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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 10 导数中的隐零点问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性
得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值表达式；
第3步：将零点方程 适当变形，整体代入 最值式子进行化简，要么消除 最值式中的
指对项，要么消除其中的参数项，从而得到 最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至
少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看
到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若 ，求 的取值范围.
解析：（1）切线方程为 ,故切线与坐标轴交点坐标分别为 ,所求三角形面积
为 .
（2）由于 , ，且 . 设 ,则
即 在 上单调递增，当 时， ,∴ ,∴成立.当 时， ， ,∴存在唯一 ，使得
，且当 时 ，当 时 ， ，
，因此
, 故 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.综上所述，实数 的取值范围是
.
【典例2】已知函数 （ ， 为自然对数的底数）， .
（1）若 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
解析：（1） 有两个零点 关于 的方程 有两个相异实根，由 ，知
有两个零点 有两个相异实根.令 ，则 ，
由 得： ，由 得： ， 在 单调递增，在 单调递减，
，又 ， 当 时， ，当 时，
当 时， ， 有两个零点时，实数 的取值范围为 ；
（2）当 时， ， 原命题等价于 对一切 恒成立对一切 恒成立.令
， ，令 ， ，则
， 在 上单增，又 ，
，使 即 ①，当 时， ，当 时， ，
即 在 递减，在 递增，
由①知 ， 函数 在 单调递增，
即 ， ，
实数 的取值范围为 .
【典例3】已知函数 ，且 ．
（1）求 ；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ．
解析：（1） ．
（2）由（1）知 ， ．设 ，则
．当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递减，在
单调递增．又 ， ， ，所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零点 1，且当 时， ；当 时， ；当 时， ．因此
， 所 以 是 的 唯 一 极 大 值 点 ． 由 得 ， 故
．
由 得， ．因为 是 在 的最大值点，由 ， 得
．所以 ．
【题型训练】
1.已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，证明： 有且只有 个零点．
2.已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)设 ，若 ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
3.已知函数 为 的导数.
(1)当 时，求 的最小值；(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
4.已知 ， .
(1)若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求 ;
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
5.已知函数 （ ）， 是 的导数.
（1）当 时，令 ， 为 的导数.证明： 在区间 存在唯一的极小值
点；
（2）已知函数 在 上单调递减，求 的取值范围.
6.已知函数 ， ，
(1)求函数 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围.7.已知函数 ．
(1)讨论函数 零点个数；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
8.已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性
(2)证明： 有唯一极值点t，且 ．
9.已知函数 ．
（1）若 的极小值为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求证： ．
10.已知函数 在 处的切线方程是 ．
(1)求a，b的值；
(2)若对于 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
