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第 42 讲 两条直线的位置关系
【基础知识全通关】
一：直线的交点
求两直线 与 的交点坐
标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可 .若有
，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方
程组无解，此时两直线平行；若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解
即两直线交点的坐标.
【点石成金】
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
二：两直线平行的条件
l ,l k ,k l //l l l α α
设两条不重合的直线 1 2的斜率分别为 1 2.若 1 2，则 1与 2的倾斜角 1与 2相等.
α =α tan tan k k
由 1 2，可得 1 2，即 1 2.
l //l k =k
因此，若 1 2，则 1 2.
k =k l //l
反之，若 1 2，则 1 2.
【点石成金】
l //l ⇔k =k k ，k
1.公式 1 2 1 2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 1 2；②
l 与l
1 2不重合；
l 与l l //l
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时， 1 2的倾斜角都是 ，则 1 2.
三：两直线垂直的条件
l ,l k ,k l ⊥l k ⋅k =−1
设两条直线 1 2的斜率分别为 1 2.若 1 2，则 1 2 .
【点石成金】
l ⊥l ⇔k ⋅k =−1
1.公式 1 2 1 2 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
四：两点间的距离公式
两点 间的距离公式为
.
【点石成金】
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准
方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
五：点到直线的距离公式
点 到直线 的距离为 .
【点石成金】
（1）点 到直线 的距离为直线上所有的点到已知点 的距离中
最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判
断等.
六：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，
此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 与
直线 的距离为 .
【点石成金】
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距
离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最
短距离；
|C −C |
1 2
d=
(2)利用两条平行直线间的距离公式
√A2 +B2
时，一定先将两直线方程化为一般形
式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式.
【考点研习一点通】
考点01判断两直线的位置关系
例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】（1） ；（2）重合；（3）平行．
【解析】（1）解方程组 得该方程组有唯一解 ，所以两直线相交，且交点坐标为 ．
（2）解方程组
②×6得2x－6y+3=0，
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．
（3）解方程组
②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．
【总结】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
考点02两条直线平行的条件
例2．已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶
点D的坐标．
【答案】 （3，4）
【解析】
解法1：设D（m，n），线段AC的中点为E（2，2），所以线段BD的中点为E（2，
2），则
，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
解法2：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有k =k ，k =k ，
AB DC AD BC
所以 ，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
【总结】
解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．
解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶
点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．
考点03两条直线垂直的条件
例3．已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点
C，求交点C的坐标．
【点拨】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k ·k =―1．列出方程，求解即可．
AC BC
【答案】 （1，0）或（2，0）
【解析】以线段 AB 为直径的圆与 x轴的交点为 C，则 AC⊥CB．设 C（x，0），MJ
， ．∴ ，去分母解得x=1或2．
∴C（1，0）或C（2，0）．
【总结】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特
别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于 x的方程，
解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相
关参数．
本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC，这是很明显的事情（如图）．故
不需要对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．
考点04点到直线的距离
例4．在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在
直线的方程．
【点拨】 设M（x，y）为∠A的平分线AD上的任意一点，由已知可求得AC边所在直
线的方程为x―5y+12=0，AB所在直线的方程为5x―y―12=0．
【答案】
【解析】
由角平分线的性质得 ，
∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12，即y=―x+6或y=x．
但结合图形（如图），可知k ＜k ＜k ，即 ，
AC AD AB
∴y=－x+6不合题意，故舍去．
故所求∠A的平分线AD所在直线的方程为y=x．
【总结】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点
到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x，y）所满足的方
程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创
设出点到直线的距离这一条件．
【变式4-1】求点P（―1，2）到下列直线的距离：
0
（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0．
【答案】（1） （2） （3）1【解析】（1）根据点到直线的距离公式得 ．
（2）直线方程可化为x+y―2=0，所以 ．
（3）因为直线y―1=0平行于x轴，所以d=|2―1|=1．
考点05两平行直线间的距离
例5． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
【答案】
【错解】 直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，
∴所求的距离为 ．
【正解】 经变形得两条平行直线的方程为 6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距
离为 ．
【总结】 在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，
且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方
程变形．
【考点易错】
1.求直线x―y―2=0关于直线 ：3x―y+3=0对称的直线方程．
【答案】7x+y+22=0
【解析】 解法一：由 ，得交点 ，
取直线x―y―2=0上一点A（0，―2），设点A关于直线 ：3x―y+3=0的对称点为A＇
（x，y），
0 0
则根据 ，且线段AA＇的中点在直线 ：3x―y+3=0上，有
，解得 ．
故所求直线过点 与（―3，―1）．
∴所求直线方程为 ．即7x+y+22=0．
解法二：设P（x，y）为所求直线上任意一点，P关于直线 ：3x―y+3=0的对称点P＇（x
＇，y＇）．根据PP＇⊥ 且线段PP＇的中点在直线 上，可得
，解得 ．
又∵P＇（x＇，y＇）在直线x―y―2=0上，
∴ ，即7x+y+22=0．
故所求直线方程为7x+y+22=0．
【总结】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，
称为代入法．
2.已知函数 ，求 的最小值，并求取得最小值时x
的值．
【点拨】 将函数表达式变形为： ，可以
看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|
PA|+|PB|最小．
【答案】 ，
【解析】∵
．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，
即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可
知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数 的最小
值．
∴ 的最小值为 ．
再由直线方程的两点式得 的方程为3x―y―4=0．令y=0，得 ．∴当 时，
的最小值为 ．
【总结】本例中，由“ ”与两点间距离公式结构相似，
因而可得到“ ”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．3.已知在△ABC中，A（1，1）， ，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，
△ABC的面积S最大？
【点拨】 以AC为底，则点B到直线AC的距离就是AC边上的高，求出S与m之间的函
数关系式．
【答案】
【解析】
∵A（1，1），C（4，2），
∴ ．
又直线AC的方程为x―3y+2=0，
∴点 到直线AC的距离 ，
∴ ．
∵1＜m＜4，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 ， 时，S最大．
故当 时，△ABC的面积最大．
【总结】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边
上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌
握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须
对它的正负性进行讨论．
4.已知直线 ：2x+y―4=0，求 关于直线 ：3x+4y―1=0对称的直线 的方程．
1 1 2
【答案】2x+11y+16=0
【解析】 解法一：由 ，得直线 与 的交点为P（3，―2），显然P也在
1
直线 上．
2
在直线 上取一点 A（2，0），又设点 A 关于直线 的对称点为 B（x ，y ），则
1 0 0，解得 ．
故由两点式可求得直线 的方程为2x+11y+16=0．
2
解法二：设直线 上一动点M（x，y）关于直线 的对称点为 ，则
2
，解得 ．
显然 在 上，故 ，即 2x+11y+16=0，
1
这便是所求的直线 的方程．
2
【总结】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称
的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可
求得所求的直线方程．
一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P（x ，y ）的对称点Q，只需由对称轴方程解出x，
0 0
再用y 代替y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．
0
5.在直线 ：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
【答案】（1）（2，5）（2）
【解析】 设B关于 的对称点为B＇，AB＇与 的交点P满足（1）；设C关于 的对称点
为C＇，AC＇与 的交点P满足（2）．事实上，对（1），若P＇是 上异于P的点，则
；对于（2），若
P＇是 上异于 P 的点，则
．
（1）如图1所示，设点B关于 的对称点B＇的坐标为（a，b），
，即 ，
∴a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为 ，且在直线 上，∴ ，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．
于是直线AB＇的方程为 ，即2x+y－9=0．
解由 的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即 与AB＇的交点坐标
为（2，5），所以P（2，5）．
（2）如图2所示，设C关于 的对称点为C＇，求出C＇的坐标为 ．
∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．
AC＇和 交点坐标为 ．
故P点坐标为 ．
【总结】
由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可
知，要在直线 上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B
位于直线 的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点
的坐标；若A、B两点位于直线 的异侧，则先求A、B两点中某一点（如A）关于直线
的对称点A＇，再求直线A＇B的方程，再求它们与直线 的交点即可．对于在直线 上求
一点P，使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
6.已知直线 ：2x―y+a=0（a＞0），直线 ：―4x+2y+1=0和直线 ：x+y―1=0，且 与
1 2 3 1
的距离是 ．
2
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到
的距离是P点到 的距离的 ；③P点到 的距离与P点到 的距离之比是 ．
1 2 1 2
若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）a=3 （2）
【解析】
（1）直线 即 ，
2与 的距离
1 2
解得 ．
（2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件．
设点P ，若P点满足条件②，
则P点在 、 平行的直线 ，
1 2
且 ，即 或
或 ；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有 ，
或
由P在第一象限，所以 不可能．
联立方程 ，解得 ，应舍去．
由 ，解之得
即为同时满足三个条件的点．
【巩固提升】
1.若直线 平行，则 与 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题：直线 与 平行，则 ，即 ，解得 或 ，
当 时，直线 与 重合；
当 时，直线 与 平行，
两直线之间的距离为 .
故选：B
2.点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B
3.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 距离均为 ；
的
圆心 到直线 的距离均为圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B．
4.若直线 与直线 平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】直线 与直线 平行，
则 ，解得 ，
当 时，直线 与直线 重合，故舍去．
当 时，直线 与直线 平行，
故两平行线间的距离 ．
故选 ．
5.已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 ，则
的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
【答案】B
【解析】直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,两直线垂直,可知 ，
将垂足坐标代入直线 方程，得到 ，代入直线 方程，得到 ，所以
，
故选B．
6.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 ( )
A．12 B．10 C．-8 D．-6
【答案】B
【解析】∵直线 与 的交点为
∴将点 代入 得 ，即
将点 代入 得 ，即
∴
故选B7.已知 ， ，从点 射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线
AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】直线AB的方程为： ，
点 关于x轴的对称点 ，
设点 关于直线AB的对称点 ，如图，
则 ， ，联立解得 ， ．
， 光线所经过的路程为 ．
故选：D．
8.若动点 ､ 分别在直线 和 上移动，则 的中点 到
原点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 在直线 上， 在直线 上， 是 中点，∴ 点在到两直线 与 距
离相等的平行线上，
直线 和 ，因此 点所在直线为 ，
则 的最小值为 ．
故选：C．
9.已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4 B． 5C． 6 D． 7
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A．
10.已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
11.已知点 在直线 上，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解析】∵点A（2，3）在直线1：2x+ay﹣1＝0上，
1
∴2×2+3a﹣1＝0，
解得a＝﹣1，
∴直线l：2x﹣y﹣1＝0，
1
∵l∥l，∴直线l 的斜率k＝2．
2 1 2
故选：A．
12.设三条不同的直线：
，若它们交于同一点，则 的值为_____________.【答案】
【解析】设 ，三条直线相交于点 ，
则有 （※）
消去 得 ，
即 ，
把 代入得 ，
当 时，解得 ，不合题意，舍去；
所以 ，解得 ，
故答案为： .
13.己知两点 ， ，直线 ： 与线段 有公共点，则直线 的斜率
的取值范围________
【答案】
【解析】由 解得
又∵直线 和直线 的交点在第一象限，
∴ 解得 ．
故答案为 .
14.已知m，n，a， ，且满足 ， ，则 的
最小值为________.【答案】1
【解析】设点 ， ，直线 ，直线 ，
由题意知点 在直线 上，点 在直线 上，
所以 ，
显然 ，所以 的最小值就是两平行线之间的距离，
即 .
故答案为：1.
15．已知直线 ，试求：
（1）与直线 的距离为 的直线的方程；
（2）点 关于直线 的对称点的坐标．
【答案】（1） 或 （2）
【解析】（1）设所求直线方程为 ，
根据题意 ，解得 或 ，
所以，所求直线方程为 或 ．
（2）设 关于直线 的对称点为
则 ，且 的中点在直线 上，即点 在直线 上．
所以， 即
解得 ，即
16．在 中，点 ， 边上的高所在的直线方程为 ， 的平
分线所在的直线方程为 ，求 .
【答案】【解析】 得 ，
所以 ．
设 ，因为 与 边上的高线垂直，并且 关于直线 （ 的平分线）
的对称点 在直线 上．
所以， 解得 ，即 ，故 ．
17.已知 ， ， .
（1）求点 的坐标，满足 ， ；
（2）若点 在 轴上，且 ，求直线 的倾斜角.
【解析】（1）设 ，由已知得： ，
又 ，可得： ，
即： ①
由已知得： ，又 ，可得： ，
即： ②
联立①②求解得： ， ，
即 ；
（2）设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，∴ 轴，
故直线 的倾斜角为 .
18.已知直线 经过点 ．
(1)若原点到直线 的距离为2，求直线 的方程；
(2)若直线 被两条相交直线 和 所截得的线段恰被点 平分，求
直线 的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)①直线 的斜率不存在时，显然成立，直线方程为 ．
②当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
由原点到直线 的距离为2得 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即 ，
综上，所求直线方程为 或 ．
(2)设直线 夹在直线 ， 之间的线段为 （ 在 上， 在 上），
、 的坐标分别设为 、 ，
因为 被点 平分，所以 ， ，
于是 ，
由于 在 上， 在 上，即 ，解得 ， ，
即 的坐标是 ，故直线 的方程是 ，即 ．
19．已知函数 的定义域为（0，+∞），且 ．设点P是函数图
象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N（如右图）．
（1）求a的值；
（2）问：PM·PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．
【答案】（1） （2）1【解析】（1）∵ ，∴ ．
（2）设点P的坐标为（x，y），则有 ，x＞0，由点到直线的距离公式可知
0 0 0
，PN=x ，故有PM·PN=1，即PM·PN为定值，这个值为1．
0
19．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
【解析】 设出点P的坐标，由点P到直线y=x的距离公式求出PM的长，PN的长为点P
的横坐标．
证明：设△ABC是边长为2a的等边三角形，以BC边所在直线为x轴，过BC边的中点O
且垂直于BC的直线为y轴，建立如右图所示的直角坐标系，则点 ，B（―a，
0），C（a，0），直线 AB 的方程为 ，直线 AC 的方程为
，直线BC的方程为y=0．
设P（x，y）是△ABC内任意一点，
0 0
则点P到AB的距离 ，点P到BC的距离|PE|=|y |，点P到AC的
0
距离 ．
∵点P在直线AB，AC的下方，且在BC的上方，
∴ （定值）．
因此，等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
