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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 24 讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）
题型目录一览
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 = ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的
垂线，垂足为点A.我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a
1
在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ).
二、数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；② ；③ ．
三、数量积的性质设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与 (当且仅当
的关系 时等号成立)
【常用结论】
(1) 在 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲题型 一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.
【详解】 .
故选：D.
【典例2】已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】根据题意可知△ 为直角三角形，△ 为等边三角形，即可求出 的值.
【详解】由 知 是 边中点，
因为 是△ 的外接圆圆心，所以△ 为直角三角形，且 ，因为 ，所以△ 为等边三角形，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，
所以向量 与向量 的夹角为 ，且 ，
所以
.
故选：B
2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量 ， ， （），则 （ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出向量 的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量 ， ， 可得 ，
故 ，故选：B
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则
（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】判断 形状可得 ，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知， 为正三角形，所以 ，所以 .
故选：C
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值
为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
【答案】A【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为 ，且 与 夹角的余弦值为 ，
所以 .
故选：A.
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边 的边长为2，平面内一点 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】 ，
，
.
故选：C.
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形 的边长为2，且 ，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知 ，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，可得 ，
，菱形 的对角线互相垂直，则向量 与向量 的夹角为 ，则 .
故选：D.
7．（2023·全国·模拟预测）在 中，M是 的中点， ，点P在 上且满足 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据向量的加法求出 ，然后求出 ，进而可直接求解.
【详解】因为M是 的中点，所以 ，
又因为点P在 上且满足 ， ，所以 ，
所以 .
故选：A.
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，G是菱形ABCD内
一点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出 ，点G为 的重心，所以 ， ，再
由向量的数量及定义求解即可.【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1， ，
所以 ，
所以 ，则 为等边三角形，因为 ，
所以 ，设点M为BC的中点，则 ，所以 ，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以 ，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为 的重心，故 ，
在等边 中，M为BC的中点，则 ，
所以 .
故选：A
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量 满足 ，且 夹角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的运算律结合数量积的定义，即可求得答案.【详解】由向量 满足 ，且 夹角为 ，
可得
，
故选：B
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中， 与 相交于点
，过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设 ，由 和 可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即
可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则 ，
设 ，则
且 ，
，解得 ，
，
在矩形 中， 为 的中点，所以 ，由 ，
所以 ，
，
故选：D.
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆 为锐角 的外接圆， ，则 的值可能
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用正弦定理表示出R，借助角C表示出所求，根据 为锐角三角形，结合图形可得 范
围，然后可得.
【详解】记圆 的半径为R，则 ，
又 ，所以 .
因为 为锐角三角形，如图，易知 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：BC.
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，点 为线段 的中点， 和
交于点 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】以 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】 四边形 为菱形， ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ， ，B正确；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：ABD.
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的角平分线
交 于点 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得 ，结合平面向量的线性运算求 ；对于C、
D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，
在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，
因为 ， ， 为 的角平分线，
可知 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
故A正确，B错误；
分别取 的中点 ，连接 ，可知 ，
因为 为 的外心，则 ，
，
所以 ，
故C正确；D错误.
故选：AC.三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量 , ,若 ，
则 ______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为 , ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量 ， ， ，若 ，则t＝______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得 ，结合向量数量积的坐标公式计算即可求解.
【详解】由题意知， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
即t的值为 .
故答案为: .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则______．
【答案】9
【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由 及 ， 夹角为 可知 ，
又 ，解得 ，则 ，
故 ，
故答案为：9
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为 的外心，若 ，且 ，则
__________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得 ， ，
故 .
故答案为：
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中， ，则
__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设 与 交于 ，则 且 是线段 的中点，，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形 的边长为1， 为边 的中点， 为
正六边形的中心，则 ______．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积公式进行求解.
【详解】根据题意得， ， ，
故 ．
故答案为：
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一
条直径，则 =___________.
【答案】1
【分析】根据平面向量基本定理并借助圆心和圆内 向量互为相反向量即可求解.【详解】
.
故答案为: 1.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在 中， ， ， ， ，求
_________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出 , ,化简 应用数量积公式计算求解即得.【详解】 ， ， ，
,
,
.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，
则 ______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知 ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知
，同理可得 ，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，，
M为 的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得 ，
.
故答案为： .
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．
(2)|a±b|＝＝．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝．
【典例1】已知 ， 均为单位向量，且 与 夹角为 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求 ，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为 ， 均为单位向量，且 与 夹角为 ，所以 ；
因为 ，所以 .
故选：D.
【典例2】已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合 可求得 ，由此可得 ，进而求得
结果.
【详解】 ， ，
，解得： ，
，解得： .
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量 ， ， ，若 ，
则实数 （ ）．
A．1或 B． 或4
C．0或8 D．0或
【答案】D
【分析】根据向量模的坐标表示求解.
【详解】由题意得， ，
∴ ，解得 或 ．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量 ，求得 ，再结合 ，即可求解.
【详解】由题意，向量 ，可得 ，又由向量 与 的夹角为 ， ，
则 .
故选：D.
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．33
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量模长的计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 .故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】设出向量 ，根据向量的数量积和向量的模的公式，即可求出向量 .
【详解】设 ，因为 ， ，
所以 ①， ②，由①②解得 ， ，
所以 ， .
故选：D.
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ， 的夹角为 ，
，则实数 （ ）A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】对 两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
故选：A.
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 求得m，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为向量 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：C
7．（2023·重庆·校联考三模）在 ABC中， ， 且点D满足 ，则 （ ）
△A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算和题干条件得到 ，从而得到 .
【详解】由题意得 ，平方得 ，
故 ，
因为点D满足 ，所以 ，
平方得 ，
故 .
故选：D
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量 满足 ， ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用向量垂直的条件，即数量积为 ，结合向量的平方即为模的平方，化简整理，计算即可得到
所求值．
【详解】由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
又 ，则 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
综上， ，
故选：C．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ， ，M为线段BC的
中点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得 ，再利用数量积的定义及运算律求解作答.
【详解】在 中，M为线段BC的中点，则有 ，
由 ， ， ，得 ，
所以 .
故选：B
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，若 ，则 ______．【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出 ，即可求出 的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知 为单位向量，且满足 ，则 ______.
【答案】
【分析】将 两边平方可得 ，进而可得 .
【详解】 为单位向量，且满足 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量 ， ，满足 ，则
__________．
【答案】 / 或 / 或
【分析】利用 ，求出 的值，利用平面向量坐标表示建立方程求解即可【详解】因为 ， ，
所以 ，
，
得 ．
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】应用向量 的性质即可列方程组求解.
【详解】由 ，得 ，即 ①．
又由 ，得 ，
即 ，代入①，得 ，
整理，得 ，所以 ．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【分析】利用向量模的坐标形式可求 的最大值.
【详解】 ，所以
当 时， 的最大值为： .故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值是______.
【答案】
【分析】设 ，根据条件 得出点 满足的条件，然后由向量的
模长公式求 的最小值.
【详解】设 ，
则
由 ，则
即点 在以 为焦点，长轴为 的椭圆上
所以 满足
则 ，且
故当 时， 有最小值 ,故答案为：
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法【典例1】已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ， .则向量 与 的夹
角（ ）
A．45° B．60° C．135° D．150°
【答案】C
【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.
【详解】∵ ， ，
∴ .∵ ，
∴ ， ，则 ，
设向量 与 的夹角为 ， 与 反向,则 .
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知 为单位向量，且，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，根据向量数量积定义和运算律可求得 夹角，即为 的夹角.
【详解】 ，
，又 与 同向， ，
， .
故选：C.
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在 中， ， ，D
为AC的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式及向量夹角的范围可得答案.
【详解】 ，
则 ，又 ，则 ．
故选：B．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量 ， 满足 ， ，
，则 ， 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】对 进行平方可得 ，可算出 ，最后利用夹角公式
即可
【详解】依题意， ，解得 ，
故 ，
故 ，
故选：A．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量 是两个单位向量，则“ ”
是“ 为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】由 求出 的范围，进而可得结果.
【详解】因为 为单位向量，所以由 两边平方得 ，
所以得 ，而 ，所以 夹角为0或锐角；
所以“ ”是“ 为锐角”的必要而不充分条件.
故选：B.
5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量 满足
，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，结合向量的夹角公式求解作答.
【详解】由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，整理得 ，
因此 ，而 ，解得 ，
所以向量 的夹角为 .故选：B.
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量 ， 为的夹角为 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义可得 ，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可得： ，
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量 ， 满足 ， ，则 与
的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB【分析】根据题意，将式子两边同时平方，然后相减即可得到 ， ，然后结合向量夹角公
式即可得到 ，从而得到结果.
【详解】因为 ，则 ，且 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，又因为 ，
即 ，设 与 的夹角为 ，则 ，即 ，
且 ，则 ，所以 ，则 与 的夹角可以为 ， .
故选：AB
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角
的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】当 时即可判断A，将 两边平方，得到 ，从而求出 即可判断B选项，利
用向量数量积的运算展开即可判断 的值或范围即可得到C选项，由 得 ，当 即可判
断选项D.
【详解】若 ，则 可能为 ，A选项不是 为钝角的充分条件，
故A不正确，
若 ，两边平方得 ，
即向量 的余弦值为 ，所以 ，
B选项是 为钝角的一个充分条件；故B选项正确，
若 ，则 ，
即向量 的余弦值为 ，所以 且 为钝角，，
C选项是 为钝角的充分条件，
故C选项正确，
若 ，两边平方得 ，当 时满足题意
所以 不一定为钝角，D不是 为钝角的充分条件，
故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量 ， 满足 ，则向量 ，
夹角的余弦值为____________．
【答案】
【分析】利用性质 ，将已知条件转化为数量积求解即可.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量 ， 满足 ，则向
量 与 的夹角为_______________．
【答案】【分析】根据 可得 ，再利用向量数量积定义可求得其夹角为 .
【详解】由 ，可知 ，
解得 ．
设向量 与向量 的夹角为θ，且 ，
则 ，又 ，所以 ．
故答案为：
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若 是夹角为 的两个单位向量，
则 与 的夹角大小为________.
【答案】
【分析】先利用数量积公式求出 ，再求出 ，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】 是夹角为 的两个单位向量，则 ，
，
，
， ，
， .
故答案为：
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量 和 满足： ， ，，则 与 的夹角为__________．
【答案】
【分析】记向量 和 的夹角为 ，将 平方化简即可求出答案.
【详解】记向量 和 的夹角为 ，将 平方得到：
或 ，
又因为 ，即 ．
故答案为： .
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积
的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算规则计算.
【详解】 ，即 ；
故选：D.
【题型训练】一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算，即可计算出答案.
【详解】 ，
又 ，
知 ，
即 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 与 垂直，则 与 的夹
角为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出 的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为 与 垂直，则 ，即 ，化简得 ，
而 ，则 ．又 ，有 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：B
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数 （ ）
A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或
【答案】D
【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.
【详解】
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
故选：D.
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量 的夹角为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，向量 的夹角为 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量 的夹角的余弦值为 ，
， ，则 （ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】C
【分析】可由题意设出 ， ，由 ，根据向量垂直的性质得
，再由向量 的夹角的余弦值为 ，可解得 ，再代入求解即可.
【详解】由题意不妨设 ， ，
则 ， ，
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量 ， ， ，满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D【分析】由 ，可得 ，后结合 与 可得答案.
【详解】由 得 ，所以 ，
即 .因为 ，所以 ，又将 代入 ，整理得 ，
解得 .
故选：D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
，
故选:D.
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量 ， 满足 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 的值.
【详解】依题意可得 ，
即 ，则 .故选：B
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 求得 ，再用倍角公式求 即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 ，
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ，则
, （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到 ，再应用数量积公式及夹角公式计算即可.
【详解】 ， ．
所以 ，又 ， ，
，由 ， ， 均为非零向量，则 ，且 在 到 之间，故 ．
故选:D.
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通
过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【分析】设线段 的中点为 ，推导出 ，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段 的中点为 ，则 、 互为相反向量，
所以， ，
因为 ，即 ，
所以， ，即 ，
即 ，即 ，
所以， 垂直且平分线段 ，
因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必通过 的外心.
故选：D.
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量 ，且 ，则实数 _________．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求 .
【详解】因为向量 ，所以 ，
又 ，
所以 ，得 ，解得 ．
故答案为： .
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， ．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用向量加法、减法和数量积的坐标表示求解即可
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，
，
又 ，
所以
所以 ，
故答案为： .
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量 ， ， ．若
，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据向量垂直、平行列方程，从而求得 的值.
【详解】 ，
由于 、 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若 ，则
______.【答案】
【分析】由 得 ，从而求得 的值.
【详解】因为 ，所以
，
由题易知 ， ，
所以 .
故答案为：
题型 五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量 与 的夹角为 ， ， ， 在 上投影数量为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据向量投影数量的概念计算即可.
【详解】 在 上投影数量为 .
故选：D
【典例2】已知向量 ， ，若 与 反向，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可先求出 的值，从而可得 的坐标，再用投影向量的定义即可求解.【详解】依题意 ， ， ，
所以 ，解得 或 ，
又 与 反向，则 时，向量 与 同向，不合舍去，
故 ，此时 ， ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为
.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量 满足 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用性质 结合已知求出 ，然后可得投影向量.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：D
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A．1 B． C． D．－1【答案】B
【分析】先利用向量数量积的运算求得 ，再利用投影的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，则 ，
故 在 方向上的投影 .
故选：B.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投
影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义可得 ，将数据代入计算，即可得到答案；
【详解】由 ,得 ,
,于是 ,
因此 在 方向上的投影向量为 .
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 在 方向上的
投影为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解.【详解】 .
故选：C.
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量 ，且满足 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 求出 ，再根据投影向量公式可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，得 ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 在 方向
上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，因为两个单位向量 和 的夹角为 ，
所以 ，所以 ， ，
，
故向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：C.
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量 在向量 上的投影向量求出 ，代入 的定义式即可.
【详解】因为向量 在向量 上的投影向量是 ，所以 ,
因此 .
故选：A.
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与非零向量 共线，则
【答案】AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基
本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知 ， ， ，
则 ，因此A正确；
在 方向上的投影向量为
，因此B错误；
与 垂直的单位向量的坐标为
或 ，因此C错误；
因为 ， ，
若向量 与向量 共线，则 ，
解得 ，因此D正确.
故选：AD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则下列命题正确的是
（ ）
A．当且仅当 时， B． 在 上的投影向量为
C．存在θ，使得 D．存在θ，使得【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量的坐标运算判
断C；利用数量积的运算律结合坐标运算判断D作答.
【详解】向量 ， ， ，
对于A， ，A正确；
对于B，因为 ，则 在 上的投影向量为 ，B正确；
对于C， ，假定存在θ，使得 ，则有 ，
而 ，即 不成立，因此不存在θ，使得 ，C错误；
对于D， ，即 ，
则 ，因此存在θ，使得 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 ，则向量 在向量 上的
投影向量为___________.
【答案】
【分析】设 之间的夹角为 ，利用题意得到 ， ，然后用投影向量公式进行求解即
可
【详解】设 之间的夹角为 ，
，又 ，又 ，所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故答案为： .
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则向量
在 方向上的投影为______．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出 ，再结合投影公式，即可求解．
【详解】向量 ， ，由 ，得 ，所以 ，
所以 在 方向上的投影为 ．
故答案为： .
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标
为_________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 向量在 方向的投影向量为 .
故答案为： .
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量 ， 的夹角为60°，向量 在向量 上的投影向量的长度为1， ，则 ______．
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义有 ，得 ，再应用向量数量积运算律求目标向量的
模.
【详解】由题意 ，则 ，
由 ，故 .
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 方向的投
影向量是 ，则向量 与 的夹角是________.
【答案】
【分析】由垂直关系得出 ，由向量 在向量 方向的投影向量得出 ，由两式得出
，进而得出夹角.
【详解】因为 ，所以 ，即 ①.
因为向量 在向量 方向的投影向量是 ，
所以 .所以 ②，
将①代入②得， ，又 ，所以 .故答案为：
题型 六 平面向量的应用策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还
会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为
向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知 中， ， ，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据 即可得 为等腰三角形，又因为 可知 ，所以
为等边三角形.
【详解】如下图所示：
设M为AC中点，则 ，
所以 ，即 为等腰三角形，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，可得 ，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由题设易知 且 、 ，进而判断 最大时 的关系
即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且 ，故 ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 反向共线时 最大，
所以 .
故选：C
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足同向共线，且 ，
，则 （ ）
A．3 B．15 C． 或15 D．3或15
【答案】D【分析】先根据题意确定向量 ， 的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量 ， 满足同向共线，所以设 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 或 ，即 或 .
①当 时， ；
②当 时， ；
所以 的值为3或15.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知| |=2，若点N为正方形内(含边界)
任意一点，则 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】以A为坐标原点建立直角坐标系，用坐标来求解即可.
【详解】以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则 ，设 ，
则 ， ，
，所以 的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到.
故选：C.4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则和公式 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由 ，则 ，即 ，
当 时，可得 ，此时 恒成立，
即充分性成立；
当 对于任意的实数 恒成立时，
可得 ，又 ，
所以 ，即必要性成立，
综上可得，“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的充分必要条件.
故选：C.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中，已知 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，
点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到 ，然后利用向量的运算将 用 表示，
然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量 在向量 上的投影向量为 ，
由题意， ，于是 ，即 .
又 ，
∴ ．
故选：C
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中， 与 相交于点 ，
过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设 ，由 和 可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即
可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：则 ，
设 ，则
且 ，
，解得 ，
，
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ，由 ，
所以 ，
，
故选：D.
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量 ， ， 均为单位向量，且
， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ，根据向量的减法的几何意义，可判定 ， 与构成等边三角形， ， 向量夹角为 ，再化简原式 即可求解.
【详解】由平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ，
根据向量的减法的几何意义，可判定 ， 与 构成等边三角形，
所以 ， 向量夹角为 ，
,
所以当 与 同向时，原式取到最小值 ；
当 与 反向时，原式取到最大值4.
故选：C.
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， 的夹角为锐角，则 且
【答案】AC
【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
选项A： ，所以A正确；
选项B：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以B错误；选项C：因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确；
选项D：因为 ， 的夹角为锐角，且 ，所以 ，解得
，所以D错误.
故选：AC
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线段OA、
OB上的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
【答案】BCD
【分析】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，得 ， ，设 ，则
，求出 ，利用 的范围可判断A；
求出 、 的坐标，由 ，利用 的范围可判断B；设 ，可得
，求出 、 ，由 ，利用 、 、 ，的范围可判断CD.【详解】
以 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以 ， ，
设 ，则 ， ，
，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 的最小值为 ，故A错误；
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
的最小值为 ，故B正确；
设 ，又 ，所以 ，可得 ，
， ，
所以，其中 ，
又 ，所以 ，所以 ， ，
， ，所以 ，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量 ， 不共线， ， ，写出
一个符合条件的向量 的坐标：______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设 ，由平行的坐标表示可得 ，再由数量积的定义可得 ，即可得出答案.
【详解】由题意得 ， ，则 ，设 ，
得 ，且 ，满足条件的向量 的坐标可以为 （答案不唯一或者 ）.
故答案为： （答案不唯一）
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在 中，O为BC的中点，向量 ，
的夹角为 ， ，则线段AC的长度是______.
【答案】
【分析】根据条件可得 ，结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到结果.
【详解】 ，，
.
故答案为: .
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ， 是非零向量， ， ，
向量 在向量 方向上的投影为 ，则 ________.
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∵向量 在向量 方向上的投影为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足 ， ， ，则
__________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.
【详解】.故答案为： .
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中， ，AC
与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则 的最大值为________．
【答案】
【分析】以点A为坐标原点， ， 的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐
标，设 ，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以点A为坐标原点， ， 的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系，则 ， ， ，设 ，
所以 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在 中， ， ， 为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，可得 与 的坐标，设 ，写出 ，再
由三角函数求最值即可．
【详解】由题意不妨设 ， ，
为 所在平面内的动点，且 ， 设 ，
则 ， ，
，
由于 ，所以
的取值范围是
故答案为:
