第十五届华罗庚金杯决赛试题三组总决赛（小学高年级组）答案_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛试题解答 少年三组一试 一、填空题 1. 小兔和小龟从A地到森林游乐园, 小兔上午9点出发, 1分钟向前跳40米, 每跳3分钟就原地玩耍2分钟; 小龟上午6点40分出发, 1分钟爬行只有10米, 但 途中从不休息和玩耍. 已知小龟比小兔早到森林游乐园15 秒, 那么 A地到森林 游乐园有 米. 【答案】2370 米. 【解答】小兔上午9点出发时, 小龟已经爬行了1400 米. 340 小兔平均1 分钟跳动 24（米）, 既然14002410100（分钟）, 32 在 100 分钟时间之内, 因为100520, 小兔实际跳动时间是 60 分钟, 能跳动 2400 米. 自 9 点起, 若经 98 分钟后, 小兔距离 A 地 2400 米, 小龟距离 A 地是 140010982380(米). 2400 大于 2380, 故A地到森林游乐园应小于2400 米. 设小兔跳动时间为59分钟, 则跳动了2360米. 593192, 小龟则爬行了 1405192237（分钟）, 共爬行2370米, 小兔再跳动15秒, 则也跳动了2370 米. 故 A地到森林游乐园有2370 米. 2. 小林做下面的计算: M 37, 其中 M是一个自然数, 要求计算结果是经 四舍五入后保留六位小数. 小林得到的结果是9.684469. 这个结果的整数位是正 确的, 小数各位的数字也没错, 只是次序错了. 则正确的计算结果是 . 【答案】9.648649. 【解答】设 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn M m 9 , m36, 37 37 而 1         0.027, 0.027m0.027360.972, 37 M 所以 是循环节为3 的纯循环小数. 37 设 M A 9 (0 A999) 37 999 0.684469 是7位小数四舍五入的结果, 因此是2个循环节, 它的最后一位是循环 节的第 3位小数加1. 所以, 正确值的排序是0.6  48  . 正确的结果是9.648649. 3. a ,a ,a ,,a 是满足0 a  a  a  a 的自然数, 且 1 2 3 n 1 2 3 n 13 1 1 1 1     , 14 a a a a 1 2 3 n 那么n的最小值是 . 【答案】4. 【解答】因为 13 1 6 3 1     , 14 2 14 7 3 13 1 1 3 1 2 1       , 14 2 3 7 3 21 11 13 1 1 1 2 1 1       , 14 2 3 11 21 11 231 所以n的最小值<5. 若n2, 则 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 13 1 1 13 2 28   , p q 1,  ,q  3. 14 p q 14 q 13 1 13 1 6 所以, q 2并且    , p 不是整数. p 14 2 14 若n3, 则 13 1 1 1 13 3 42    , p q r 1,  ,r  4. 14 p q r 14 r 13 所以, r 2或r 3. 如果r 2, 1 1 1 3 2     , 3q4. q p q 7 q 不难验证, q 为3 或 4时, p 都不是整数. 如果r 3, 1 1 1 25 2     , 2q3. q p q 42 q 但是, 3r q, 所以r 3. 综合上述讨论, n的最小值是4. 13 【注】将 分成4 个不同的自然数的倒数之和的分法不惟一, 另外还有 14 (a ,a ,a ,a )(2,3,12,84);(2,3,14,42);(2,3,15,35);(2,4,6,84);(2,4,7,28). 1 2 3 4 二、解答题 4. 蓝精灵王国的A、B两地的距离等于2010 米, 国王每分钟派一名信使从 A地向 B地送信. 第 1号信使的速度是1米/分, 以后的每名信使的速度都比前一 名每分钟快1米, 直到派出第2010 号信使为止. 问哪些信使能同时到达B地？ 【解答】设第m号与第n号送信使(m n)可以同时到达B点. 则它们的速度 2010 2010 分别是m米/分和n米/分. 走完全程的时间分别为 分和 分, 因为第m m n “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 号送信精灵比第n号送信精灵行路中应多用nm分, 所以成立等式 2010 2010  nm. m n 由此得 mn2010123567. 所以同时到达B地的送信精灵的号数为 (1, 2010), (2, 1005), (3, 670), (5, 402), (6,335), (10,201), (15,134), (30,67), 共8 对. 5. 如图A-53, 在直角三角形ABC中, ABC 90, AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', 且三对平行线的距离 都是1, 若AC 10, AB 8, BC 6, 求三角形A'B'C'上 的点到三角形ABC三边的距离和的最大值. 【答案】A'. 图A-53 【解答】设 ABC中的任意一点P 到边AC, AB, BC 的距离分别为 h , h , 1 2 h , 则 3 2倍ABC的面积 = 48 =h ACh ABh BC 1 2 3 =BC(h h h )h (ACBC)h (ABBC) 1 2 3 1 2 所以 48h (ACBC)h (ABBC) h h h  1 2 . 1 2 3 BC 只有当P点在A'的位置时, h 和h 都有最小值1. 所以当P点在A'B'C'中时, 有 1 2 48(10826) h h h  7. 1 2 3 6 6. 13 个不同的自然数的和是996, 且这些数的各位数码之和都彼此相等. 求 这13 个数. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150. 【解答】设这 13个数是 9a r, 1i13. 则 i 13 13 (9a r)9969a 13r 6(mod9). i i i1 i1 所以 4r 6(mod9), 2r 3(mod9), r 6. 13 13 9a 996136918, a 102. i i i1 i1 9a 6的数码和为 S(9a 6) 9k6. i i 当k 1时, S(9a 6)15, 9a 669, a 7. 进而 i i i 13 (9a 6)9(7819)6131599996. i i1 所以 k 0. 当 9a 的个位数大于0小于4, 9a 6的个位数大于等于6时, S(9a 6) 6. i i i 所以9a 的个位数大于等于4. 于是 i a 0, a 1, a  2, a 3, a  4, a 5, a  6, 1 2 3 4 5 6 7 a 11, a 12, a 13, a 14, a 15, a 16. 8 9 10 11 12 13 13 13 (9a 6) 9a 6139(2181)78996. i i i1 i1 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888