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第 42 讲 两条直线的位置关系
【基础知识全通关】
一：直线的交点
求两直线 与 的交点坐
标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可 .若有
，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方
程组无解，此时两直线平行；若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解
即两直线交点的坐标.
【点石成金】
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
二：两直线平行的条件
l ,l k ,k l //l l l α α
设两条不重合的直线 1 2的斜率分别为 1 2.若 1 2，则 1与 2的倾斜角 1与 2相等.
α =α tan tan k k
由 1 2，可得 1 2，即 1 2.
l //l k =k
因此，若 1 2，则 1 2.
k =k l //l
反之，若 1 2，则 1 2.
【点石成金】
l //l ⇔k =k k ，k
1.公式 1 2 1 2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 1 2；②
l 与l
1 2不重合；
l 与l l //l
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时， 1 2的倾斜角都是 ，则 1 2.
三：两直线垂直的条件
l ,l k ,k l ⊥l k ⋅k =−1
设两条直线 1 2的斜率分别为 1 2.若 1 2，则 1 2 .
【点石成金】
l ⊥l ⇔k ⋅k =−1
1.公式 1 2 1 2 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
四：两点间的距离公式
两点 间的距离公式为
.
【点石成金】
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准
方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
五：点到直线的距离公式
点 到直线 的距离为 .
【点石成金】
（1）点 到直线 的距离为直线上所有的点到已知点 的距离中
最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判
断等.
六：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，
此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 与
直线 的距离为 .
【点石成金】
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距
离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最
短距离；
|C −C |
1 2
d=
(2)利用两条平行直线间的距离公式
√A2 +B2
时，一定先将两直线方程化为一般形
式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式.
【考点研习一点通】
考点01判断两直线的位置关系
例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】（1） ；（2）重合；（3）平行．
【解析】（1）解方程组 得该方程组有唯一解 ，所以两直线相交，且交点坐标为 ．
（2）解方程组
②×6得2x－6y+3=0，
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．
（3）解方程组
②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．
【总结】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
考点02两条直线平行的条件
例2．已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶
点D的坐标．
【答案】 （3，4）
【解析】
解法1：设D（m，n），线段AC的中点为E（2，2），所以线段BD的中点为E（2，
2），则
，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
解法2：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有k =k ，k =k ，
AB DC AD BC
所以 ，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
【总结】
解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．
解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶
点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．
考点03两条直线垂直的条件
例3．已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点
C，求交点C的坐标．
【点拨】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k ·k =―1．列出方程，求解即可．
AC BC
【答案】 （1，0）或（2，0）
【解析】以线段 AB 为直径的圆与 x轴的交点为 C，则 AC⊥CB．设 C（x，0），MJ
， ．∴ ，去分母解得x=1或2．
∴C（1，0）或C（2，0）．
【总结】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特
别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于 x的方程，
解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相
关参数．
本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC，这是很明显的事情（如图）．故
不需要对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．
考点04点到直线的距离
例4．在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在
直线的方程．
【点拨】 设M（x，y）为∠A的平分线AD上的任意一点，由已知可求得AC边所在直
线的方程为x―5y+12=0，AB所在直线的方程为5x―y―12=0．
【答案】
【解析】
由角平分线的性质得 ，
∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12，即y=―x+6或y=x．
但结合图形（如图），可知k ＜k ＜k ，即 ，
AC AD AB
∴y=－x+6不合题意，故舍去．
故所求∠A的平分线AD所在直线的方程为y=x．
【总结】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点
到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x，y）所满足的方
程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创
设出点到直线的距离这一条件．
【变式4-1】求点P（―1，2）到下列直线的距离：
0
（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0．
考点05两平行直线间的距离
例5． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．【答案】
【错解】 直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，
∴所求的距离为 ．
【正解】 经变形得两条平行直线的方程为 6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距
离为 ．
【总结】 在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，
且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方
程变形．
【考点易错】
1.求直线x―y―2=0关于直线 ：3x―y+3=0对称的直线方程．
2.已知函数 ，求 的最小值，并求取得最小值时x
的值．
3.已知在△ABC中，A（1，1）， ，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，
△ABC的面积S最大？
4.已知直线 ：2x+y―4=0，求 关于直线 ：3x+4y―1=0对称的直线 的方程．
1 1 25.在直线 ：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
6.已知直线 ：2x―y+a=0（a＞0），直线 ：―4x+2y+1=0和直线 ：x+y―1=0，且 与
1 2 3 1
的距离是 ．
2
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到
的距离是P点到 的距离的 ；③P点到 的距离与P点到 的距离之比是 ．
1 2 1 2
若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
【巩固提升】1.若直线 平行，则 与 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2.点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
3.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为
A． B． C． D．
4.若直线 与直线 平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5.已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 ，则
的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
6.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 ( )
A．12 B．10 C．-8 D．-6
7.已知 ， ，从点 射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线
AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
8.若动点 ､ 分别在直线 和 上移动，则 的中点 到
原点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9.已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
10.已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.已知点 在直线 上，若 ，则直线 的斜率为（ ）A．2 B．﹣2 C． D．
12.设三条不同的直线：
，若它们交于同一点，则 的值为_____________.
13.己知两点 ， ，直线 ： 与线段 有公共点，则直线 的斜率
的取值范围________
14.已知m，n，a， ，且满足 ， ，则 的
最小值为________.
15．已知直线 ，试求：
（1）与直线 的距离为 的直线的方程；
（2）点 关于直线 的对称点的坐标．
16．在 中，点 ， 边上的高所在的直线方程为 ， 的平
分线所在的直线方程为 ，求 .
17.已知 ， ， .
（1）求点 的坐标，满足 ， ；
（2）若点 在 轴上，且 ，求直线 的倾斜角.18.已知直线 经过点 ．
(1)若原点到直线 的距离为2，求直线 的方程；
(2)若直线 被两条相交直线 和 所截得的线段恰被点 平分，求
直线 的方程．
19．已知函数 的定义域为（0，+∞），且 ．设点P是函数图
象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N（如右图）．
（1）求a的值；
（2）问：PM·PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．
19．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
