文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 01 柯西不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了。
4.扩展： ，当且仅当
时，等号成立.
二、题型精讲精练
【题型训练1-刷真题】
一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量 满足 .记向量
在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
二、解答题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；(2)若 ，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
[方法二]：基本不等式
由 ， ， ，
，
当且仅当 时，取等号，所以 .
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足 （a为常数），求 的最小值．【答案】
【分析】利用柯西不等式进行解答即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 的最小值为 ．
2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知 ，且满足 ，求 的最小值．
【答案】6
【分析】利用柯西不等式求出最小值.
【详解】由柯西不等式，得 ．
得 ．所以 ．
当且仅当 ，即 时，上式等号成立．
所以 的最小值为6．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；
（2）利用柯西不等式．
【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以 ，所以 （当且仅当 时等
式成立），即 ；（2）因为 ，当且仅当 等号成
立，所以 ，即 ．
4．（2023·江西吉安·统考一模）已 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；
（2）构造基本不等式即可证明.
【详解】（1）证明：由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时取等号．
即 ，则原式成立；
（2）证明：
．
当且仅当 时取等号.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 均为正数，且满足 .证明：
(1) ；(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ，结合柯西不等式证明即可；
（2）根据柯西不等式证明 ，再根据 证明即可.
（1）
证明：由柯西不等式有：
，当且仅当 时取等号，可得 ；
（2）证明：由柯西不等式有 ，当且仅当 时取“ 号，可得
，
又由 ，可得 ，可得 ，
故有 ，当且仅当 时取“ 号.
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设 为正数，且 .
(1)证明 ；
(2)证明 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式可得 ，由此证明结论；
（2）由重要不等式结合不等式性质可得 ， ，结合不等式
性质和柯西不等式证明结论.【详解】（1）因为 为正数， ，
由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）由重要不等式得 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
同理可得 ，当且仅当 时等号成立，
两式相加得
所以
，当且仅当 时等号成立；
即 ，当且仅当 时等号成立.
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知 ，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式即可证明；
（2）由均值的不等式可得 ，由（1）可得，即可证明 .
【详解】（1）由 ，得 ，
由柯西不等式有 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立；
（2）由 可得
，
当且仅当 时取等，
由（1）可得 ，当且仅当 时等号成立，
从而 ，当且仅当 时等号成立.
二、单选题
8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到
的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位
数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中
给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即 ）时等号成
立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数
的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案．
【详解】由柯西不等式可知：所以 ，当且仅当 即x＝ 时取等号，
故函数 的最大值及取得最大值时 的值分别为 ，
故选A．
【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．（2023·浙江·统考一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成 的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行
放缩，得到关于 的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知 整理得
，
由柯西不等式得
，
当 时取等号，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的最小值为 .
故选：C．
三、填空题
10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C： ，⊙D：
，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点， 最小值为4，则 取值范围为
_________．【答案】
【分析】先根据 的最小值求出 ，即 ，再使用柯西不等式求出取值范围.
【详解】由于 最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离 ，
即 ，
由柯西不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，解得： .故答案为：
11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是
______________．
【答案】
【分析】由 将函数化为 ，结合三角函
数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为
___________.
【答案】
【分析】将目标式转化为 ，应用柯西不等式求 的取值范围，进而可得目标式的最小值，
注意等号成立条件.
【详解】由题设， ，则 ，
又 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
