文档内容
九年级第二次调研考试
数 学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数中，属于正整数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正整数的概念的识别，熟练掌握正数和负数、整数的概念是解题的关键．利用正整数的
概念依次判别即可．
【详解】解：A中， 是负整数，不符合题意；
B中， 是正整数，符合题意；
C中， 是小数，不符合题意；
D中， 是分数，不符合题意；
故选：B．
2. 从铁路部门获悉，2024年春运期间宣城市累计到发旅客123.3万人次，同比增加33.37万人次，同比增
长 ．数据“123.3万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为
，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．【详解】解：依题意，123.3万 ，
即数据“123.3万”用科学记数法表示为
故选：C．
3. 如图，这是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线．根据正面看得到
的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看是有一条左上到右下对角线的正方形，如图，
．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项 不符合题意；
B. ，原计算错误，故选项 不符合题意；C. ，计算正确，故选项 符合题意；
D. ，原计算错误，故选项 不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方等知识点，熟练掌握
幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键．
5. 用配方法解一元二次方程 ，则配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法， 先把11移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左
边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
故选D．
6. 如图，在正五边形 中，连接 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键．根据正五边形的性质的 ， ，再利用等腰三角形的性质求出 ，进而可求
出 的度数．
【详解】解： 五边形 是正五边形，
， ，
，
∴ ．
故选B．
7. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．
出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D. 无法计算
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，某事件的概率 这个事件发生的结果数除以总的结果数．直接利用概率
公式计算．
【详解】解：当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率 ．
故选：B．
8. 如图， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练
掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
设 ， 交于点 ，由 可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得
，由等边对等角及三角形的内角和定理可得 ，
，则
，由此即可求出
的值．
【详解】解：如图，设 ， 交于点 ，
，
，
，
，
，
，，
故选： ．
9. 一次函数 和二次函数 的图象，在同一直角坐标系中的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，根据抛物线的图象，确定a，c的符号，再根据一次
函数确定 ，都一致即为选择项．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的顶点在y轴的负半轴，
∴ ，
根据一次函数图象分布，得 ， ，
故A不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的顶点在y轴的负半轴，∴ ，
根据一次函数图象分布，得 ， ，
故B不符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的顶点在y轴的正半轴，
∴ ，
根据一次函数图象分布，得 ， ，
故C符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的顶点在y轴的正半轴，
∴ ，
根据一次函数图象分布，得 ， ，
故D不符合题意；
故选C．
10. 如图， 为等边三角形， ， 的平分线 交 于点 ， 为 上一动点，连
接 ，以 为边在右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线 上运动（ ），作点A关于直线 的对
称点M，连接 交 于点 ，此时 的值最小．
【详解】提示：如图，连接 ．
， 是等边三角形，
， ， ，
，
，
．
平分 ，
， ，
，
点 在射线 上运动，且 ．
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，即有 ，
．
当 三点共线时， 有最小值
此时 的值最小，最小为 ，
即 周长有最小值，最小值为 ．
根据对称性可知 ，
．，
是等边三角形，
．
，
，
，
周长的最小值为 ，
故选C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是证明点E的运动轨迹．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母、
去括号、移项、合并同类项、系数化为 ．
按照如下步骤求解即可：去分母、移项、合并同类项．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
故答案为： ．
12. 如图， 是 的弦，半径 ，垂足为E，设 的半径为2， ，则 的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．由于半径 ，利用垂径定理可知 ，又 ，
，易求 ，在 中利用勾股定理易求 ，进而可求 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵半径 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，则不等式的解集是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了函数和不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
根据一次函数图象和反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．
【详解】解：将 代入 得：
，
解得： ，
反比例函数解析式为： ，
将 代入反比例函数解析式 得：
，
解得： ，
，
观察图象发现：当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式 的解集是 或 ．
故答案为： 或 ．
14. 如图，在矩形 中， ， 分别为边 上的点，将矩形 沿 翻折，使点 落在
边 上，得到四边形 ，连接 ．若 ， ．
（1） ______．
（2）若 ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】 根据折叠的性质可知 ，设 ，则 ，在 中，根据勾
股定理可得： ，所以可得关于 的方程 ，解方程求出 的值即可得到
，从而可得： ；
过点 作 的延长线于点 ，根据同角的余角相等可得 ，又因为
，从而可证 ，根据相似三角形的性质可得 ，从而可得，解得： ， ，所以可以求出 ，利用勾股定理可以求出
．
【详解】 解： 四边形 是矩形，
， ，
由折叠可知 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
， ；
解：如下图所示，过点 作 的延长线于点 ，
， ，
，
由折叠可知 ， ，
， ，，
又 ，
，
，即 ，
解得： ， ，
，
在 中， ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了实数 的混合运算，先算开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算加减．
【详解】解：原式 ．
16. 《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出 4.5尺；将绳子
对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题．
【答案】木条的长度为 尺．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x尺，则绳子的长度为
尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
的
【详解】解：设木条 长度为x尺，则绳子的长度为 尺，根据题意得： ，
解得： ．
答：木条的长度为 尺．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段 绕点 按顺时针方向旋转 后得到的线段 ，连接 ．
（2）画出与（1）中 关于直线 对称的图形，点 的对称点是 ．
（3） 的度数为______．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出线段 绕点 按顺时针方向旋转 后得到的线段 ，并连
接 即可；
（2）按照画轴对称图形的方法画出与（1）中 关于直线 对称的图形 即可；
（3）由旋转的性质可得 ， ，由等边对等角及三角形的内角和定理可得
，由轴对称的性质可得 ，然后根据
即可求出 的度数．【小问1详解】
解：如图， ， 即为所求作；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求作；
【小问3详解】
解：由旋转的性质可得： ， ，
，
由轴对称的性质可得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画轴对称图形，画出直线、射线、线段，旋转的性质，轴对称的性
质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质以及画旋转图形的
方法，画轴对称图形的方法是解题的关键．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______．
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【小问1详解】
.
【小问2详解】
）第 个等式： .
证明：∵等式左边 等式右边，
∴等式成立.
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，了解等式的特点，是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结
束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地
测得小岛 在它的北偏东 方向，3小时后到达 处，测得小岛 在它的北偏西 方向，求该渔船在
航行过程中与小岛 的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据： ， ）【答案】该渔船在航行过程中与小岛 的最近距离约为22.0海里
【解析】
【分析】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点 作 于点 ，在 中，利用三角函数求出 ，然后在 中，
利用锐角三角函数的定义求出 ，然后根据 即可求解．
【详解】解：由题意，得 海里， ， ．
如图，过点 作 于点 ，
，
在 中， ，
在 中，∵ ，
∴ ．
海里，
，
解得 海里．
答：该渔船在航行过程中与小岛 的最近距离约为22.0海里．20. 如图， 内接于 ， 的延长线交 于点 ，交 于点 ， 交 的延长线
于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定，圆周角定理，，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的
关键．
（ 1 ） 先 证 明 ， 利 用 平 行 线 的 性 质 得 ， ， 求 出
，再进一步可得结论；
（2）由圆周角定理得 ，等量代换得 ，从而可得结论．
【小问1详解】
证明： 是 的直径，
．
，
．
，
，，
，
是半径，
是 的切线．
【小问2详解】
证明： 与 都是 所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1），知 ，
，
平分 ．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解本校七、八年级同学对食品安全知识的掌握情况，进行了一次食品安全知识竞赛．现从这
两个年级各随机抽取10名学生的答题情况作为样本进行整理，并绘制统计图表（不含人数为0的数据），
部分信息如下：
七年级10名学生答对问题数量扇形统计图
八年级10名学生答对问题数量统计表
答 对 问
1 2 3 4 5
题/个
人数 1 1 3
已知八年级10名学生答对问题的众数是4．
请根据以上信息，完成下列问题：（1）样本中，七年级10名学生答对2题的学生人数为______，七年级10名学生答对问题数量的中位数为
______．
（2） ______， ______．
（3）若认定竞赛答对问题数量不少于4题为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是
否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）1；4 （2）1；4
（3）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出答对其它各题的人数，进而可求出答对2题的人数，再根据中位数的计算方法求出中
位数；
（2）根据八年级10名学生答对问题的众数是4即可求解；
（3）分别求出平均数和优秀率即可解答．
【小问1详解】
解：∵ 人， 人， 人， 人，
∴答对2题人数为： 人．
∵答对各题人数从小到大排列为：1，1，2，4，2，
∴排在第5和第6位的都是答对4题的人数，
∴中位数是4．
故答案为：1；4；
【小问2详解】
解：∵八年级10名学生答对问题的众数是4，不含人数为0的数据，
∴ ．
故答案为：1；4；
【小问3详解】
解：七年级优秀率： ，
七年级平均数： 个，八年级优秀率： ，
八年级平均数： 个，
∴优秀率高的年级是否平均成绩也高．
【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，以及平均数，熟练掌握各知识点是解答本题
的关键．
七、（本题满分12分）
22. 已知二次函数 ．
（1）求二次函数图象的对称轴以及与 轴的交点坐标．
（2）当 时， 的最大值与最小值的差为32，求该二次函数的表达式．
（3）若 ，直线 经过抛物线 的顶点，并与该抛物线的另一交点为点 ，
当 取最小值时，求 的值．
【答案】（1）对称轴是直线 ，交点坐标为
（2） 或 ．
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，两点坐标距离公式，一元二次方程的应用，利用分类讨论的
思想解决问题是关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）分两种情况讨论： 和 ，根据抛物线的开口方向和对称轴，确定最大值和最小值，再列方
程求解即可；
（3）由（2）可得二次函数图象的顶点坐标为 ，代入直线解析式，求得 ，进而求出抛物线和直线的另一个交点 ，设 ，则点 ，根据坐标两点的距离公式以及二
次函数的最值，得出 时， 取最小值 ，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
二次函数图象的对称轴是直线 ．
令 ，则 ，
二次函数图象与 轴的交点坐标为 ．
【小问2详解】
解： ．
若 ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
当 时，二次函数有最大值 ，
，
解得 ，
该二次函数的表达式为 ．
若 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∵当 时，
∴当 时，二次函数有最大值 ，
当 时，二次函数有最小值 ，
，解得 ，该二次函数的表达式为 ，
综上可知，该二次函数的表达式为 或 ．
【小问3详解】
解：由（2）可得，二次函数图象的顶点坐标为 ．
直线 经过抛物线 的顶点，
，
，
．
由
解得 或
点 ．
设 ，则点 ，
．
，
，
当 时， 取最小值 ，，即 ．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， ， ．
（1）若 是 的中点．
①如图1，当 时，求证： ．
②如图2，当 时，求 的值．
（2）如图3，延长 ， 交于点 ，当 ， 时，求证： ．
【答案】（1） 见解析；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①由由题意可得 ，证得 ，利用直角三角形的两个锐角互余
即可得 ，可得结论；
②延长 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．证得 ，
得 ，推得 ，设 ， ，得 ，解得，可得 ，利用 得 ，即可得 ．
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 ， ， ，证得
， 即 得 ， 推 得 、 ， 通 过
得 ，整理得一元二次方程，解得 ，
再通过平行线分线段成比例得 即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ．
是 的中点， ，
，
，
．
，
，
，
．
②如图，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．， ，
，
．
， ，
．
设 ， ．
在 中， ，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
在 中， ，，
，
．
，
，
．
【小问2详解】
证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
设 ， ， ，
在 中， ，
．
， ，
，
，，
， ．
在 中， ，
，
，
整理可得 ，
解得： ，
，
．
，
∴ ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，解一元二次方
程等，熟练掌握相关知识并添加适合的辅助线是解题关键．
