第十五届华罗庚金杯初赛试题A（小学高年级组）答案_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题解答（小学组） 一、选择题 1. 如图 A-1 所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形, 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ). 1 2 2 5 （A） （B） （C） （D） 2 3 5 12 图 A-1 【答案】A. 【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行 1 四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的 . 2 2. 两条纸带, 较长的一条为 23cm, 较短的一条为 15cm. 把两条纸带剪下同 样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长 度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm. (A) 6 （B）7 （C）8 （D）9 【答案】B. 【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有： 23x2(15x), 解得x7. 因此, 剪下的长度至少为7 cm. 3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一 个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个 水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那 么每个水池内有金鱼 ( ) 条. (A) 112 （B）168 （C）224 （D）336 【答案】B.【解答】 解法 1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼 5 3 33(  ) 168（条）. 53 43 解法 2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n条, 则红红第一次捞 3n33 5 到4n条, 依题意, 有  , 解得 n=24, 因此水池内共有金鱼7n=168 条. 4n33 3 1 1 1 1 1 6 4. 从 , , , , 中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与 最接近, 去 2 3 4 5 6 7 掉的两个数是 ( ). 1 1 1 1 1 1 1 1 （A） , （B） , （C） , （D） , 2 5 2 6 3 5 3 4 【答案】D. 【解答】通分 1 210 1 140 1 105 1 84 1 70 6 360 = , = , = , = , = , = . 2 420 3 420 4 420 5 420 6 420 7 420 显然, 210+84+70=364 最接近360. 5. 恰有20 个因数的最小自然数是 ( ). (A) 120 （B）240 （C）360 （D）432 【答案】B. 【解答】因为 20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有 20 个因数的自然数是3 与9 个 2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3 个 3与 4 个2 的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与 4 个2 的乘积, 即: 3 ×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240. 6. 如图 A-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正 方形铺成, B, C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点 A, 使得△ABC的面积恰等于 3 平方厘米, 则这样的 A 点共有 ( ) 个. 图A-2（A）6 （B）5 （C）8 （D）10 【答案】C. 【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为 第1、第 2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右 判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1 条水平线上没有格点符合要求, 第 2 条水平线上仅有A 7 符合要求. 如图 A-3 所示, 类似可以得到格点 A ,A ,A 2 1 6 符合要求, 对称地, 可以得到 A ,A ,A ,A 符合要求. 故 5 4 3 8 图 A-3 答案是 C. 二、填空题 2 1 20.3 7 7. 算式  的值为 . 1 1.30.4 0.253 4 8 【答案】1 . 21 2 5 3 1 7 20.3 7 5 5 2 8 【解答】  =  = + =1 . 1 1.30.4 1 3 9 7 3 21 0.253  4 4 4 10 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1 公顷落叶阔叶林每年可吸 收二氧化碳 14 吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26℃基础上调到 27℃, 相应每年减排二氧化碳 21 千克. 某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落叶阔叶 林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数) 【答案】556. 【解答】 25000141000（213）5555555.6. 9. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未 被选中的数字是 . 【答案】6. 【解答】由于和为 2010 所以四位数首位只能为 1, 设四位数、三位数、两 位数分别为1abc, def, gh. 设没有被选的数字为x, 那么 100(ad)10(beg)(c f h)1010 . 两 边 同 时 减 去 abcd e f gh , 由 于 abcd e f gh1x45, 则 99(ad)9(beg)966x. 两边都可以被9 整除, 因此x6. 事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010. 【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为1abc, def, gh, 既 然他们的和是 2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进 位的数目至少是 3, 设为 k. 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k＝3 ＋9k, 由于012 945, 故有： 33 42 3639k 45, 3 k  5, 9 9 所以k 4, 三个整数1abc, def, gh的数字和是39k 39, 因此没有被选的数字 为6. 2) 可以询问：有多少不同的 {1abc, def, gh} 满足它们的和是2010 呢？ 从 条 件 可 知 ： c f h20 或 c f h10 . 如 果 c f h20 , 则 beg 19, 否则c f hbeg 39, 这是不可能的；当c f h10时,beg 9 , 否 则 c f hbeg9937 , 也 是 不 可 能 的 , 因 为 abcde f gh38. 故有 c f h20 (1)  beg 9 (2)  ad 9 (3)  用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2) 的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8 个数字a,b,c,d,e, f,g,h所取的数字各不相同, 并且 d 0,g 0故有 1. c, f,h{3,8,9}, b,e,g0,2,7,a,d4,5, 有不同的642=48 组解； 2. c, f,h{3,8,9}, b,e,g0,4,5,a,d2,7, 有不同的642=48 组解； 3. c, f,h5,7,8,b,e,g2,3,4,a,d0,9 , 有不同的 661=36 组解, 即当c f h20时共有132 组解. 类似, （1）和（2）交换, 此时ad 8,有 108 组解答. 因此, 共有 240 组答案. 10. 图 A-4 是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关, 可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米, 大圈轨道 的周长是3 米. 开始时, A 连接 C, 火车从A 点出发, 按照 顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔1分钟变换 图 A-4 一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米, 则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟. 【答案】 2.1.【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时1.5100.15分钟, 在大圈火 车行驶一圈用时3100.3分钟. 设回到A 点时用时为t分钟, 这样我们有下表： 回到 A 的次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数 回到 A 点时 0.3 0.6 0.9 1.2 1.35 1.5 1.65 1.8 1.95 2.1 用时 经过的轨道 AC AC AC AB AB AB AB AB AB AC 下面我们给出一个一般的解答. 设玩具火车绕小圈轨道 m 圈, 绕大圈轨道 n 圈, 则玩具火车运动路程是 1.5m3n 1.5m3n S 1.5m3n, 时间是 . 如果 是偶数, 则变轨开关 AC 连通,   10  10  1.5m3n 如果 是奇数, 则变轨开关AC 连通.    10  1.5m3n 我们寻找最小的mn, 使 是偶数. 无妨设 10 1.5m3n10K, 或3m6n20K, 这里K是偶数, 并且有3为约数, 是玩具火车运动的时间, 因此最小的K 是6. 即 求m和n使 m2n40. 3n 当n＝3, 0, 故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈, 时间是   10 12 7.512 912 1.2（分钟）；当n＝4, m＝5 时, 1, 2, 故玩具火车     10  10   10  1.5m3n 1.5634 绕小圈轨道6之后再次进入大圈轨道, 此时 ＝ 2.1（分钟） 10 10 （可以称为一个拟循环） 将 玩 具 火 车 再 次 进 入 大 圈 运 行 , 运 行 圈 数 记 为 n . n ＝ 3 时, 2 21.5637 3（分钟）, 玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为m , 既 10 2 1.57 1.56 然 1 , 故玩具火车绕小圈运行 7 圈后, 应再次进入大圈运行, 此 10 10 1.5m3n 1.51337 时  4.05（分钟）. 10 10 将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为n . 既然 3 1.513311 1.513310 5 , 10 10 故玩具火车绕大圈运行4圈后, 应再次进入小圈运行, 此时 1.5m3n 1.513311  5.25（分钟）, 10 10 则玩具火车绕大圈运行5圈后, 1.5m3n 1.518311  6(分钟). 10 10 结论玩具火车第29 次回到 A 时, 变轨开关AC 连通, 即回到原始状态.