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专题 05 数据的分析全章复习攻略（4 个概念 3 个应用专练）
4 个概念
【考查题型一】平均数
1．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x ，x ，…，x ，则 ＝ （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数．
1 2 n 1 2 n
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等
时，就是算术平均数．
【例1】．（2023秋•绥化期末）一组数据2，1，4， ，6的平均值是4，则 的值为
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】根据一组数据2，1，4， ，6的平均值是4，可以计算出 的值，本题得以解决．【解答】解： 一组数据2，1，4， ，6的平均值是4，
，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，计算出 的值．
【变式1-1】．（2023春•金华期末）已知一组数据 ， ， ， 的平均数为6，则另一组
数据 ， ， ， 的平均数为
A．5 B．6 C．7 D．不确定
【分析】根据平均数的定义解答即可．
【 解 答 】 解 ： 一 组 数 据 ， ， ， 的 平 均 数 为 ：
，
另一组数据 ， ， ， 的平均数为： ．
故选： ．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数．
【变式1-2】．（2023春•漳州期末）小聪期末语文、数学、英语三科的平均分为122分，已知语文成绩是
118分，英语成绩是125分，则他的数学成绩是
A．122分 B．123分 C．124分 D．125分
【分析】根据题意可以求得三科的总成绩，从而可以求得数学成绩．
【解答】解：由题意可得，他的数学成绩为： （分 ，
故选： ．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的数学成绩．
【变式1-3】．（2023春•晋安区期末）若 2023个数 ， ， 的平均数是2，则 ， ，
， 的平均数是 ．
【分析】根据平均数的定义即可求解．【解答】解： 个数 ， ， 的平均数是2，
，
，
， ， ， 平 均 数 是
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集
中趋势的一项指标．
2．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占
30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
【例2】．（2023春•和平区校级期末）为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”
比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）
项目 书面测试 实际操作 宣传展示
96 98 96
成绩（分
若按书面测试占 、实际操作占 、宣传展示占 ，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小
明的最后得分是 ．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：小明的最后得分是 （分 ，
故答案为：97分．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式2-1】．（2023春•如皋市期末）学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占 ，现场展示占 计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计
85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据题意可得，他的综合成绩是 （分 ，
故答案为：87．
【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
【变式2-2】．（2023春•南丹县期末）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动
参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例
某班这四项得分依次为85，90，80，75，则该班四项综合得分为 ．
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
【解答】解： （分 ，
故答案为：84分．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和计算方法．
【变式2-3】．（2023春•滨州期末）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参
与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例
某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：该班四项综合得分为 （分 ，
故答案为：80.4．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【考查题型二】中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
【例3】．（2023春•叙州区期末）为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某
校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：
8.4，7.5，8.4，8.5，7.5，9．则这组数据的中位数为
A．8.5 B．8.4 C．8.2 D．8
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：7.5，7.5，8.4，8.4，8.5，9，
所以这组数据的中位数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数
（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
【变式3-1】．（2023春•惠城区校级期末）国家实行“精准扶贫”政策后，农民收入大幅度增加．广东省
某镇所辖5个村去年的年人均收入（单位：万元）为：1.4，1.6，1.8，1.3，1.9，该镇各村去年年人均收入
的中位数是
A．1.3万元 B．1.4万元 C．1.6万元 D．1.9万元
【分析】根据中位数定义解答即可．
【解答】解：排序后为：1.3，1.4，1.6，1.8，1.9，处于中间位置的数为第3个数，为1.6，
中位数为1.6万元．
故选： ．
【点评】本题考查中位数的定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置或中间位置的两个数的
平均数即为中位数．
【变式3-2】．（2023春•岳麓区校级期末）2023年5月11日，世界旅游城市联合会和长沙市人民政府共
同主办了世界旅游城市联合会长沙香山旅游峰会，来自世界各地的嘉宾齐聚山水洲城长沙，共话全球旅游
复苏新机遇，助力世界旅游业扬帆再起航，世界旅游城市联合会是由北京发起成立的世界首个以城市为主
体的全球性国际旅游组织，自成立以来，其会员数量已从最初的 58个发展至当前的238个，其中城市会员
159个，机构会员79个，6个分会会员总数332个，这组数据58，238，159，793，32的中位数是
A．58 B．238 C．159 D．79
【分析】将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列即可得到中位数．【解答】解：将给出数据按照从小到大的顺序排列：32，58，159，238，793，
故中位数为159．
故选： ．
【点评】本题考查求中位数．切记寻找中位数前需将数据按大小顺序排列是解题的关键．
【变式3-3】（2023春•柯桥区期末）为弘扬传统文化在端午节前夕，某校举行了“诗词竞赛”，某班 15
名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示，则全班15名同学的成绩的中位数是 ．
人数 1 6 5 3
70 80 90 100
成绩（分
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【解答】解：将15名同学的成绩从小到大进行排序，排在第8位的同学成绩为90分，因此全班15名同
学的成绩的中位数是90．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是熟练掌握中位数定义，将一组数据按大小
顺序排列，处在最中间位置的一个数或两个数的平均数叫做这组数据的中位数．
【考查题型三】众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数
就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数
可作为描述一组数据集中趋势的量．．
【例4】．（2023春•东港区期末）某班七个兴趣小组人数分别为4，5，4，5，6， ，7，已知这组数据
的平均数是5，则这组数据中的 值和众数分别是
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5
【分析】根据众数、算术平均数的概念，结合题意进行求解．
【解答】解： 这组数据的平均数是5，
，
解得： ，
数据4出现了3次，最多，
则众数为4．
故选： ．
【点评】本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式4-1】．（2023春•马尾区校级期末）若某公司25名员工年薪的情况如表，则该公司全体员工年薪
的众数是
年薪 万 30 14 9 6 4 3.5 3
元
员工数 1 2 3 4 5 6 4
人
A．30万元 B．6万元 C．4万元 D．3.5万元
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可找出答案．
【解答】解：在这一组数据中3.5万元是出现次数最多的，众数是3.5万元；
故选： ．
【点评】本题为统计题，考查众数意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，掌握判断众数的方法是解
题关键．
【变式4-2】．（2023春•长顺县期末）我校英语兴趣小组20名学生某日记单词数量如表所示：
单词数量 个 6 8 10 12 14
人数 人 3 4 5 6 2
这些学生某日记单词数量的中位数、众数分别是
A．8，10 B．10，12 C．5，6 D．8，12
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数据从小到大排列，中位数是第10个，11个数据的平均数即 ；
12出现了6次，出现的次数最多，则众数是12，
所以这些学生某日记单词数量的中位数、众数分别是10，12．
故选： ．
【点评】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从
小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式4-3】．（2023春•平舆县期末）已知一组数据2，9，6，10， 的众数是 ，其中 又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数是 ．
【分析】先求出不等式组 的整数解，再根据众数的定义可求 的值，再根据中位数是排
序后位于中间位置或中间两数的平均数求解．
【解答】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解是3、4、5、6、7、8、9，
一组数据2，9，6，10， 的众数是 ，
或9，
这组数据的中位数是6或9．
故答案为：6或9．
【点评】本题综合考查了一元一次不等式组的整数解，众数及中位数的定义，解题的关键是仔细观察，在
确定中位数时首先要排序．
【考查题型四】方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个
结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
1 2 n
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；
反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【例5】．（2022秋•台儿庄区期末） ， 两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击
成绩的平均数和方差的描述中，能说明 成绩较好且更稳定的是
A． 且 B． 且C． 且 D． 且
【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选： ．
【点评】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数
据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
【变式5-1】．（2023春•鼓楼区校级期末）甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是
，身高的方差分别是 ， ， ， ，则身高比较整齐的滑冰队是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】找出方差最小的游泳队即可．
【解答】解： ， ， ， ，且 ，
身高比较整齐的游泳队是丙游泳队，
故选： ．
【点评】本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定．
【变式5-2】．（2023春•青秀区校级期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各 10次射击成绩的数据
信息，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是
选手 甲 乙 丙 丁
9.2 9.3 9.3 9.2
平均数（环
0.035 0.015 0.035 0.015
方差（环
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中乙的方差最
小，说明乙的成绩最稳定，得到乙最合适的人选．
【解答】解： 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中乙的方差
最小，
乙的成绩最稳定，
综合平均数和方差两个方面说明乙成绩既高又稳定，
最合适的人选是乙．故选： ．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式5-3】．（2023春•惠城区校级期末）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10次射击的平均成绩
都是9环，其中甲成绩的方差为1.21，乙成绩的方差为3.98，由此可知
A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为 ，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故选： ．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
3 个应用
【考查题型五】平均数、中位数、众数的应用
【例6】．（2023春•建华区期末）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自
护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成
绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了 20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：
分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
成绩等级 分数（单位：分） 学生数
级
级 9
级
级 2
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
年级 平均数 中位数 优秀率
八年级 77九年级 78.5 82.5
（1）根据题目信息填空： ， ， ；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 更靠前（按照分数由
高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
【分析】（1）根据频数统计的方法，分别对20个数据进行统计可得 、 的值，根据中位数的定义求出
八年级成绩的中位数，即确定 的值；
（2）根据八、九年级学生成绩的中位数进行判断即可；
（3）求出样本中九年级80分以上的学生所占的百分比即可估计总体中80分以上的学生所占的百分比，进
而计算相应的人数即可．
【解答】解：（1）根据频数统计的方法可得，
成绩在 的有6人，即 ，
成绩在 的有3人，即 ，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 （分 ，因此中位数
是77.5，即 ，
故答案为：6，3，77.5；
（2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是77．（5分），而九年级学生成绩的中位数
是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此
八年级的小明排名靠前；
故答案为：小明；
（3） （人 ，
答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人．
【点评】本题考查中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前
提．
【变式6-1】．（2023春•永城市期末）为了解我国2022年第一季度25个地区第一季度快递业务收入的情
况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，
给出如下信息．
．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：快递业务收入
频数 6 10 1 3
．第一季度快递业务收入的数据在 这一组的是：20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.5，
34.4，39.1，39.8
．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数
如下：
前5位的地区 其余20个地区 全部25个地区
平均数 306.8 29.9
中位数 270.3 28.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 的值为 ；
（2）在下面的3个数中，与表中 的值最接近的是 （填写序号）；
①30
②85
③150
（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为 亿元．
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）由平均数的计算法则进行计算即可；
（3）利用（2）中的结果进行计算即可．
【解答】解：（1）将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均
数为 ，即中位数 ，
故答案为：25.15；
（2） ，
故答案为：②；
（3） （亿元），
故答案为：8500．
【点评】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的
定义及计算方法是正确解答的前提．
【变式6-2】．（2023春•兖州区期末）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全
开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93．
八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100．
【整理与分析数据】
七年级 0 1 1 8
八年级 1 0 1 5 13
【应用数据】
平均数 众数 中位数
七年级 88 85
八年级 88 91
（1）由上表填空： ， ， ；
（2）若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中
获得优秀等次的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）根据中位数、众数即可得出结论．
【解答】解：（1） ，
七年级20名学生的竞赛成绩的中位数是第10和第11个数据的平均数，
，
在八年级20名学生的竞赛成绩中90出现的次数最多，
，
故答案为：10，89.5，90；
（2） （人 ，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
（3）八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
【点评】此题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系
是解决问题的关键．【变式6-3】．（2023春•南充期末）第31届大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕，为更好
地了解大运会，某中学在七、八年级举行了“迎大运知识竞赛”活动，现从七、八年级各随机抽取50名学
生的竞赛成绩，整理如下：（得分用 表示，共分成四组： ； ； ；
． 八年级50名学生成绩数据中，落在 组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，90，
93，94，91，90，94，91，94，93，92．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 96
（1）求出统计图中 的值，以及表格中 的值；
（2）该校八年级共800人参加了此次竞赛，估计参加此次竞赛成绩优秀 的八年级学生有多少人？
（3）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
【分析】（1）由题意可知，竞赛成绩在 组的有15人，占 ，进而可以求出竞赛成绩
在 组的学生所占的百分比，确定 的值，根据中位数的定义求出中位数即可确定 的值；
（2）求出样本中，竞赛成绩优秀 的学生人数所占的百分比，估计总体中竞赛成绩优秀 的学
生人数所占的百分比，进而求出相应的人数；
（3）从中位数、众数的大小比较得出结论．
【解答】解：（1）样本中竞赛成绩在 组的有15人，占 ，
所以竞赛成绩在 组所占的百分比为 ，即 ，
将这50名学生的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是 ，因此中位数
是93.5，即 ，
答： ， ；（2） （人 ，
答：该校八年级共800人参加了此次竞赛，成绩优秀 的学生大约有560人；
（3）八年级学生成绩较好，理由：八年级学生竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，所以八年级学
生竞赛成绩较好．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握
频率 是正确解答的关键．
【考查题型六】方差的应用
【例7】．（2023春•泸水市校级期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛
成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如
图所示．
平均分（分 中位数（分 众数（分 方差（分
初中部 85
高中部 85 100 160
（1）根据图示计算出 、 、 的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差 ，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）初中5名选手的平均分 ，众数 ，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数 ；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3） ，
，
初中代表队选手成绩比较稳定．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
【变式7-1】．（2023春•雨花区校级期末）在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点
亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队
参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
平均分（分 中位数（分 众数（分 方差（分
七年级 85
八年级 85 85
（1）以上成绩统计分析表如表所示：则表中 ， ， ．
（2）结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）利用方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）七年级6名选手的平均分是： ，众数是80，
八年级6名选手的成绩是：75，80，85，85，90，95，故中位数是 ，
故答案为：85，80，85；
（2） ， ，，
故八年级的决赛成绩较好．
【点评】本题主要考查方差、中位数、众数及平均数，解题的关键是掌握方差、中位数、众数及平均数的
定义及中位数和方差的意义．
【变式7-2】．（2023春•陵城区期末）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、
乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；
平均数 分 中位数 分 方差 分
甲 8.8 ① 0.56
乙 8.8 9 ②
丙 ③ 8 0.96
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数
的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 ，则 0.56．（填“ ”或“ ”
或“ ”
【分析】（1）分别根据中位数，方差和加权平均数的定义计算即可；
（2）根据平均数和方差的意义解答即可；
（3）根据方差的公式解答即可．
【解答】解：（1）甲的中位数为9；
乙的方差为 ；
丙的平均数为 ；故答案为：9；0.96；8.8；
（2）选甲更合适，理由如下：
因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适；
（3）去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为 ，
方差 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式7-3】．（2023春•井研县期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分 10分，学生得分均为整数．在
初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7
（1）以上成绩统计分析表中 ， ， ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能
是 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？
并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是 ，则中位数 ；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数 ．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲乙组学生平均数差不多，而 ，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
【变式7-4】．（2023春•浦北县期末）近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升
学生防范电信网络诈骗安全意识，翰林中学面对八年级共480名同学举行了防范电信网络诈骗安全知识竞
赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
八（2）班15名学生的测试成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班15名学生的测试成绩中， 的成绩：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
班级
八（2）班 1 1 3 4 6
八（3）班 1 2 3 5 4
（1）根据以上信息，可以求出八（2）班成绩的众数为 ，八（3）班成绩的中位数为 ；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的480名
学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈
骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
【分析】（1）根据中位数和众数的意义解答，即可求解；
（2）用480乘以样本中成绩为优秀的学生所占的百分比，即可求解；
（3）先求出八（2）班的平均分与方差，再从平均数和方差的意义分析，即可求解．
【解答】解：（1）在八（2）班成绩中，100出现的次数最多，故众数为100；
八（3）班成绩中，中位数是第8个数，即出现在 这一组中的92，故八（3）班成绩的中位数为
91．
故答案为：100，91；（2）根据题意得： （人 ，
答：估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下：
八（2）班的平均分为 （分
，
方差为 ，
而八（3）班平均分为90分，方差为50.2，
八（2）班的平均分高于八（3）班平均分，且八（2）班方差 八（3）班方差，
八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．
【点评】本题主要考查了求中位数和众数，用样本估计总体，利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、
众数、平均数及方差的定义是解题的关键．
【变式7-5】．（2023春•泌阳县期末）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、
八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的
测试成绩 （单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七八年级测试成绩频数统计表
七年级 3 4 3
八年级 1 7
七八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 90 36.4
八年级 84 84 18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
（3）如果把 的记为“优秀”，把 的记为“合格”，学校规定两项成绩按 计算．通过计算比较哪个年级得分较高？
【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出 ， 的值，
根据中位数定义可求出 ；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）根据加权平均数的定义计算，从而得出答案．
【解答】解：（1） 八年级的10名学生中有8名学生成绩低于90分，
，
根据众数的定义可知： ，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为 ，
故答案为：2，85，84；
（2）八年级好些，
七八年级成绩的平均数相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
所以八年级总体水平较为好些；
（3）七年级得分： ，
八年级得分： ，
七年级得分较高．
【点评】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离
散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【考查题型七】用样本估计总体的思想的应用
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，
我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
【例8】．（2023春•太仓市期末）某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调
查（每位参与调查的学生均要完成两项调查），并对数据进行了收集、整理与描述，形成了如下调查报告：请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有 人，这些学生中选择“跑步”的学生有 人；
（2）估计该校1200名学生中，平均每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数；
（3）请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【分析】（1）用条形图中 组的人数除以扇形图中 组所占的百分比即可求出参与本次抽样调查的学生，
再用调查的学生总数乘以选择“跑步”的学生所占的百分比即可；
（2）用全校学生人数乘以样本中每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数占比即可；
（3）由第一项可知平均每周校外体育锻炼时间 为“ ”的人数最多，“ ”的人数最少，由
第二项可知校外锻炼方式中选择“跳绳”的人数最多，“其他”的人数最少（答案不唯一）．
【解答】解：（1） （人 ，
参与本次抽样调查的学生有200人；
（人 ，
这些学生中选择“跑步”的学生有84人．
故答案为：200，84；
（2） （人 ，
估计全校平均每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数为714人；（3）由第一项可知平均每周校外体育锻炼时间 为“ ”的人数最多，由第二项可知校外锻炼方式
中选择“跳绳”的人数最多．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图、频率分布表，用样本估计总体，正确读懂统计图表是解题
的关键．
【变式8-1】．（2023春•天河区期末）八年级的同学们即将步入初三，某校的一个主题班会小组为了解八
年级900名同学对初三学习的第一印象，用问卷开展随机调查，共有50名同学参加了抽样调查（每人只能
选一项），小组将所得数据统计如图所示，请你帮忙解决问题：
（1）将统计图补充完整；并估计八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数；
（2）结合统计数据，写一条发现的结论，并给出适当的建议．
【分析】（1）用50分别减去其它组人数即可得出“小有压力”的人数，进而补全统计图；利用样本估计
总体的方法，即可求得八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数；
（2）根据调查的统计图即可得出结论．
【解答】解：（1）“小有压力”的人数为 （人 ，
补全统计图如下：（人 ，
答：估计八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数约为324人；
（2）根据统计数据发现：八年级全体同学对初三学习第一印象是“满怀期待”的人数所占百分比为 ，
不到 ，需要对同学们积极引导，消除负面情绪，减轻压力，让更多的同学对初三学习满怀期待（答案不
唯一）．
【点评】本题考查形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式8-2】．（2023春•句容市期末）为了了解2023年某地区4万名高中生、初中生、小学生3分钟跳绳
成绩情况，从这三类学生群体中各抽取了 的学生进行检测．整理样本数据，并结合2019年抽样结果，
得到下列统计图．
（1）本次检测抽取高中生、初中生、小学生共 名，其中初中生 名；
（2）根据抽样的结果，估计2023年该地区4万名学生3分钟跳绳成绩合格的高中生人数为 名；
（3）比较2019年与2023年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．【分析】（1）根据题意和扇形图提供的信息即可解答；
（2）先计算出该地区高中生的总人数，再根据条形图中2023年高中生3分钟跳绳成绩合格率，即可解答；
（3）根据条形图，写出一条即可．
【解答】解：（1）本次检测抽取了高中生、初中生、小学生人数为： 名，
其中初中学生人数为： 名，
故答案为：8000；3200；
（2）本地区高中生人数为 名，
估计2023年该地区4万名学生3分钟跳绳成绩合格的高中生人数为 名，
故答案为：4500；
（3）比较2019年与2023年，2023年某地区初中生3分钟跳绳成绩合格率上升 ，小学生上升 ，
高中生下降 ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．
【变式8-3】．（2023春•忻州期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林
区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树本，测量每棵树的根部横截面积（单位： 和材积量
（单位： ，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根部横截面 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06
积
材积量 0.25 0.40 0.22 0.64 0.61 0.36 0.46 0.42 0.40
（1）估计该林区一棵这种树木平均根部横截面积与平均材积量．
（2）现测量了该林区部分这种树木的根部横截面积，经过测算得到这种树木的根部横截面积总和为
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据估计该林区这种树木的总材积量．
【分析】（1）根据平均数公式分别计算平均根部横截面积与平均材积量即可；
（2）根据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比计算即可．【解答】解：（1）平均根部横截面积为 ，
平均材积量为 ，
（2） ，
答：估计该林区这种树木的总材积量为 ．
【点评】本题主要考查用样本估计总体和平均数，熟练运算是解题的关键．
