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专题 03 一元一次方程
一、单选题
1．下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果 ，那么a=b B．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= y D．如果a=b，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【解析】A.如果 ，那么两边都乘以c可得a=b，故正确；
B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确；
C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确；
D.如果a=b，当c=0时， 不成立，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两
边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除
以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
2．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是一元一次
方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【解析】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
3．下列变形正确的是（ ）
A．方程 的解是 B．把方程 移项得：
C．把方程 去括号得： D．方程 的解是
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解法分别判断即可．
【解析】解：A、方程 的解是 ，故错误；
B、把方程 移项得： ，故错误；
C、把方程 去括号得： ，故错误；
D、方程 的解是 ，故正确；
故选D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
4．方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解．
【解析】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．5．若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】将 代入方程即可求解．
【解析】解：将 代入方程得：
解得
故答案为D．
【点睛】此题考查了方程解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．
6．如果关于 的方程 有解，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【解析】解：∵关于 的方程 有解，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
7．某同学在解关于x的方程 时，误将 看成了 ，得到方程的解为 ，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，
解得：a＝ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．若关于 的方程 的解与方程 的解互为相反数，则 的值为（ ）
A． B．2.5 C．1 D．
【答案】A
【分析】先将两个一元一次方程的解求出，然后根据这两个解互为相反数求解即可得．
【解析】解： ，解得： ，
，
解得： ，
方程的两个解互为相反数，
∵ ，
∴解得：
故选：A．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方程，相反数的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，
物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，
物价各是多少？若设共有 人，物价是 钱，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是 钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此
即可确定正确答案
【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是 钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
10．已知关于x的一元一次方程 的解为 ，那么关于y的一元一次方程
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x的一元一次方程 的解为x=2得出关于y的一元一次方程中的2y+1=2，再求出方程的解即可．
【解析】解：∵关于x的一元一次方程 的解为x=2，
∴关于y的一元一次方程 中的2y+1=2，
解得：y= ，
即方程 的解是y= ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是等量代换得出一元一次方程
2y+1=2．
二、填空题
11．方程 是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出 ，且 ，解绝对值及不等式即可得出答案．
【解析】由题意得，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为
整式的等式，正确把握一次项系数不能为零是解题的关键．
12． 的值与 的值互为相反数，那么 的值是___________．
【答案】
【分析】将两个整式相加得0，即可求出x的值．
【解析】解：∵ 与 的值互为相反数，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相反数的定义和解一元一次方程，解题关键是能正确列出方程与解方程．
13．关于x的方程 的解与 的解相同，则a的值为______．
【答案】8
【分析】先求出 的解，然后代入 ，即可求出答案．
【解析】解：∵ ，
解得： ；
把 代入 中，得
，
解得： ；
故答案为：8；
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
14．若关于 的方程 的解为整数，则整数 的值为___________．
【答案】 或 或 或
【分析】先求出 ，再讨论当 和当 ，结合关于 的方程 的解为整数进
行求解即可．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
当 ，即 时，方程无解，不符合题意；
当 时，则 ，
∵x为整数，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的
值进行取舍是解题的关键．
15．已知关于x的方程 的解是 ，则 ___．
【答案】
【分析】直接把 代入方程即可求得 的值．
【解析】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
16．如图，乐乐将 ， ， ，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上
的三个数字之和相等．现在a，b，c分别表示其中的一个数，则 的值为______．
【答案】
【分析】根据三个数的和依次列式计算即可求解．
【解析】解： ，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
， ， ，
， ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的加法及混合运算，代数式求值问题，解一元一次方程，根据表格，先求出三
个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
17．一个两位数，十位上的数是个位上的数的3倍减5，把个位数和十位数对调，新两位数比原两位数小
9，则原两位数是____________．
【答案】43【分析】设个位上的数字为： ，则：十位上的数字为： ，根据题意列方程进行求解即可．
【解析】解：设个位上的数字为： ，则：十位上的数字为： ，由题意得：
，
解得： ，
则： ，
∴原两位数是：43．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用：数字问题．熟练掌握一个两位数 ，可以表示为 的形式，
是解题的关键．
18．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A，B
的“n节点”，如图1，在数轴上点A表示的数为 ，点P表示的数为 ，点B表示的数为4，点P以每
秒6个单位长度的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到
点A的距离的 ，若此时点P为点A，B的“n节点”，则 ___________， ___________．
【答案】 ，7或 ，
【分析】先表示出运动t秒后，点P表示的数是 ，再根据数轴上两点距离公式分别求出 ，
据此得到关于t的方程，解方程求出t，进而求出n即可．
【解析】解：由题意得，运动t秒后，点P表示的数是 ，
∴ ， ，
根据题意得： ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，
∴ ，
故答案为： ，7或 ， ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，绝对值方程，一元一次方程的应用等
等，正确表示出 ，据此得到关于t的方程是解题的关键．
三、解答题
19．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可；
（3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
(1)
解： ，
移项，得 ，合并，得 ，
系数化为1，得 ；
(2)
解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
系数化为1，得 ；
(3)
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并，得 ，
系数化为1，得 ；
(4)
解： ，
整理，得 ，
移项，得 ，
合并，得 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：____，得 第一步去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以 ，得 第五步
任务：①以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
②以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________﹔
③请直接写出该方程正确的解为___________．
【答案】去分母，等式的性质2，二， 去括号时没有变号，
【分析】先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化1，即可得到答案.
【解析】解：解方程：
①去分母，得 ，（依据是：等式的性质2）
②去括号，得 ，（原解法出现错误，去括号，没有改变符号）
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
③方程两边同除以 ，得 .
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.
21．设 ， ．若 比 大1，求x的值．
【答案】
【分析】根据题意得到关于x的方程 ，解方程即可得到答案．
【解析】解：由题意得： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
22．某车间一共有110个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件15个，或乙种零件12个，问如
何安排每天的生产，才能使每天的产品配套？ 个甲种零件，2个乙种零件为一套）
【答案】安排60名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件
【分析】设应分配 人生产甲种零件，则分配 人生产乙种零件，然后列方程计算即可．【解析】解：设应分配 人生产甲种零件，则分配 人生产乙种零件，
根据题意得： ，
解得： ，
．
答：安排60名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件．
【点睛】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正
确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解．
23．若关于 的一元一次方程 有一个正整数解，则 可取的最小正数是多少？并求出相应
的解．
【答案】 可取的最小正数是 ，
【分析】方程 的解为 ，有一个正整数解，由此即可判断参数的值，并取最小的
正数，由此即可求解．
【解析】解：由 ，得， ，
∴ ，即 ，
要使 为正整数，即最小的正整数是 ， 取最小的正数，
当 时， ，
∴ ，
．
故 可取的最小正数是 ， ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判断参数的取值是解题的
关键．
24．已知方程 是关于 的一元一次方程．
(1)求 的值．
(2)已知方程 和上述方程同解，求式子 的值．
【答案】(1)(2)-2
【分析】（1）由一元一次方程的定义可知 且 ，从而可求得a的值．
（2）求出方程 的解，再代入方程 求出m的值即可求解．
【解析】（1） 方程 是关于 的一元一次方程，
且 ．
．
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
方程 和方程 同解，
，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，同解方程，掌握以上基础知识是解题的关键．
25．甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米 分和160米 分.
(1)若两人从同一地点同时向相反方向跑，多少分钟后两人第一次相遇？
(2)若两人从同一地点同时同向起跑，多少分钟后两人第一次相遇？
【答案】(1) 分钟后两人第一次相遇；
(2)10分钟后两人第一次相遇
【分析】（1）设两人从同一地点同时向相反方向跑， 分钟后两人第一次相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过 分钟两人第一次相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：设两人从同一地点同时向相反方向跑， 分钟后两人第一次相遇，根据题意得出：
，
解得： .
答：设两人从同一地点同时向相反方向跑， 分钟后两人第一次相遇；
（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过 分钟两人第一次相遇，根据题意得：
，
解得： .
答：两人从同一地点同时同向起跑，10分钟后两人第一次相遇.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
26．列方程解应用题：
一商场经销的 、 两种商品， 种商品每件进价40元，利润率为 ； 种商品每件进价50元，售价
80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
(1) 种商品每件售价为 元，每件 种商品利润率为 ．
(2)若该商场同时购进 、 两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进 种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场只对 、 两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买 、 商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买
同样商品要付多少元？
【答案】(1)60；60；
(2)购进 种商品40件；
(3)小华在该商场购买同样商品要付580元或660元
【分析】（1）根据利润等于进价乘以利润率，利润等于售价减进价，列式计算即可；（2）设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据总进价为2100元，列出方程，进行求解即可；
（3）设小华打折前应付款为 元，分①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额
超过600元，两种情况，分别列方程进行求解即可．
【解析】（1）设 种商品每件售价为 元，
则 ，
解得： ．
故 种商品每件售价为60元；
每件 种商品利润率为 ．
故答案为：60；60；
（2）设购进 种商品 件，则购进 种商品 件，
由题意得 ，
解得： ．
故购进 种商品40件；
（3）设小华打折前应付款为 元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得 ，
解得： ；
②打折前购物金额超过600元，
，
解得： ．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握：利润等于进价乘以利润率，利润等于售价减进价，折
扣价等于原售价乘以折扣率，是解题的关键．注意分类讨论．
27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程
和 为“美好方程”．
(1)方程 与方程 是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x方程 与 是“美好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，见解析(2)1
(3)
【分析】（1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；
（2）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于 的方程，解方程即可求解；
（3）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于 的方程，解方程即可求解；
【解析】（1）解：是，理由如下：
由 解得 ；
由 解得： ．
方程 与方程 是“美好方程”．
（2）解：由 解得 ；
由 解得 ．
方程 与方程 是“美好方程”
，
解得 ．
（3）解：由 解得 ；
由 解得 ；
∵关于x方程 与 是“美好方程”
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．
28． 、 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 对应的有理数为 ，点 对应的有理数为 ，动点
从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为 秒 ．(1)直接写答案：点 与点 间的距离为示为________，此时点 与点 间的距离表示为________；当 点
运动 秒时，点 表示的数可表示为_________
(2)当点 与点 间的距离为4个单位长度时，求 的值；
(3)若有理数 、 、 满足： 在数轴上对应的点位于点 与点 之间， 在数轴上对应的点位于原点
与点 之间， 为0与1间的正数，且有等式 成立，试求：
的值．
【答案】(1) , , .
(2) 或 .
(3) .
【分析】（1）由两点间的距离公式可得A，B间的距离，再利用A，B间距离减去P的运动路程的绝对值
即可得到P，B间的距离，再利用起点对应的数减去P的运动路程可得P运动后对应的数；
（2）由点 与点 间的距离为4个单位长度时，可得 ，再解绝对值方程即可；
（3）由题意可得 ， ， ，可得 ， ， ，可得
，再把 合并，再代入 进行求值即可.
【解析】（1）解： ，
点 与点 间的距离表示为 ，
当 点运动 秒时，点 表示的数可表示为： .
（2）∵点 与点 间的距离为4个单位长度时，
∴ ，
∴ 或 ，解得： 或 .
（3）∵ 在数轴上对应的点位于点 与点 之间， 在数轴上对应的点位于原点 与点 之间， 为0与
1间的正数，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法法则、绝对值的性质，
整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中
考常考题型．
