文档内容
2025 年安徽省初中学业水平模拟考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间共120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. ，0，2， 中，最小的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较．根据有理数大小比较法则，正数 负数，比较两个负数大小时
利用取绝对值的方法比较即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四个数的大小关系为： ，
故选：D．
2. 数据显示，2024年全国事业单位和规模以上企业广告业务收入首次突破15000亿元，其中数字15000亿
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种
记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，
小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：15000亿 ，
故选：A．
3. 下面四个几何体中，俯视图一定不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三种视图以及中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 180度，如果旋转后
的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．利用俯视图是从物体上面看，所得到
的图形，进而分析得出即可．
【详解】解：A、长方体俯视图是长方形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，不是中心对称图形，本选项符合题意；
C、圆柱的俯视图是圆，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、球的俯视图是圆，是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方．根据同底数幂的乘法，合并同类型法则及同底数幂的除法、积
的乘方与幂的乘方注意计算可得．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．按照移项，合并同类项，系数
化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式 得： ，
数轴表示如下所示：
故选：A．
6. 下列方程中，有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．先根据各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可．
【详解】解：A、方程 ， ，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
B、方程化为 ， ，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
C、方程为 ， ，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
D、方程化为 ， ，方程有两个不相等的实数根，所以本选项
符合题意；
故选：D．
7. 如图，正 的顶点F在正五边形 内部，连接 并延长交 于点G，则 等于（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和、等腰三角形的性质，熟练
掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等边三角形的性质可得 ，再根据正五
边 形 的 性 质 可 得 ， 然 后 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得，最后根据四边形的内角和求解即可得．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在四边形 中， ，
故选：C．
8. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴
作垂线，围成的阴影部分的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义；点A、B分别在反比例函数 和 图象
上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出 ， ，由阴影部分的面积，由此解出k即可．
【详解】解：如图所示：
点A、B分别在反比例函数 和 图象上，且 轴， 轴，
为
四边形 和 矩形，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
， ，
则阴影部分的面积为 ，
故选：B．
9. 如图， 中， ， ，四边形ADPE为平行四边形，记 的面积为 ，
的面积为 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】【分析】延长 交 于点F，过点C作 于点G，交 于点H，根据四边形 为平行
四边形，得出 ， ，设 ，则 ，证明 ，
得 出 ， 求 出 ， 得 出 ， 证 明 ， 得 出
， 设 ， 则 ， 求 出 ， 得 出
， ，即可得出答案．
【详解】解：延长 交 于点F，过点C作 于点G，交 于点H，如图所示：
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形面积计算，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
10. 设a，b，c均为实数，且 ，下列判断正确的是（ ）
A. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小
B. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大C. 若b为一个负值，则当 时，c的值一定随着a的值增大而增大
D. 若b为一个正值，则当 时，c的值一定随着a的值增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质．将原式整理成 ，可看成c是关
于a的一次函数，或二次函数，根据二次函数的性质或一次函数的性质即可解答．
【详解】解：
，
若a为一个定值，且 时，则 ，不变，故选项A和B都不符合题意；
若b为一个负值，则c是关于a的二次函数，且开口向下，当 时，c的值一定随着a的值增大而增大，
故选项C符合题意；
若b为一个正值，则c是关于a的二次函数，且开口向上，当 时，c的值一定随着a的值增大而减少，
故选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 64的立方根是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
12. 若 有意义，则 的取值范围是_____．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 ，可以求出 的取值范围．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
13. A，B，C，D是直线l上顺次的四个点，在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．首先根据题意画出列表，然后由表格求得所有等可能的结
果与两点不相邻的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得，
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能，两点不相邻的情况有 ，共6种，
∴在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是 ，
故答案为： ．14. 如图，将长方形 沿 折叠后展开，折痕 ，点P为边 上一点，再将纸片分别
沿 折叠，点A的对称点与点D的对称点重合于点F，折痕 交于点E．
（1） _______°；
（2）若点B，P恰好关于 对称，则 _______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题主要考查折叠问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，根据折叠得
， ，由平角的定义得 ，可求出 ；
根据折叠得 ，设 ，根据题意得 ，解直角三角形得
， 求 出 ， ， ， 从 而 求 出 ， 可 得
， ，再证明 ，求出 ，再求出 ，即可得解．
【详解】解：由折叠得 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，由 ，设 ，
的
∵点A 对称点与点D的对称点重合于点F，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 、 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 当 时，求 的值．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的分母有理化．利用分式的减法法则，进行化简，再
代入求值，即可求解．
【详解】解：
，
当 时，原式
．
16. 已知某高铁的票价y（元）是路程x（千米）的一次函数．若此高铁路线上A，B两站的距离是100千
米，票价是60元；A，C两站的距离是250千米，票价是135元．
（1）求票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式；（不要求注明x的范围）
（2）若此路线上的高铁列车每小时行驶320千米，现某人买了一张290元的车票，请计算高铁列车行驶所
用的时间．
【答案】（1） ；
（2）高铁列车行驶所用的时间为 小时．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得一张290元的车票行驶的路程，再利用高铁列车每小时行驶320千米计算即可求解．
【小问1详解】
解：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为 ，
将 ， 和 ， 代入得，
，
解得 ，
答：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为 ；
【小问2详解】解：当 时，则 ，
解得 ，
，
答：高铁列车行驶所用的时间为 小时．
四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）
17. 如图正方形网格，每个小正方形的边长为1，格点三角形 的顶点A，C的坐标分别为 ，
．
（1）请在正方形网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出 关于y轴对称的 ；
（3）填空：①点 的坐标是________；
② 的面积等于________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，4
【解析】
【分析】（1）根据点A和点C的坐标，先确定原点，即可建立平面直角坐标系；
（2）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可；
（3）根据（2）中的图形，即可写出点 的坐标，用割补法即可求出 的面积．
【小问1详解】
解：如图所示：【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
由图可知，点 坐标为： ，
，
故答案为： ，4．
【点睛】本题主要考查了根据图形确定平面直角坐标系，作轴对称图形，解题的关键是根据已知点确定平
面直角坐标系．
18. 某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得 ”的问题，指
导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下：
x … 5 11 （_______） …
y … 1 （_______） …
（1）观察表格，根据规律请在表格的横线上填空；
（2）由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是
_______和_______（分别用m和n表示）；
（3）有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得 成
立”．请对该结论判断正误并简述理由．
【答案】（1）见解析 （2） ，
（3）结论正确，理由见解析
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解．
（1）观察表格，找到规律，即可填空；
（2）根据规律求解即可；
（3）假设 是方程 的一个解，令 ， ，代入求解即可证明结论
正确．
【小问1详解】
解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5，
所以，填写表格如下：
x … 5 11 17 …
y … 1 …
【小问2详解】
解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是 和 ；
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：结论正确，理由如下，
5和3的最大公约数为1，能被1整除，
∵1能整除任意正整数k，
∴ 必有整数解，
假设 是方程 的一个解，
∴ ，
对于任意整数 ，令 ， ，
代入方程 左边得， ，
∴ 是方程 的解，
由于整数 有无数个，
∴方程 有无数组整数解，
综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得 成立．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 甲同学用无人机测量一条河流两岸B，C两点之间的距离．如图所示，甲站在河岸上B处遥控无人机，
无人机在A处距离地面的飞行高度是 ，此时甲同学抬头仰视无人机，仰角记为 ，若从无人机测
得河岸C处的俯角为 ，甲的眼睛距地面的高度 为1.5m， ．（点A，E，B，C在同一平
面内，且BC在同一条水平线上）
（1）求仰角 的正弦值；
（2）求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）．
【答案】（1）仰角α的正弦值为 ；
（2）B，C两点之间的距离约为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
（1）如图，过A点作 于D，过E点作 于F，利用四边形 为矩形得到
， ，则 ，，然后根据正弦的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出 ，再在 中利用正切的定义计算出 ，然后计算
即可．
【小问1详解】
解：如图，过A点作 于D，过E点作 于F，∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
即 ．
答：仰角α的正弦值为 ；
【小问2详解】
解：在 中， ，
在 中， ， ，
答：B，C两点之间的距离约为 ．
20. 如图1， 是 的直径， 是 的弦，连接 ，过点B作 的垂线交 于点D，交
于点E．（1）若 为 的中点，求 的大小；
（2）如图2，过点B作 的切线交 的延长线于点F，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、圆的切线的性质、等腰三角形的判定与性质
等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键．
（1）连接 ，先证出 是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得 ，
然后根据圆周角定理可得 ，由此即可得；
（2）连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再证出 ，根据等腰三角形的判定可
得 ，然后根据圆周角定理可得 ，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，
∵ ， 为 的中点，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∴ （等腰三角形的三线合一）．
21. 综合与实践
【项目背景】
某水果公司以80元/ 的成本价新进2000箱车厘子，每箱质量3 ，在出售车厘子前，需要去掉损坏的
车厘子，现随机抽取20箱，去掉损坏车厘子后称得每箱的质量（单位： ）如下：2.7，2.8，2.6，2.5，
2.8，2.9，2.8，2.7，2.8，2.7，2.8，2.9，2.7，2.8，2.5，2.7，2.8，2.9，2.7，3.0．
【数据整理】
.
2
质量（kg） 2.5 2.6 2.8 2.9 3.0
7
数量（箱） 2 1 6 a 3 1
【数据分析与运用】
平均数 众数 中位数
2.75 b c
根据以上信息，完成以下任务：
任务1：直接写出上述表格中a，b，c的值．
任务2：平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选
择其中一个统计量，估算这2000箱车厘子共损坏了多少千克？
任务3：根据2中的结果，求该公司销售这批车厘子每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【答案】任务1： ， ， ；任务2：这2000箱车厘子共损坏了 ；任务3：该公司
销售这批车厘子每千克定为 元才不亏本．【解析】
【分析】本题考查的是平均数，众数和中位数的定义及运用，要学会根据统计量的意义分析解决问题．
任务1：根据题意以及众数，中位数的定义分别求出即可．
任务2：从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可;
任务3：求出成本，根据( 2 )的结果计算即可得到答案．
【详解】解：任务1： ，
的
分析数据：样本中，2.8出现 次数最多；故众数 ，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为2.8，2.8，故中位数 ，
， ， ；
任务2：选择众数2.8，
∴这2000箱车厘子共损坏了 ( ) ( 答案不唯一) ．
任务3：
答：该公司销售这批车厘子每千克定为 元才不亏本．
22. 如图，在边长为1的正方形 中，点N在线段 上，点M在线段 的延长线上，且
，线段 交 于点P．
（1）求证： ；
（2）求证： ；（3）当 时，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质可得 ， ，从而可得 和
都是直角三角形，再根据 定理即可得证；
（2）过点 作 ，交 于点 ，先证出 ，根据平行线的性质可得 ，
再证出 ，然后证出 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）先证出 ，根据平行线的判定可得 ，再证出 ，根据相似三角形
的性质即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，过点 作 ，交 于点 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．【小问3详解】
解：∵四边形 是边长为1的正方形，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）已证： ，
∴ 是 的斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角
形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题
关键．
23. 已知点 在关于x的二次函数 的图象上．
（1）证明： ；
（2）证明：当b的值变化时，二次函数 的顶点总在另一个二次函数 的
图象上，求p，q的值；
（3）若点 满足：①m，n均为整数；②m对应 与 的函数值分别记为 ， ，且 ．
则称 是函数 与 的一个环抱整点．
（ⅰ）当 时，求函数 与 的环抱整点的个数；
（ⅱ）若函数 与 的环抱整点 有且只有1个且 ，试求整数n的值与实数b的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析， ，
（3）（ⅰ）3个；（ⅱ） ，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与
性质是解题的关键．
（1）把 代入 计算即可；（2）先求出二次函数 的顶点坐标为 ，然后令 ，将顶点坐标化
为 ，即知顶点在函数 的图象上，即得答案；
（3）（ⅰ）当 时， ， ，可得 ，
解不等式
得 ，所以 或0，再代入验证，即得答案；
（ⅱ）当 时， ， ，则 ，再根据函数 与 的环抱整点 有
且只有1个，即知 ，且 ，从而可得答案．
【小问1详解】
证明： 点 在关于x的二次函数 的图象上，
把 代入 ，得 ，
；
【小问2详解】
证明：二次函数 的顶点坐标为 ，
，
，
二次函数 的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，，
即二次函数 的顶点坐标为 ，
这表明顶点总在二次函数 的图象上，
与 比较系数得， ， ；
【小问3详解】
解：（ⅰ）当 时，由 ，得 ，
，
由（2）得 ，
当 时， ， ，
则 ，
，
，
由二次函数的性质知 ，
或0，
当 时， ， ，
，
；
当 时， ， ，
，
或0；函数 与 的环抱整点为 ， ， ，共有3个；
（ⅱ）由（1）（2）可知， ， ，
当 时， ， ，
则 ，
函数 与 的环抱整点 有且只有1个，
，且 ，
整数n的值为0，实数b的取值范围是 ．
