为 （ ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 ， 夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 满足 ，则 与 夹角最大值时 为 （ ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量 ， 满足 ， ， ， 则 与 的夹角的余弦取值范围为（ ）A． B． C． D． 11．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成 夹角的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2023·高三课时练习）已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角的取值范围是 . 13．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知非零向量 ， 满足 ，且 ， 则 的最大值为 ． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足 ，且 ， 与 的夹 角为θ.则 与 夹角的取值范围 ． 15．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量 ，若对任意实数 ， 恒成 立，则向量 的夹角的最小值为 . 16．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，满足 ， ， ，则向量 与 的夹角的最大值是 ． 17．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，则向量 与 夹角的最 大值是 ．