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热点题型·计算题攻略
专题 18 电磁感应综合题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 电磁感应中的动力学与能量问题...............................................................................................1
题组02 动量定理在电磁感应中的应用...............................................................................................17
题组03 动量守恒定律在电磁感应中的应用.......................................................................................30
03.高考练场 ..............................................................................45
电磁感应作为历年高考物理必考考点，足见其重要性。而电磁感应最重要的难点归根结底就是“谁”是
电源,只要明白了这个问题即可将电磁感应研究清楚。考题多以电磁感应中“导轨”上的单棒、双棒、线宽
运动的分析来设计学习探索问题情境,涉及的必备知识包括安培力、电路特点、力与运动、动量以及能量的
转化。主要考查学生理解能力、模型建构能力、推理论证能力以及学科素养中的科学思维,突出考查基础性、
综合性特点。为了有效地备战2025年高考,本专题结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律等知识,深
入研究电磁感应中的综合问题,以期为广大师生尽一份绵薄之力。
题组 01 电磁感应中的动力学与能量问题
【提分秘籍】
1．电磁感应综合问题的解题思路2．求解焦耳热Q的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况；
(2)功能关系：Q＝W (W 为克服安培力做的功)；
克安 克安
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量)。
【典例剖析】
【例1-1】（2025高三上·天津南开·期末）如图甲所示，固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成
倾斜放置，其电阻不计，导轨间距 ，导轨顶端与电阻 相连。垂直导轨水平放置一
根质量 、电阻 的导体棒ab，ab距导轨顶端 ，距导轨底端距离为 （未知）。在
装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的匀强磁场，其磁感应强度B和时间t的函数关系如图乙所示。0～
2s内，导体棒在外力作用下保持静止；2s后由静止释放导体棒，导体棒滑到导轨底部的过程，通过导体棒
横截面的电荷量 。导体棒始终与导轨垂直并接触良好，且导体棒滑到底部前已经做匀速运动，重
力加速度 ， 。求：
(1)0～2s内通过导体棒的电流 的大小和方向；
(2)导体棒滑到底部前的最大速度 ；
(3)导体棒由静止开始下滑到导轨底部的过程，电阻R上产生的焦耳热Q 。
R
【例1-2】（2025高三·河南郑州·阶段练习）如图所示，两根间距L = 1 m、足够长光滑平行导轨与水平面
夹角为θ = 30°，导轨上端用一单刀双掷开关分别连接阻值R = 1 Ω的电阻和电容C = 0.1 F的电容器，整个
装置处于磁感应强度大小B = 0.2 T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。在导轨上垂直于导轨放置一质量m = 0.016 kg的导体棒ab，并将其锁定在图示位置。将单刀双掷开关掷到1，并解除对导体棒的锁定，
导体棒由静止开始向下运动，重力加速度g取10 m/s2，导轨和导体棒电阻均不计，求：
(1)导体棒获得的最大速度；
(2)若将单刀双掷开关掷到2，并解除锁定，导体棒获得（1）中同样的速度所用的时间。
【例1-3】（2025高三·河南南阳·期中）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角
，间距 ，在导轨之间接有阻值 的定值电阻.质量 、电阻 的金属杆 由
跨过光滑定滑轮的轻绳与质量 的重物 相连，磁感应强度大小为 的匀强磁场与导轨平面
垂直。开始时金属杆 置于导轨下端紧靠电阻 处，将重物P和金属杆 由静止释放，金属杆 运动到
点（图中未画出）过程中，通过电阻 的电荷量 ，此时重物 已经开始匀速下降，运动过程中金
属杆 始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度 取 ，求：
(1)重物P匀速下降的速度 ；
(2)金属杆 从释放到运动到 点的过程中，定值电阻 中产生的焦耳热 ；
(3)若金属杆到达 点后，磁感应强度开始发生变化（此时为 时刻），致使回路中电流为零。试写出磁
感应强度 随时间 变化的关系式。
【例1-4】（2024·广西·模拟预测）2024年6月2日6时9分，嫦娥六号着陆器在鹊桥二号中继卫星支持下，
开始实施动力下降，7500 N变推力主发动机开机，着陆器接触地面前经过喷火反冲减速后关闭主发动机，
此时的速度为v，这一速度仍大于软着陆设计速度v，为此科学家设计了一种电磁阻尼缓冲装置，其原理
1 2
如图所示：主要部件为缓冲滑块K及固定在绝缘光滑缓冲轨道MN和PQ上的着陆器主体，着陆器主体中还
有超导线圈（图中未画出），能在两轨道间产生垂直于导轨平面的匀强磁场B，导轨内的缓冲滑块由高强
度绝缘材料制成，滑块K上绕有n匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为r，ab边长为L，当着陆器接触地面
时，滑块K立即停止运动，此后线圈与轨道间的磁场发生作用，使着陆器主体持续做减速运动，从而实现缓冲。已知着陆器主体及轨道的质量为m，缓冲滑块（含线圈）K的质量为M，重力加速度为g，不考虑运
动磁场产生的电场，求：
(1)缓冲滑块刚落地时着陆器主体的加速度大小；
(2)达到着陆器软着陆要求的设计速度v 时，地面对缓冲滑块K支持力的大小；
2
(3)着陆器主体可以实现软着陆，若从v 减速到v 的缓冲过程中，通过线圈的电荷量为q，求该过程中线圈
1 2
中产生的焦耳热Q。
【例1-5】如图甲，线框cdef位于倾斜角 的斜面上，斜面上有一长度为D的矩形磁场区域，磁场方
向垂直于斜面向上，大小为0.4T，已知线框边长 ，质量 ，总电阻 ，现对
线框施加一沿斜面向上的力F使之运动，ed边离开磁场后撤去F。斜面上动擦因数 ，线框速度随时
间变化如图乙所示，重力加速度g取 。
(1)求外力F大小；
(2)求cf长度L；
(3)求回路产生的焦耳热Q。
【变式演练】
【变式1-1】．如图所示，平行且光滑的金属导轨 相距为 ，在 点和 点间接一个阻值为
的电阻，两导轨间存在方向垂直导轨平面向下的矩形匀强磁场区域，磁场的宽度为 ，磁感应强
度大小为 ，一个质量为 、电阻为 的导体棒 垂直于导轨放置，导体棒长为 。
现从与磁场的左边界相距为 的位置开始用一个大小为 、方向水平向右的恒力拉导体棒，使
之由静止开始运动，已知导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻不计。(1)如果磁场的宽度 足够大，导体棒在磁场中运动的最终速度为多大？
(2)如果磁场的宽度 ，导体棒离开磁场右边界时的速度为 ，求导体棒从开始运动到离开磁场
右边界经历的时间以及导体棒通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能。
【变式1-2】．如图所示为倾角θ=30°的光滑绝缘斜面，水平虚线1、2间存在垂直斜面向上的匀强磁场，
水平虚线2、3间存在垂直斜面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B，且两虚线之间的距离均
为d。质量m=0.4kg、边长d=1.0m、阻值R=2.0Ω的正方形线框由虚线1上方静止释放，正方形线框的ab边
与虚线1平行，ab边到虚线1的距离L=1.6m，正方形线框的ab边越过虚线1瞬间刚好匀速，经过一段时
间，线框在虚线23间恰好再次匀速，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)线框的ab边从虚线1到虚线2过程通过线框横截面的电荷量；
(3)线框从开始释放至ab边到达虚线3过程产生的焦耳热。
【变式1-3】．（2024·云南大理·一模）某研学小组设计了一套电气制动装置，其简化模型如图所示。在车
身下方固定一单匝矩形导线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的总质量为
m，车身长为s，线框的短边 和 分别安装在车头和车尾，长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框
的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长（大于车长s），磁感应强度的大小为B，方向竖直向上，
若 边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时列车的速度为 边进入磁场瞬间，列车恰好停止，假设列
车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。求：
(1)线框 边进入磁场瞬间，产生的感应电流大小和列车加速度的大小；
(2)线框从进入磁场到停止的过程中产生的焦耳热Q；
(3)线框从进入磁场到停止的过程中通过其横截面的电荷量q。【变式1-3】（2025高三上·河南·阶段练习）如图所示，两根相距 的足够长的平行金属导轨倾斜放置，
导轨与水平面成37°，两导轨顶端通过导线连接电源、开关和阻值 的电阻。初始时开关S断开，质
量分别为 、 的金属细杆ab、cd垂直于导轨放置，导轨的上下两部分通过M、N两处的
绝缘小块相连，MN连线与导轨垂直，两导轨处于大小为 、垂直导轨平面向上的匀强磁场中，金
属细杆ab、cd的电阻分别为 ，两杆与导轨的动摩擦因数均为 ，初始时两金属杆
均静止，闭合开关S，ab杆开始向下运动，ab杆运动到MN时已经匀速，已知电源的电动势 ，内
阻 。重力加速度 。求：
(1)金属杆ab运动到MN处时的速度大小；
(2)金属杆ab从静止运动到MN处过程中，通过ab杆上的电荷量；
(3)ab杆在导轨上运动时产生的焦耳热（忽略电磁辐射）。
【变式1-5】如图所示，某光滑金属导轨由水平平行轨道和竖直 圆周轨道组成，水平平行轨道MN、ST相
距L＝0.5m，轨道左端用阻值R＝3Ω的电阻相连。水平轨道的某段区域有竖直向上、磁感应强度B＝4T的
匀强磁场。光滑金属杆ab的质量m＝0.2kg、电阻r＝2Ω，金属杆以v＝5m/s的初速度沿水平导轨从左端冲
入磁场，离开磁场后沿竖直圆周轨道上升的最大高度H＝0.2m。设金属杆ab与轨道接触良好，并始终与导
轨垂直，导轨电阻忽略不计，且不考虑ab的返回情况，取 。求：
(1)金属杆刚进入磁场时，通过金属杆的电流大小和方向；
(2)金属杆ab产生的焦耳热；
(3)磁场区域的长度。
题组 02 动量定理在电磁感应中的应用
【提分秘籍】
在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若运用牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理
巧妙解决问题求解的物理量 应用示例
电荷量或速度 －BLΔt＝mv－mv，q＝Δt，即－BqL＝mv－mv
2 1 2 1
－＝0－mv，
0
位移
即－＝0－mv
0
－BLΔt＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
，
即－BLq＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
，
已知电荷量q、F (F 为恒力)
其他 其他
时间
－＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
，
即－＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
，
已知位移x、F (F 为恒力)
其他 其他
【典例剖析】
【例2-1】（2024·河北·模拟预测）如图所示，质量 的 形框 放置在光滑绝缘的水平地面上，
已知 段的长度为 ， 、 的长度为 ， 、 、 、 分别是 、 、 和 的中
点， 段的电阻为 ，其余部分电阻忽略不计。在 区域存在竖直向下、磁感应强度大小可变
的匀强磁场 ，磁场位置不随 形框移动。质量 、电阻不计的导体棒放置在 处，导体棒的长
度比 形框的宽度 略长，若给导体棒水平向右的初速度，当其运动到磁场左边界时，恰与 形框速度相
同。已知导体棒与 形框之间的动摩擦因数为 ，取重力加速度 。
(1)求导体棒初速度 的大小；
(2)若要使导体棒和 形框在磁场中运动时始终保持相对静止，求磁感应强度的最大值 ；
(3)若将磁感应强度 的大小调整为第（2）问中 的 ，判断导体棒最终是否静止，若静止，求导体棒
最终离磁场左边界的距离；若不能静止，求导体棒的最终速度。
【例2-2】如图所示，相距 的平行金属导轨，左侧部分水平，分布着竖直向上的匀强磁场，右侧部
分倾斜，倾角为 ，倾斜导轨上的 、 两点处各有一小段绝缘导轨（长度可忽略不计），在 连线
到 连线之间分布着垂直导轨向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ，倾斜导轨上端 、 之
间接有阻值为 的电阻，其余导轨电阻不计，水平与倾斜导轨连接处平滑过渡。金属棒1与2的质量
都为 ，有效接入导轨间的长度都为 ，电阻都为 。金属棒1从 连线上方 处由
静止释放， 与 之间距离 与 之间距离 与 之间棒与导轨间的动摩擦因数为，其余部分导轨均光滑，金属棒2初始静止，到 距离为 。金属棒1进入磁场后，在运
动到 前已达到稳定速度，在运动到 前已再次达到稳定速度。运动过程中，两棒与导轨接触良好，且
始终与导轨垂直，不计金属棒经过 时的能量损失，若两棒相碰则发生弹性碰撞。（已知
，重力加速度 取 ）求：
(1)金属棒1运动到 前达到的稳定速度 的大小；
(2)金属棒1运动到 时，金属棒2的速度大小；
(3)最终稳定时金属棒1所在位置，以及全过程金属棒1产生的焦耳热。
【例2-3】如图所示，倾角为 、绝缘、光滑、无限长的斜面上相距为 的水平虚线MN、PQ间有垂直
斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，“日”字形闭合导体线框沿斜面放置，ab边平行于PQ边，
线框宽ab为L，cd到MN的距离为 ，将金属框由静止释放，cd边和ef边都恰好匀速通过磁场。已知
ab、cd、ef边的电阻分别为R、R、3R，其它部分电阻不计，运动中线框平面始终与磁场垂直，ab边始终
平行PQ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)cd边和ef边通过磁场的速度大小之比；
(2)cd边刚进入磁场到ef边刚离开磁场的过程，重力的冲量大小；
(3)整个线框穿过磁场过程中，ab段电阻中产生的焦耳热。
【例2-4】如图所示，导体棒a、b水平放置于足够长的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部分的间距分别为l和2l，导体棒a、b的质量分别为m和2m，接入电路的电阻分别为R和2R，其余部分电阻均忽略不计。
导体棒a、b均处于方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，a、b两导体棒均以v 的初速度同
0
时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，导体棒a始终在窄轨上运动，
导体棒b始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。求：
(1)导体棒中的最大电流；
(2)稳定时导体棒a和b的速度；
(3)电路中产生的焦耳热及该过程中流过导体棒a某一横截面的电荷量。
【变式演练】
【变式2-1】一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为 ，置于光滑的绝缘水平桌面（纸
面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，
如图所示。现在使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁
场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求：
(1)此过程中流过线圈的电荷量q是多少？
(2)金属框的初速度大小。
【变式2-2】．某游乐设施主体结构如图甲所示为一绝缘的弯曲轨道与略微倾斜的直轨道组成，弯曲轨道
与直轨道在B处相切。一绝缘材料做成的小车从弯曲轨道顶端A点自由滑下，A点与B点的竖直高度差为
h。如图乙所示，小车车厢底板内有一组平放的匝数为n匝，电阻为R的矩形铜线圈，线圈长宽分别为
和 ，其短边与轨道垂直。小车包含游客的总质量为M。小车滑至B处时，速度为 ，
小车滑上倾斜直轨道时，能够自由匀速下滑。小车在直轨道的C处开始穿过一隧道，在隧道的顶部和底部
每隔 放置一对正对着的强磁体，每组磁体产生的磁场区域可近似认为是长为 ，略宽于 的矩形，磁感
应强度相同且大小等于B。小车在AB轨道上运动时可视为质点。求：(1)小车从A处静止滑至B处的过程中，小车克服阻力所做的功。
(2)小车内的线圈刚进入第一组强磁体产生的磁场时小车的加速度。
(3)小车线圈前端最终静止时的位置距离C点的距离。
【变式2-3】．一边长为L、质量为m的正方形金属细框，金属框的总电阻为R，置于光滑的绝缘水平桌面
（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边
界，如图所示。使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁
场边界平行，求：
（1）金属框进入磁场区域的过程中流过回路的电荷量；
（2）假设金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为初速度的 ，金属框的初速度大小。
【变式2-4】（2025高三上·陕西·开学考试）如图，间距为L的平行光滑金属轨道 与 由倾斜和水
平两部分平滑连接而成， 且 ，倾斜轨道的倾角为 ，水平轨道足够长，轨道电阻不计。
倾斜部分处于垂直轨道向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小为B。已知金属细棒 的质量均为m、电
阻均为R、长度均为L。现将a棒从高度为h的 位置由静止释放，当a棒到达 时，立即将b棒也从
位置由静止释放，当b棒到达 时速度大小为 ，此时在水平轨道部分加竖直向下的匀强磁场。运动
过程中金属细棒始终与 下平行且与轨道接触良好，重力加速度为g。求：
(1)b棒在倾斜轨道加速至速度 时，其加速度大小；
(2)b棒到达 处时 棒之间的距离；
(3)若b棒到达 处时 棒间距离用 表示，再经 时间a棒继续向左运动距离为 ，此时 棒之间
的距离。题组 03 动量守恒定律在电磁感应中的应用
【提分秘籍】
双杆模型
“一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问
物理 题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
模型 两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相
加还是相减；系统动量是否守恒
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个
动力学观点 金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速
分析 度匀速运动
方法 能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所
动量观点
受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
【典例剖析】
【例3-1】如图所示为两条间距为d的固定光滑金属导轨，其中 部分为半径为 的四分之一圆弧轨
道， 部分为足够长水平直轨道，水平轨道位于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 。现
将质量为 、电阻为 的金属棒S静置于距 足够远的水平轨道上，将与其完全相同的金属棒 由 处
静止释放，一段时间后，金属棒 运动到水平轨道上。在运动过程中，两棒始终与导轨垂直且保持良好接
触，除金属棒电阻之外其他电阻不计，已知重力加速度为 。求：
(1)金属棒 运动至圆弧轨道最底端 处时的速度 和金属棒 对轨道的压力大小；
(2)金属棒 刚进入水平轨道时，通过金属棒S的电流大小；
(3)从金属棒 进入水平轨道到两棒运动稳定的共同速度v；
(4)从金属棒 进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中金属棒S产生的热量。
【例3-2】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨，间距为 ，导轨右侧固定一绝缘竖直挡板。导轨上
面横放着两根导体棒 和 ，棒 距离挡板为 ，导体棒 质量均为 ，电阻均为 ，其余部分电阻不计，导轨平面有竖直向上、磁感应强度为 的匀强磁场。当棒 以初速度 从导轨左端开始
向右运动，棒 也开始向右运动，至挡板时两棒共速，棒 碰撞挡板后立即以原速大小弹回，已知在
运动过程中两棒始终没相碰。忽略回路电流对磁场产生的影响，棒与导轨接触良好。求：
(1)棒 刚开始运动时，回路产生的电流；
(2)从开始到两棒共速系统产生的焦耳热；
(3)棒 开始运动到停止的位移。
【例3-3】（2025高三上·陕西·期中）如图，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处
于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为
R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中
点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至
停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求
(1)导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN所受的安培力大小；
(2)弹簧释放的整个过程中，流过导体棒MN的电流方向及通过导体棒PQ的电荷量；
(3)弹簧释放的整个过程中，通过导体棒PQ产生的热量。
【例3-4】（2024·浙江金华·一模）如图所示，倾角为θ=53°的金属导轨MN和 的上端有一个单刀双掷
开关K，当开关与1连接时，导轨与匝数n=100匝、横截面积S=0.04m2的圆形金属线圈相连，线圈总电阻
r=0.2Ω，整个线圈内存在垂直线圈平面的匀强磁场B 且磁场随时间均匀变化。当开关与2连接时，导轨与
0
一个阻值为R=0.3Ω的电阻相连。水平轨道的 至 间是绝缘带，其它部分导电良好，最右端串接一
1
定值电阻R=0.2Ω。两轨道长度均足够长，宽度均为L=1m，在 处平滑连接。导轨MN和 的平面内
2
有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2T；整个水平轨道上有方向竖直向上，磁感应强度大小
1
为B=1T的匀强磁场。现开关与1连接时，一根长度为L的导体棒a恰好静止在倾斜导轨上；某时刻把开
2
关迅速拨到2，最后a棒能在倾斜轨道上匀速下滑。导体棒b一开始被锁定（锁定装置未画出），且到
位置的水平距离为d=0.24m。棒a与棒b的质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.2Ω，所有导轨均光滑且阻值不
计。求：(1)求圆形线圈内磁场随时间的变化率 ；
(2)棒a滑至 时的速度大小v；
1
(3)棒a与棒b碰撞前，棒a的速度大小v；
2
(4)棒a与棒b碰撞前瞬间，立即解除对棒b的锁定，两棒碰后粘连在一起。从棒a进入水平轨道，至两棒
运动到最终状态，定值电阻R 上产生的焦耳热Q是多少。
2
【变式演练】
【变式3-1】如图所示，光滑的平行金属导轨固定在水平面内，间距 。匀强磁场区域宽度 ，
，金属棒 质量 ，阻值 以 的初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场
区域后，与另一根质量 ，阻值 的原来静置在导轨上的金属棒 发生弹性碰撞，两金属棒
始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。
(1)求金属棒 刚进入磁场时棒 两端的电压 ；
(2)求金属棒 第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒 中产生的热量 ；
(3)通过计算判断金属棒 能否再次穿过磁场区域，若不能，求出金属棒到磁场右边界的距离。
【变式3-2】．如图所示，两根光滑平行金属长导轨MN、PQ固定在绝缘水平面上，其间距为L，两导轨
间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。两根长度均为L的金属棒ab、cd放置在导轨上，ab
棒质量为m，电阻为R，cd棒质量为2m，电阻为2R。 时刻，cd棒获得一水平向右、大小为 的初速
度， 时刻ab棒刚好达到最大速度。已知金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略
不计。求：(1) 时刻，ab棒加速度的大小；
(2) 时间段内ab棒上产生的焦耳热Q；
(3) 时间段内，通过ab棒的电荷量q。
【变式3-3】．间距为l的平行光滑金属导轨MN、PQ水平段处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强
度的大小为B，导轨的弯曲段处在磁场之外，如图甲所示。导体棒a与b接入电路的有效电阻分别为R、
2R。导体棒a的质量为m，b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弯曲段导轨上距水平段某一高度处由静
止释放，刚进入磁场时导体棒a受到的安培力的大小为F，以导体棒a刚进入磁场时为计时起点，导体棒a
的速度随时间变化的v－t图像如图乙所示（v 未知），运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂
0
直，不计导轨电阻，重力加速度大小为g。求：
(1)导体棒a释放时距导轨水平段的高度h；
(2)导体棒b在0~t 这段时间内产生的内能。
2
【变式3-4】．（2024·广东茂名·模拟预测）如图所示，两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距为
。导轨平面与水平面成 角，质量均为 、阻值均为 、长度均为 的金
属棒 、 紧挨着放在两导轨上，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
。现固定金属棒 ，将金属棒 由静止释放，经过一段时间开始匀速下滑，已知运动过程中金属
棒与导轨始终垂直并保持良好接触，重力加速度为 求：
(1)金属棒 匀速下滑时的速度大小；
(2)已知从金属棒 释放至速度达到最大速度一半的过程中，通过金属棒 的电荷量为6C，求该过程中金属棒 产生的焦耳热 （计算结果保留一位小数）；
(3)若金属棒 不固定，将金属棒 由静止释放的同时、给金属棒 平行于导轨向上的恒力 ，求金
属棒 匀速运动时的速度大小。
【变式3-5】．如图所示，倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，平行导轨间的距离为
L，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现
给导体棒ab一沿导轨平面向下的初速度v 使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻均为R，
0
两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.75，导轨电阻忽略不计，从ab开始运动到两棒相对静止的整个
运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触。
(1)求两根导体棒最终的速度；
(2)整个过程中回路产生的焦耳热Q；
(3)若导体棒ab运动之前，两根导体棒相距的距离为L，要保证运动过程中两根导体棒不相撞，L 最小是
0 0
多少？
1.（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ = 0.6，摩擦因数 ，足够
1
长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B = 0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角满足
sinθ = 0.8，摩擦因数 。现将质量为m = 6kg的导体杆甲从斜面上高h = 4m处由静止释放，质
2 甲
量为m = 2kg的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l = 2m，两
乙
杆电阻均为R = 1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆发
生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g = 10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图（b）所示（t、t、
1 2
t、t、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0 ~ t 时间内未进入右侧倾
3 4 3
斜导轨，求d的取值范围。2．（2023·湖南·高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 ，两导轨及其所
构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ．
现将质量均为 的金属棒 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 。运动过程中金属棒
与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 。
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ；
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度大小 ；
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，求速度 的大小，
以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 。
3．（2024·北京·高考真题）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距
L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触
良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接
入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面
内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的 圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的
金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水
平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，
金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求
（1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
5．（2024·宁夏四川·高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值
电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装
置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。
(1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v 。当外力功率为定值电
0
阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。
(2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的
两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
6．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金
属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的
匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系
均为B = kt（SI），k为常数（k > 0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导
轨的总电阻为R。t = 0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，
整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空
气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积S 的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方
cdef
向；
（2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。7．（2023·全国·高考真题）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R，置于光滑的绝缘水
0
平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为
磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平
行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R = 2R，导轨电阻可
1 0
忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运
动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R 产生的热量。
1
8．（2023·全国·高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的
最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
大小为 。一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为 的绝缘棒Q位
于P的左侧，以大小为 的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后
从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始
终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。9．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。 区域有匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度 向右运动，磁场内
的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 ，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N到 的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求M出磁场后
不与N相撞条件下k的取值范围。
