文档内容
安师联盟九年级中考摸底卷·数学
注意事项：1．本卷满分150分，答题时间120分钟．
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
.
A 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，解题关键是根据倒数的意义找出乘积互为1的两个数．
根据乘积互为1的两个数互为倒数．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是 ，
故选：C
2. 2024年安徽省经济运行持续回升向好，全省生产总值突破5万亿元台阶，约为 万亿元．数据
万亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数；据此求解即可．【详解】解： 万亿 ，
故选：C．
3. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项
中各几何体的俯视图再与题目图形进行比较即可．
【详解】解：A选项的俯视图是一个长方形，故本选项不符合题意；
B选项的俯视图是一个长方形中间有一个长方形，故本选项不符合题意；
C选项的俯视图是一个长方形右面有个小的长方形，故本选项符合题意；
D选项的俯视图是一个长方形后面有个小的长方形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算错误的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则判断即可．
【详解】解：A、 ，原写法错误，符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、 ，正确，不符合题意；
D、 ，正确，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，已知 的半径为2，点A和点B在 上，若 ，则图中阴影部分的面积为（
）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明 是等边三角形，
推出 ，直接根据 即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解： ，
是等边三角形，
，，
故选：B．
6. 若反比例函数 的图象经过点 ，则一次函数 的图象不经过（
）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数图
象与系数的关系．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ，
∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确．
故选：C．
7. 如图，在 中， ， 平分 ，过点 D 作 交 于点 E．若
，则 的长为（ ）A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合平
行线的性质推出 ，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，
再证明 ，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
8. 在 中，点D是边 上的中点（与B，C两点不重合），过点D作 ， ，分
别交 ， 于E，F两点，下列说法不正确的是（ ）
A. ，则四边形 是菱形
B. ，则四边形 是菱形
C. ，则四边形 是矩形
D. ，则四边形 是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】先根据 ， ，证明四边形 是平行四边形，再证明 ，
根据中位线性质得出 ， ，根据菱形的判定，垂直平分线的性质，即可判定 A、B
正确；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，证明 ，即可判定 C 正确，根据
，无法证明四边形 是矩形，即可判定D错误．【详解】解：A．∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ 、 为 的中位线，
∴ ， ；
A．若 ，则 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；选项A正确，不符合题意；
B．若 ，则 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；选项B正确，不符合题意；
C．若 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是矩形；选项C正确，不符合题意；
D． 无法证明四边形 是矩形，选项D错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行线分线段成比例，中位线的性质，平行四边形的判定，
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
9. 已知三个实数a，b，c满足 ， ，下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，代数变形，关键将等式进行变形为 ．先将
变形为 ，并将其代入 ，得出 ，最终得出 和 的结论．
【详解】解： ，
，
，
，即 ，
，
，
将 代入 得，
，
， ，
故选：A．
10. 在 中， 是 的角平分线，点 分别为边 ，上的点（不与端点重合），且满足 ，设 的面积为 ，则 关于 的函
数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，涉及三角形全等的判定与性质，二次函数的图象，角平分线，等
边三角形的判定及性质，解题的关键是求出 与 的函数关系式；取 的中点 ，连接 ，作
，垂足为点 ，则 ，证明 是等边三角形，进一步证明 ，
利用面积公式建立 与 的函数关系式即可判断．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，作 ，垂足为点 ，则 ．
， 平分 ，
， ．
点 是 的中点，
，
是等边三角形，
， ．，
．
在 和 中，
，
．
在 中， ，
，
A选项正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出 ，计算即可得
解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．12. 比较大小： __________ （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
13. 小智参加学校科技节的“未来发明挑战赛”，展台上有四张科技项目的评分卡，分别是：智能垃圾分
类机（ 分）、太阳能飞行背包（ 分）、虚拟现实晕眩问题（ 分）、3D打印材料不足（ 分）．
规则是随机抽一张卡记下分数后不放回，再抽一张，如果两次分数相乘是正数就能赢得奖品．则小智获奖
的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意列出表格，找到所有等可能情况数和符合题意的
情况数，利用概率公式即可得到答案．
【详解】解：列表如下共有12种等可能的结果，其中两次分数相乘是正数共有4种，
∴小智获奖的概率是 ，
故答案为：
14. 如图，在正方形 中，点 是 边上一点，将正方形边 沿 折叠到 ，延长 交
于点 ，连接 ，请完成下列探究：
（1） 的大小为______；
（2）当 时， 的值为______
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可知， ，进而证明 ，推出
，结合正方形的性质即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，求出 ，进而得到
，证明 ，得到 ．过点 作 ，垂足为点 ，求出，再根据 平分 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知， ，
， ， ．
在 和 中， ，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
在 中， ．
在 中， ，
．
，
，即 ．
过点 作 ，垂足为点 ．
在 中， ，
，即 ．平分 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直
角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用适当的方法解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法并根据方程的特点灵活选择是关键．
利用公式法进行解方程即可．
【详解】解：
，
，
，．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． 的三个顶点的坐
标分别为 ．
（1）请画出 关于 轴对称的 ；
的
（2）请仅用无刻度 直尺画出 边上的中线 ，保留作图痕迹；
（3）若 内存在一个格点 ，使得 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点 的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质，矩形的性质，勾股定理及
格点的特点是关键．
（1）根据轴对称图形的性质作图即可；
（2）根据矩形的性质作图即可；
（3）根据格点与勾股定理即可求解．
【小问1详解】解：如图， 即为所作，
【小问2详解】
解：如图所示，取矩形 ，连接对角线交于点 ，连接 ，
∵矩形的对角线相互平分，即点 是中点
∴ 即为所作．
【小问3详解】
解：根据格点特点，作 交 轴于点 ，
∴点 的坐标为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某公司计划组建直播带货团队，需协调直播与短视频制作两类项目．已知，每场直播需配备 1名主播
和3名运营人员，单场成本为1.2万元；每场短视频制作需配备2名剪辑人员和1名运营人员，单场成本为
0.8万元．若总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，问应安排直播和短视频制作各多少场？
【答案】安排直播2场，安排短视频制作4场
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
设安排直播 场，安排短视频制作 场，根据：总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，即可
列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设安排直播 场，安排短视频制作 场．
由题意可得， ，解得 ；
答：安排直播2场，安排短视频制作4场．
18. 【观察思考】
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
【规律发现】
（1）写出第5个等式： ；
（ 2 ） 写 出 你 猜 想 的 第 个 等 式
；
【规律应用】
（3）应用规律计算： （需写出过程）．
【答案】（1） ；（2）
；（3） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律
并能灵活运用是解答的关键．（1）仿照题干即可求解；
（2）仿照题干即可求解；
（3）将原式变形为 ，再运用结论求解．
【详解】解：（1）∵第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
∴第5个等式：
（2）根据规律可得： ；
（3）解：原式
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某智能机器狗从起点 出发执行峡谷设备定位任务，它沿倾斜角为 的岩壁 攀爬 到达
崖顶 点，从 点继续向正东方向水平移动 至观测点 ，在 点测得峡谷对岸谷底设备 点的俯角为
．已知峡谷垂直深度 （ 为 点正下方的谷底点， 点为固定在谷底的微型传感器，与
点同水平面）．请计算起点 到设备 点的水平距离．（结果精确到 ，参考数据：
， ， ）【答案】起点 到设备 点的水平距离约为20.3
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．如图，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，在 中， ，在 中，
．最后计算 得到最终的答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，由题意可得，
， ，
在 中， （ ）
在 中， （ ），
起点 到设备 点的水平距离 （ ）
答：起点 到设备 点的水平距离约为20.3
20. 如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 的切线， 是 上的一点， ，
垂足为点 ， 与 相交于点 ．（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的
判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
（1）利用切线性质和圆的半径相等所带来的等腰三角形性质，通过角度等量代换证明角平分线．进行解
答即可；
（2）通过证明 ，利用相似三角形对应边成比例来计算 的长度．
【小问1详解】
证明： ，
，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，平分 ；
【小问2详解】
解： 是 的直径，
．
，
，
，
又 ，
，
，
即 ．
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某农业基地为比较 、 两品种小麦的株高表现，分别从 、 种植区域随机各抽取 株成熟小麦，
测量其株高（单位： ），并对数据进行整理分析．以下是部分信息：
． 品种小麦株高频数分布表（不完整）
分 组 /
频数 频率合计
． 品种小麦株高在 这组的数据
．统计量对比表
品 平 均 中 位 众 方
种 数 数 数 差
根据以上信息，回答下列问题．
（1） 品种株高频数分布表中 的值为 ， 的值为 ；
（2）求出统计量对比表中 的值；
（3）根据考察的结果，将小麦按株高从高到矮进行排序后，株高为 的小麦在
（填 或 ）种小麦中排名更靠前，株高更稳定的是 （填“ ”或“ ”）种小麦；
（4）若此农业基地共有 万株 品种小麦，且规定：株高 的小麦定义为“优品”，试估算该基地
中 品种小麦优品的数量．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） ， ；
（4）估计 品种小麦“优品”的数量约为 万株．
【解析】【分析】本题考查了频数分布表，直方图，平均数、中位数、众数、方差等知识，掌握知识点的应用是解
题的关键．
（ ）由“频数 总数 频率”即可求解；
（ ）根据中位数定义即可求解；
（ ）根据方差和中位数定义即可求解；
（ ）通过样本估算总体即可求解．
【小问1详解】
解： ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由 品种株高频数直方图和中位数定义可知，
中位数为 这组数的第 个与第 个的平均数，
故中位数为： （ ）；
【小问3详解】
解：根据考察的结果，将小麦按株高从高到矮进行排序后，株高为 的小麦在 种小麦中排名更靠
前，
∵ 的方差 小于 的方差 ，
∴株高更稳定的是 种小麦；
故答案为： ， ；
【小问4详解】
解： 品种小麦在 范围内频率为 ，
故 品种小麦“优品”的数量约为 （万株），
答：估计 品种小麦“优品”的数量约为 万株．
七、（本题满分12分）
22. 如图 ，在正方形 中，点 在 上，点 在 上，且 ，连接 ， 交于点
．（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 ，连接 ．
如图 ，当 时，求证： 平分 ；
如图 ，当 时， 的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据正方形性质可得 ， ，证明 ，则
，然后通过角度和差即可求证；
（ ） 取 的中点 ，可得点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，根据圆周角定理
得 ，又 ，则 ，从而求证；
先证明 ，则 ，设 ， ，则 ，故 ，
求出 ， （舍去），所以 ，然后代入求值即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，取 的中点 ，
∵ 和 都是直角三角形，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 平分 ；
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ， ，则 ，
，
解得： ， （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当 时，y的最大值为5，求a的值；
（3）设抛物线的顶点为B，点M是线段 上的动点，过点M作 轴，交抛物线于点N．若 ，
试求出 的最大值（用含a的式子表示）．
【答案】（1） ，抛物线的对称轴为直线（2） 或
（3） 最大值为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）求出当自变量的值为0时的函数值即可得到点A的坐标，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴；
（2）抛物线顶点坐标为 ，当 时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，则
当 时， 为最大值，当 时，抛物线开口向下，则 时， 取最大值，
据此分别建立方程求解即可；
（3）求出线段 的函数解析式为 ．设点 的坐标为 ，则点 的坐标为
，用含a的式子表示出 ，并利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：在 中，令 ，则 ，
∴ ．
∵抛物线解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线解析式为
抛物线顶点坐标为 ．
①当 时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，
，
当 时， 为最大值，即 ，解得 ．
②当 时，抛物线开口向下，
时， 取最大值，
，解得 ．
综上所述， 或 ．
【小问3详解】
解：由（2）可得：抛物线的顶点坐标为 ，
设线段 的函数解析式为 ，
由题意可知， ，解得 ．
线段 的函数解析式为 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，如图，
当 时，
．
，
，当 时， 有最大值，且最大值为 ．
